Miller-indexek kalkulátora kristálylapok azonosításához

Számítsa ki a Miller-indexeket a kristálylapok metszéspontjai alapján e könnyen használható eszközzel. Lényeges a kristálytan, anyagtudomány és szilárdtestfizika alkalmazásaihoz.

Miller-indexek Számológép

Kristálysíkok Metszéspontjai

Adja meg a kristálysíkok metszéspontjait az x, y és z tengelyekkel. Használjon '0'-t a tengelyekkel párhuzamos síkokhoz (végtelen metszéspont).

X-tengely Metszéspont

Adjon meg egy számot vagy 0-t a végtelenhez

Y-tengely Metszéspont

Adjon meg egy számot vagy 0-t a végtelenhez

Z-tengely Metszéspont

Adjon meg egy számot vagy 0-t a végtelenhez

Miller-indexek

A sík Miller-indexei:

(1,1,1)

Másolás a vágólapra

Vizualizáció

Mik azok a Miller-indexek?

A Miller-indexek egy jelölési rendszer, amelyet a kristálytanban használnak a síkok és irányok meghatározására a kristályrácsokban.

A Miller-indexek (h,k,l) kiszámításához a metszéspontokból (a,b,c):

1. Vegye a metszéspontok reciprokait: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Alakítsa át a legkisebb egész számok halmazává, amelyek ugyanazt az arányt képviselik 3. Ha egy sík párhuzamos egy tengellyel (metszéspont = végtelen), a megfelelő Miller-indexe 0

A negatív indexeket vonallal jelöljük a szám felett, pl.: (h̄,k,l)
A (hkl) jelölés egy konkrét síkot, míg a {hkl} egy ekvivalens síkok családját jelenti
Az irányindexek négyzetes zárójelekben [hkl] vannak írva, és az irányok családját <hkl> jelöli

📚

Dokumentáció

Miller Indices Calculator

Introduction

A Miller Indices Calculator egy hatékony eszköz kristálytani szakemberek, anyagtudósok és diákok számára, hogy meghatározzák a kristály síkjainak Miller-indexeit. A Miller-indexek egy jelölési rendszer, amelyet a kristálytanban használnak a kristályrácsok síkjainak és irányainak meghatározására. Ez a kalkulátor lehetővé teszi, hogy könnyedén átváltsuk egy kristály síkjának koordináta-tengelyekkel való metszéspontjait a megfelelő Miller-indexekre, biztosítva ezzel a specifikus kristály síkok azonosításának és kommunikálásának szabványos módját.

A Miller-indexek alapvető fontosságúak a kristályszerkezetek és azok tulajdonságainak megértésében. A síkok egyszerű három egész szám (h,k,l) ábrázolásával a Miller-indexek lehetővé teszik a tudósok számára, hogy elemezzék az X-ray diffrakciós mintákat, előre jelezzék a kristálynövekedési viselkedéseket, kiszámítsák a síkok közötti távolságot, és tanulmányozzák a kristályorientációtól függő különböző fizikai tulajdonságokat.

What Are Miller Indices?

A Miller-indexek három egész szám (h,k,l) halmaza, amely egy párhuzamos sícsaládot definiál egy kristályrácsban. Ezek az indexek a sík által a kristályos tengelyekkel való metszéspontjainak reciprokából származnak. A jelölés egy szabványosított módot biztosít a specifikus síkok azonosítására egy kristályszerkezeten belül.

Visual Representation of Miller Indices

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plane

Miller Indices (3,2,1) Crystal Plane

A 3D visualization of a crystal plane with Miller indices (3,2,1). The plane intercepts the x, y, and z axes at points 2, 3, and 6 respectively, resulting in Miller indices (3,2,1) after taking reciprocals and finding the smallest set of integers with the same ratio.

Formula for Calculating Miller Indices

A Miller-indexek (h,k,l) kiszámításához egy kristály síkjának következő matematikai lépéseit kell követni:

Határozza meg a sík metszéspontjait az x, y és z kristálytengelyekkel, adva értékeket a, b és c.
Vegye a reciprokokat: 1/a, 1/b, 1/c.
Alakítsa át ezeket a reciprokokat a legkisebb egész számok halmazává, amelyek fenntartják ugyanazt az arányt.
Az eredményül kapott három egész szám a Miller-indexek (h,k,l).

Matematikailag ez kifejezhető a következőképpen:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Ahol:

(h,k,l) a Miller-indexek
a, b, c a sík metszéspontjai az x, y és z tengelyekkel, megfelelően

Special Cases and Conventions

Számos különleges eset és konvenció fontos megérteni:

Végtelen metszéspontok: Ha egy sík párhuzamos egy tengellyel, a metszéspontot végtelennek tekintik, és a megfelelő Miller-index nulla lesz.
Negatív indexek: Ha egy sík a koordináta-eredmény negatív oldalán metszi a tengelyt, a megfelelő Miller-index negatív, a szám felett egy vonallal jelölve a kristálytani jelölésben, pl. (h̄kl).
Tört metszéspontok: Ha a metszéspontok tört értékek, azokat az egész számok halmazává alakítják a legkisebb közös többszörös szorzásával.
Egyszerűsítés: A Miller-indexeket mindig a legkisebb egész számok halmazára csökkentik, amelyek fenntartják ugyanazt az arányt.

Step-by-Step Guide to Using the Calculator

A Miller Indices Calculator egy egyszerű módot biztosít a Miller-indexek meghatározására bármilyen kristály síkhoz. Íme, hogyan használja:

Adja meg a metszéspontokat: Írja be az értékeket, ahol a sík metszi az x, y és z tengelyeket.
- Használjon pozitív számokat a metszéspontokhoz az eredmény pozitív oldalán.
- Használjon negatív számokat a metszéspontokhoz a negatív oldalon.
- Írja be a "0"-t a tengelyhez párhuzamos síkokhoz (végtelen metszéspont).
Nézze meg az eredményeket: A kalkulátor automatikusan kiszámítja és megjeleníti a Miller-indexeket (h,k,l) a megadott síkhoz.
Vizualizálja a síkot: A kalkulátor tartalmaz egy 3D-s vizualizációt, amely segít megérteni a sík orientációját a kristályrácsban.
Másolja az eredményeket: Használja a "Másolás a vágólapra" gombot, hogy könnyen átvigye a kiszámított Miller-indexeket más alkalmazásokba.

Example Calculation

Nézzünk meg egy példát:

Tegyük fel, hogy egy sík az x, y és z tengelyeket a 2, 3 és 6 pontokban metszi.

A metszéspontok: (2, 3, 6).
A reciprokok: (1/2, 1/3, 1/6).
A legkisebb egész számok halmazának megtalálásához szorozzuk meg a nevezők legkisebb közös többszörösével (LCM a 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Tehát a Miller-indexek: (3,2,1).

Use Cases for Miller Indices

A Miller-indexek számos alkalmazásnak vannak kitéve különböző tudományos és mérnöki területeken:

Crystallography and X-ray Diffraction

A Miller-indexek elengedhetetlenek az X-ray diffrakciós minták értelmezéséhez. A kristály síkjai, amelyeket a Miller-indexek azonosítanak, meghatározzák azokat a szögeket, amelyeken az X-ray-ek diffraktálódnak, követve Bragg törvényét:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Ahol:

$n$ egy egész szám
$\lambda$ az X-ray-ek hullámhossza
$d_{hkl}$ a síkok közötti távolság a Miller-indexek (h,k,l) szerint
$\theta$ a beesési szög

Materials Science and Engineering

Felületi energia elemzés: Különböző kristályos síkok különböző felületi energiákkal rendelkeznek, amelyek befolyásolják a kristálynövekedést, a katalízist és az adhéziót.
Mechanikai tulajdonságok: A kristályos síkok orientációja befolyásolja a mechanikai tulajdonságokat, mint például a csúszási rendszerek, a hasadási síkok és a törési viselkedés.
Félvezető gyártás: A félvezető gyártás során specifikus kristályos síkokat választanak epitaxiális növekedéshez és eszközgyártáshoz elektronikai tulajdonságaik miatt.
Textúra elemzés: A Miller-indexek segítenek a polikristályos anyagok preferált orientációinak (textúra) jellemzésében, amelyek befolyásolják a fizikai tulajdonságaikat.

Mineralogy and Geology

A geológusok a Miller-indexeket használják a kristályos arcok és hasadási síkok leírására ásványokban, segítve azok azonosítását és a képződési körülmények megértését.

Educational Applications

A Miller-indexek alapvető fogalmak, amelyeket az anyagtudomány, kristálytan és szilárdtestfizika kurzusok során tanítanak, így ez a kalkulátor értékes oktatási eszköz.

Alternatives to Miller Indices

Bár a Miller-indexek a legszélesebb körben használt jelölés a kristályos síkok számára, számos alternatív rendszer létezik:

Miller-Bravais indexek: Egy négy-indexes jelölés (h,k,i,l) a hexagonális kristályszerkezetekhez, ahol i = -(h+k). Ez a jelölés jobban tükrözi a hexagonális struktúrák szimmetriáját.
Weber szimbólumok: Főleg régebbi irodalomban használták, különösen a kocka kristályok irányainak leírására.
Közvetlen rácsvektorok: Egyes esetekben a síkokat a közvetlen rácsvektorok felhasználásával írják le, nem pedig Miller-indexekkel.
Wyckoff pozíciók: Az atomok pozícióinak leírására a kristályszerkezeteken belül, nem pedig síkokon.

Ezek ellenére a Miller-indexek továbbra is a szabványos jelölés, mivel egyszerűségük és univerzális alkalmazhatóságuk minden kristályszerkezetre vonatkozik.

History of Miller Indices

A Miller-indexek rendszere William Hallowes Miller brit ásványtanász és kristálytanász által került kifejlesztésre 1839-ben, amelyet a "A Treatise on Crystallography" című munkájában publikált. Miller jelölése korábbi munkákra épült, amelyeket Auguste Bravais és mások végeztek, de elegánsabb és matematikailag következetes megközelítést biztosított.

Mielőtt Miller rendszere elterjedt volna, különféle jelöléseket használtak a kristályos arcok leírására, beleértve a Weiss paramétereket és a Naumann szimbólumokat. Miller újítása az volt, hogy a metszéspontok reciprokait használta, ami leegyszerűsítette sok kristálytani számítást, és intuitívabb ábrázolást biztosított a párhuzamos síkok számára.

A Miller-indexek elfogadása felgyorsult Max von Laue 1912-es X-ray diffrakció felfedezésével és William Lawrence Bragg és William Henry Bragg további munkájával. Kutatásuk bemutatta a Miller-indexek gyakorlati hasznosságát a diffrakciós minták értelmezésében és a kristályszerkezetek meghatározásában.

A 20. század folyamán, ahogy a kristálytan egyre fontosabbá vált az anyagtudományban, szilárdtestfizikában és biokémiában, a Miller-indexek szilárdan megerősítették magukat mint a szabványos jelölés. Ma is elengedhetetlenek a modern anyagkarakterizálási technikákban, számítógépes kristálytanban és nanomateriális tervezésben.

Code Examples for Calculating Miller Indices

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Calculate Miller indices from intercepts
7    
8    Args:
9        intercepts: List of three intercepts [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        List of three Miller indices [h, k, l]
13    """
14    # Handle infinity intercepts (parallel to axis)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Find non-zero values for GCD calculation
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Scale to reasonable integers (avoiding floating point issues)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Find GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Convert back to smallest integers
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Example usage
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Miller indices for intercepts {intercepts}: {indices}")  # Output: [3, 2, 1]
49

1function gcd(a, b) {
2  a = Math.abs(a);
3  b = Math.abs(b);
4  
5  while (b !== 0) {
6    const temp = b;
7    b = a % b;
8    a = temp;
9  }
10  
11  return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19  // Handle infinity intercepts
20  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22      return 0;
23    }
24    return 1 / intercept;
25  });
26  
27  // Find non-zero values for GCD calculation
28  const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29  
30  if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31    return [0, 0, 0];
32  }
33  
34  // Scale to integers to avoid floating point issues
35  const scale = 1000;
36  const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37  
38  // Find GCD
39  const divisor = gcdMultiple(scaled);
40  
41  // Convert to smallest integers
42  const millerIndices = reciprocals.map(val => 
43    val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44  );
45  
46  return millerIndices;
47}
48
49// Example
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Miller indices for intercepts ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Output: Miller indices for intercepts 2,3,6: (3,2,1)
54

1import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4    
5    public static int gcd(int a, int b) {
6        a = Math.abs(a);
7        b = Math.abs(b);
8        
9        while (b != 0) {
10            int temp = b;
11            b = a % b;
12            a = temp;
13        }
14        
15        return a;
16    }
17    
18    public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19        int result = numbers[0];
20        for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21            result = gcd(result, numbers[i]);
22        }
23        return result;
24    }
25    
26    public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27        double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28        
29        // Calculate reciprocals
30        for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31            if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32                reciprocals[i] = 0;
33            } else {
34                reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35            }
36        }
37        
38        // Count non-zero values
39        int nonZeroCount = 0;
40        for (double r : reciprocals) {
41            if (r != 0) nonZeroCount++;
42        }
43        
44        if (nonZeroCount == 0) {
45            return new int[]{0, 0, 0};
46        }
47        
48        // Scale to integers
49        int scale = 1000;
50        int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51        int index = 0;
52        
53        for (double r : reciprocals) {
54            if (r != 0) {
55                scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56            }
57        }
58        
59        // Find GCD
60        int divisor = gcdMultiple(scaled);
61        
62        // Convert to smallest integers
63        int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64        for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65            if (reciprocals[i] == 0) {
66                millerIndices[i] = 0;
67            } else {
68                millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69            }
70        }
71        
72        return millerIndices;
73    }
74    
75    public static void main(String[] args) {
76        double[] intercepts = {2, 3, 6};
77        int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78        
79        System.out.println("Miller indices for intercepts " + 
80                           Arrays.toString(intercepts) + ": " + 
81                           Arrays.toString(indices));
82        // Output: Miller indices for intercepts [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83    }
84}
85

1' Excel VBA Function for Miller Indices Calculation
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3    Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4    Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5    Dim scale As Long, gcdVal As Long
6    Dim scaledVals() As Long
7    Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8    
9    ' Calculate reciprocals
10    If x = 0 Then
11        recipX = 0
12    Else
13        recipX = 1 / x
14    End If
15    
16    If y = 0 Then
17        recipY = 0
18    Else
19        recipY = 1 / y
20    End If
21    
22    If z = 0 Then
23        recipZ = 0
24    Else
25        recipZ = 1 / z
26    End If
27    
28    ' Count non-zero values
29    nonZeroCount = 0
30    If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31    If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32    If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33    
34    If nonZeroCount = 0 Then
35        CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36        Exit Function
37    End If
38    
39    ' Scale to integers
40    scale = 1000
41    ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42    i = 1
43    
44    If recipX <> 0 Then
45        scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46        i = i + 1
47    End If
48    
49    If recipY <> 0 Then
50        scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51        i = i + 1
52    End If
53    
54    If recipZ <> 0 Then
55        scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56    End If
57    
58    ' Find GCD
59    gcdVal = scaledVals(1)
60    For i = 2 To nonZeroCount
61        gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62    Next i
63    
64    ' Calculate Miller indices
65    If recipX = 0 Then
66        millerH = 0
67    Else
68        millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69    End If
70    
71    If recipY = 0 Then
72        millerK = 0
73    Else
74        millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75    End If
76    
77    If recipZ = 0 Then
78        millerL = 0
79    Else
80        millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81    End If
82    
83    CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87    Dim temp As Long
88    
89    a = Abs(a)
90    b = Abs(b)
91    
92    Do While b <> 0
93        temp = b
94        b = a Mod b
95        a = temp
96    Loop
97    
98    GCD = a
99End Function
100
101' Usage in Excel:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Result: (3,2,1)
104

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Calculate GCD of two numbers
8int gcd(int a, int b) {
9    a = std::abs(a);
10    b = std::abs(b);
11    
12    while (b != 0) {
13        int temp = b;
14        b = a % b;
15        a = temp;
16    }
17    
18    return a;
19}
20
21// Calculate GCD of multiple numbers
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23    int result = numbers[0];
24    for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25        result = gcd(result, numbers[i]);
26    }
27    return result;
28}
29
30// Calculate Miller indices from intercepts
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32    std::vector<double> reciprocals;
33    
34    // Calculate reciprocals
35    for (double intercept : intercepts) {
36        if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37            reciprocals.push_back(0);
38        } else {
39            reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40        }
41    }
42    
43    // Find non-zero values
44    std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45    for (double r : reciprocals) {
46        if (r != 0) {
47            nonZeroReciprocals.push_back(r);
48        }
49    }
50    
51    if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52        return {0, 0, 0};
53    }
54    
55    // Scale to integers
56    const int scale = 1000;
57    std::vector<int> scaled;
58    for (double r : nonZeroReciprocals) {
59        scaled.push_back(std::round(r * scale));
60    }
61    
62    // Find GCD
63    int divisor = gcdMultiple(scaled);
64    
65    // Convert to smallest integers
66    std::vector<int> millerIndices;
67    for (double r : reciprocals) {
68        if (r == 0) {
69            millerIndices.push_back(0);
70        } else {
71            millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72        }
73    }
74    
75    return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79    std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80    std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81    
82    std::cout << "Miller indices for intercepts [";
83    for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84        std::cout << intercepts[i];
85        if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86    }
87    std::cout << "]: (";
88    
89    for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90        std::cout << indices[i];
91        if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92    }
93    std::cout << ")" << std::endl;
94    
95    // Output: Miller indices for intercepts [2, 3, 6]: (3,2,1)
96    
97    return 0;
98}
99

Numerical Examples

Íme néhány gyakori példa a Miller-indexek kiszámítására:

Példa 1: Standard eset
- Metszéspontok: (2, 3, 6)
- Reciprokok: (1/2, 1/3, 1/6)
- Szorozza meg a nevezők legkisebb közös többszörösével (6): (3, 2, 1)
- Miller-indexek: (3,2,1)
Példa 2: Tengelyhez párhuzamos sík
- Metszéspontok: (1, ∞, 2)
- Reciprokok: (1, 0, 1/2)
- Szorozza meg 2-őt: (2, 0, 1)
- Miller-indexek: (2,0,1)
Példa 3: Negatív metszéspontok
- Metszéspontok: (-1, 2, 3)
- Reciprokok: (-1, 1/2, 1/3)
- Szorozza meg 6-ot: (-6, 3, 2)
- Miller-indexek: (-6,3,2)
Példa 4: Tört metszéspontok
- Metszéspontok: (1/2, 1/3, 1/4)
- Reciprokok: (2, 3, 4)
- Már egész szám formában
- Miller-indexek: (2,3,4)
Példa 5: Különleges sík (100)
- Metszéspontok: (1, ∞, ∞)
- Reciprokok: (1, 0, 0)
- Miller-indexek: (1,0,0)

Frequently Asked Questions

What are Miller indices used for?

A Miller-indexeket a kristályok síkjainak és irányainak azonosítására és leírására használják. Szabványosított jelölést biztosítanak, amely segít a kristálytanászoknak, anyagtudósoknak és mérnököknek a specifikus kristályorientációkra vonatkozó kommunikációban. A Miller-indexek elengedhetetlenek az X-ray diffrakciós minták elemzéséhez, a kristálynövekedés megértéséhez, a síkok közötti távolságok kiszámításához és a kristályorientációtól függő különböző fizikai tulajdonságok tanulmányozásához.

How do I handle a plane that is parallel to one of the axes?

Amikor egy sík párhuzamos egy tengellyel, soha nem metszi azt a tengelyt, így a metszéspontot végtelennek tekintik. A Miller-indexek jelölésében a végtelen reciprokja nulla, így a megfelelő Miller-index nulla lesz. Például egy sík, amely párhuzamos az y-tengellyel, az (a, ∞, c) metszéspontokkal rendelkezik, és a Miller-indexek (h,0,l) lesznek.

What do negative Miller indices mean?

A negatív Miller-indexek azt jelzik, hogy a sík a koordináta-eredmény negatív oldalán metszi a megfelelő tengelyt. A kristálytani jelölésben a negatív indexeket általában a szám felett egy vonallal jelölik, mint pl. (h̄kl). A negatív indexek olyan síkokat képviselnek, amelyek fizikailag ekvivalensek pozitív megfelelőikkel, de eltérő orientációval rendelkeznek.

How do Miller indices relate to crystal structure?

A Miller-indexek közvetlen kapcsolatban állnak a kristályszerkezetben lévő atomok elrendezésével. A specifikus Miller-indexekkel rendelkező síkok közötti távolság (dhkl) a kristályszerkezet függvényében változik. Az X-ray diffrakció során ezek a síkok tükröző síkokként működnek Bragg törvénye szerint, jellemző diffrakciós mintákat produkálva, amelyek felfedik a kristályszerkezetet.

What is the difference between Miller indices and Miller-Bravais indices?

A Miller-indexek három egész számot (h,k,l) használnak, és a legtöbb kristályszerkezethez alkalmasak. A Miller-Bravais indexek négy egész számot (h,k,i,l) használnak, és kifejezetten hexagonális kristályszerkezetekhez lettek tervezve. A negyedik index, i, redundáns (i = -(h+k)), de segít megőrizni a hexagonális rendszer szimmetriáját, és könnyebben észlelhetővé teszi az ekvivalens síkokat.

How do I calculate the angle between two crystal planes?

A két sík közötti szög θ, amelynek Miller-indexei (h₁,k₁,l₁) és (h₂,k₂,l₂) egy kocka kristályszerkezetben, a következőképpen számítható ki:

$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)}}$

Nem kocka rendszerek esetén a számítás bonyolultabb, és a kristályrendszer metrikus tenzorát is magában foglalja.

What is the relationship between Miller indices and d-spacing?

A d-távolság (síkok közötti távolság) a Miller-indexekkel (h,k,l) rendelkező síkok esetében a kristályszerkezet függvényében változik. Kocka kristály esetén a kapcsolat a következő:

$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$

Más kristályszerkezetek esetén bonyolultabb képletek érvényesek, amelyek a specifikus rácsparamétereket is figyelembe veszik.

Can Miller indices be fractions?

Nem, a konvenció szerint a Miller-indexek mindig egész számok. Ha a számítás kezdetben tört értékeket ad, azokat a legkisebb egész számok halmazává alakítják, amelyek fenntartják ugyanazt az arányt. Ezt a nevezők legkisebb közös többszörösének szorzásával végzik.

How do I determine the Miller indices of a crystal face experimentally?

A kristályos arcok Miller-indexeit kísérletileg X-ray diffrakció, elektron diffrakció vagy optikai goniometria segítségével lehet meghatározni. Az X-ray diffrakció során a diffrakció szögei, amelyeken a diffrakció bekövetkezik, a síkok közötti távolsággal (d-spacing) állnak kapcsolatban, amely a Bragg törvénye szerint a megfelelő Miller-indexekkel azonosítható.

What are the Miller indices of common crystal planes?

Néhány gyakori kristály sík és azok Miller-indexei a következők:

(100), (010), (001): Elsődleges kocka síkok
(110), (101), (011): Átlós síkok kocka rendszerekben
(111): Oktaéderes sík kocka rendszerekben
(112): Gyakori csúszási sík testközéppontos kocka fémekben

References

Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4th ed.). Oxford University Press.
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3rd ed.). Pearson Education.
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8th ed.). Wiley.
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2nd ed.). Wiley.
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3rd ed.). Oxford University Press.
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.

Próbálja ki a Miller Indices Calculator-t még ma, hogy gyorsan és pontosan meghatározza a Miller-indexeket bármely kristály síkhoz. Akár diák, aki a kristálytant tanul, akár kutató, aki anyagszerkezeteket elemez, akár mérnök, aki új anyagokat tervez, ez az eszköz segít azonosítani és megérteni a kristály síkokat könnyedén.

🔗

Kapcsolódó Eszközök

Fedezzen fel több olyan eszközt, amely hasznos lehet a munkafolyamatához

Miller-indexek kalkulátora kristálylapok azonosításához

Miller-indexek Számológép

Kristálysíkok Metszéspontjai

Miller-indexek

Vizualizáció

Mik azok a Miller-indexek?

Dokumentáció

Miller Indices Calculator

Introduction

What Are Miller Indices?

Visual Representation of Miller Indices

Formula for Calculating Miller Indices

Special Cases and Conventions

Step-by-Step Guide to Using the Calculator

Example Calculation

Use Cases for Miller Indices

Crystallography and X-ray Diffraction

Materials Science and Engineering

Mineralogy and Geology

Educational Applications

Alternatives to Miller Indices

History of Miller Indices

Code Examples for Calculating Miller Indices

Numerical Examples

Frequently Asked Questions

What are Miller indices used for?

How do I handle a plane that is parallel to one of the axes?

What do negative Miller indices mean?

How do Miller indices relate to crystal structure?

What is the difference between Miller indices and Miller-Bravais indices?

How do I calculate the angle between two crystal planes?

What is the relationship between Miller indices and d-spacing?

Can Miller indices be fractions?

How do I determine the Miller indices of a crystal face experimentally?

What are the Miller indices of common crystal planes?

References

Kapcsolódó Eszközök

Six Sigma Számológép: Mérje Meg a Folyamata Minőségét

Molekuláris Tömeg Kalkulátor - Ingyenes Kémiai Formula Eszköz

Binomiális Eloszlás Számító Eszköz a Valószínűségekhez

Gamma eloszlás kalkulátor - Statikus és dinamikus elemzés

Beton Oszlop Kalkulátor: Térfogat és Szükséges Zsákok

Időintervallum-kalkulátor: Kiszámítani az időt két dátum között