Calcolatore degli Indici di Miller per l'Identificazione dei Piani Cristallini
Calcola gli indici di Miller dagli intercetti dei piani cristallini con questo strumento facile da usare. Essenziale per la cristallografia, la scienza dei materiali e le applicazioni della fisica dello stato solido.
Calcolatore degli Indici di Miller
Intercettazioni del Piano Cristallino
Inserisci le intercettazioni del piano cristallino con gli assi x, y e z. Usa '0' per i piani paralleli a un asse (intercettazione infinita).
Inserisci un numero o 0 per infinito
Inserisci un numero o 0 per infinito
Inserisci un numero o 0 per infinito
Indici di Miller
Gli indici di Miller per questo piano sono:
Visualizzazione
Cosa sono gli Indici di Miller?
Gli indici di Miller sono un sistema di notazione utilizzato in cristallografia per specificare piani e direzioni nei reticoli cristallini.
Per calcolare gli indici di Miller (h,k,l) dalle intercettazioni (a,b,c):
1. Prendi i reciproci delle intercettazioni: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Converti nel più piccolo insieme di interi con lo stesso rapporto 3. Se un piano è parallelo a un asse (intercettazione = infinito), il suo indice di Miller corrispondente è 0
- Gli indici negativi sono indicati con una barra sopra il numero, ad esempio, (h̄,k,l)
- La notazione (hkl) rappresenta un piano specifico, mentre {hkl} rappresenta una famiglia di piani equivalenti
- Gli indici di direzione sono scritti tra parentesi quadre [hkl], e le famiglie di direzioni sono indicate da <hkl>
Documentazione
Calcolatore di Indici di Miller
Introduzione
Il Calcolatore di Indici di Miller è uno strumento potente per cristallografi, scienziati dei materiali e studenti per determinare gli indici di Miller dei piani cristallini. Gli indici di Miller sono un sistema di notazione utilizzato in cristallografia per specificare piani e direzioni nei reticoli cristallini. Questo calcolatore consente di convertire facilmente gli intercetti di un piano cristallino con gli assi coordinati negli indici di Miller corrispondenti, fornendo un modo standardizzato per identificare e comunicare riguardo a specifici piani cristallini.
Gli indici di Miller sono fondamentali per comprendere le strutture cristalline e le loro proprietà. Rappresentando i piani con un semplice insieme di tre interi (h,k,l), gli indici di Miller consentono agli scienziati di analizzare i modelli di diffrazione a raggi X, prevedere i comportamenti di crescita cristallina, calcolare gli spazi interplanari e studiare varie proprietà fisiche che dipendono dall'orientamento cristallografico.
Cosa Sono gli Indici di Miller?
Gli indici di Miller sono un insieme di tre interi (h,k,l) che definiscono una famiglia di piani paralleli in un reticolo cristallino. Questi indici sono derivati dai reciproci degli intercetti che un piano fa con gli assi cristallografici. La notazione fornisce un modo standardizzato per identificare specifici piani all'interno di una struttura cristallina.
Rappresentazione Visiva degli Indici di Miller
Formula per Calcolare gli Indici di Miller
Per calcolare gli indici di Miller (h,k,l) di un piano cristallino, segui questi passaggi matematici:
- Determina gli intercetti del piano con gli assi cristallografici x, y e z, dando valori a, b e c.
- Prendi i reciproci di questi intercetti: 1/a, 1/b, 1/c.
- Converti questi reciproci nel più piccolo insieme di interi che mantengono la stessa proporzione.
- Gli interi risultanti sono gli indici di Miller (h,k,l).
Matematicamente, questo può essere espresso come:
Dove:
- (h,k,l) sono gli indici di Miller
- a, b, c sono gli intercetti del piano con gli assi x, y e z, rispettivamente
Casi Speciali e Convenzioni
Diversi casi speciali e convenzioni sono importanti da comprendere:
-
Intercetti all'Infinito: Se un piano è parallelo a un asse, il suo intercetto è considerato infinito e l'indice di Miller corrispondente diventa zero.
-
Indici Negativi: Se un piano intercetta un asse sul lato negativo dell'origine, l'indice di Miller corrispondente è negativo, denotato con una barra sopra il numero nella notazione cristallografica, ad esempio (h̄kl).
-
Intercetti Frazionari: Se gli intercetti sono frazionari, vengono convertiti in interi moltiplicando per il minimo comune multiplo.
-
Semplificazione: Gli indici di Miller sono sempre ridotti al più piccolo insieme di interi che mantengono la stessa proporzione.
Guida Passo-Passo per Usare il Calcolatore
Il nostro Calcolatore di Indici di Miller offre un modo semplice per determinare gli indici di Miller per qualsiasi piano cristallino. Ecco come usarlo:
-
Inserisci gli Intercetti: Immetti i valori in cui il piano interseca gli assi x, y e z.
- Usa numeri positivi per gli intercetti sul lato positivo dell'origine.
- Usa numeri negativi per gli intercetti sul lato negativo.
- Inserisci "0" per i piani che sono paralleli a un asse (intercetto all'infinito).
-
Visualizza i Risultati: Il calcolatore calcolerà automaticamente e mostrerà gli indici di Miller (h,k,l) per il piano specificato.
-
Visualizza il Piano: Il calcolatore include una visualizzazione 3D per aiutarti a comprendere l'orientamento del piano all'interno del reticolo cristallino.
-
Copia i Risultati: Usa il pulsante "Copia negli Appunti" per trasferire facilmente gli indici di Miller calcolati in altre applicazioni.
Esempio di Calcolo
Facciamo un esempio:
Supponiamo che un piano intercetti gli assi x, y e z nei punti 2, 3 e 6 rispettivamente.
- Gli intercetti sono (2, 3, 6).
- Prendendo i reciproci: (1/2, 1/3, 1/6).
- Per trovare il più piccolo insieme di interi con la stessa proporzione, moltiplica per il minimo comune multiplo dei denominatori (MCM di 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
- Pertanto, gli indici di Miller sono (3,2,1).
Casi d'Uso per gli Indici di Miller
Gli indici di Miller hanno numerose applicazioni in vari campi scientifici e ingegneristici:
Cristallografia e Diffrazione a Raggi X
Gli indici di Miller sono essenziali per interpretare i modelli di diffrazione a raggi X. La distanza tra i piani cristallini, identificati dai loro indici di Miller, determina gli angoli ai quali i raggi X vengono diffratti, seguendo la legge di Bragg:
Dove:
- è un intero
- è la lunghezza d'onda dei raggi X
- è la distanza tra i piani con indici di Miller (h,k,l)
- è l'angolo di incidenza
Scienza dei Materiali e Ingegneria
-
Analisi dell'Energia di Superficie: Diversi piani cristallini hanno energie di superficie diverse, influenzando proprietà come la crescita cristallina, la catalisi e l'adesione.
-
Proprietà Meccaniche: L'orientamento dei piani cristallini influenza le proprietà meccaniche come i sistemi di scorrimento, i piani di frattura e il comportamento di rottura.
-
Fabbricazione di Semiconduttori: Nella fabbricazione di semiconduttori, vengono selezionati specifici piani cristallini per la crescita epitassiale e la fabbricazione di dispositivi a causa delle loro proprietà elettroniche.
-
Analisi della Tessitura: Gli indici di Miller aiutano a caratterizzare le orientazioni preferenziali (tessitura) nei materiali policristallini, che influenzano le loro proprietà fisiche.
Mineralogia e Geologia
I geologi utilizzano gli indici di Miller per descrivere le facce cristalline e i piani di scollamento nei minerali, aiutando con l'identificazione e la comprensione delle condizioni di formazione.
Applicazioni Educative
Gli indici di Miller sono concetti fondamentali insegnati nei corsi di scienza dei materiali, cristallografia e fisica dello stato solido, rendendo questo calcolatore uno strumento educativo prezioso.
Alternative agli Indici di Miller
Sebbene gli indici di Miller siano la notazione più comunemente utilizzata per i piani cristallini, esistono diversi sistemi alternativi:
-
Indici di Miller-Bravais: Una notazione a quattro indici (h,k,i,l) utilizzata per sistemi cristallini esagonali, dove i = -(h+k). Questa notazione riflette meglio la simmetria delle strutture esagonali.
-
Simboli di Weber: Utilizzati principalmente nella letteratura più vecchia, in particolare per descrivere le direzioni nei cristalli cubic.
-
Vettori di Reticolo Diretti: In alcuni casi, i piani vengono descritti utilizzando i vettori di reticolo diretti piuttosto che gli indici di Miller.
-
Posizioni di Wyckoff: Per descrivere le posizioni atomiche all'interno delle strutture cristalline piuttosto che i piani.
Nonostante queste alternative, gli indici di Miller rimangono la notazione standard a causa della loro semplicità e applicabilità universale in tutti i sistemi cristallini.
Storia degli Indici di Miller
Il sistema degli indici di Miller è stato sviluppato dal mineralogista e cristallografo britannico William Hallowes Miller nel 1839, pubblicato nel suo trattato "A Treatise on Crystallography". La notazione di Miller si basava su lavori precedenti di Auguste Bravais e altri, ma forniva un approccio più elegante e matematicamente coerente.
Prima del sistema di Miller, venivano utilizzate varie notazioni per descrivere le facce cristalline, inclusi i parametri di Weiss e i simboli di Naumann. L'innovazione di Miller è stata quella di utilizzare i reciproci degli intercetti, semplificando molti calcoli cristallografici e fornendo una rappresentazione più intuitiva dei piani paralleli.
L'adozione degli indici di Miller è aumentata con la scoperta della diffrazione a raggi X da parte di Max von Laue nel 1912 e il successivo lavoro di William Lawrence Bragg e William Henry Bragg. La loro ricerca ha dimostrato l'utilità pratica degli indici di Miller nell'interpretare i modelli di diffrazione e determinare le strutture cristalline.
Nel corso del XX secolo, man mano che la cristallografia diventava sempre più importante nella scienza dei materiali, nella fisica dello stato solido e nella biochimica, gli indici di Miller si sono affermati come la notazione standard. Oggi rimangono essenziali nelle moderne tecniche di caratterizzazione dei materiali, nella cristallografia computazionale e nella progettazione di nanomateriali.
Esempi di Codice per Calcolare gli Indici di Miller
1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5 """
6 Calcola gli indici di Miller dagli intercetti
7
8 Args:
9 intercepts: Lista di tre intercetti [a, b, c]
10
11 Returns:
12 Lista di tre indici di Miller [h, k, l]
13 """
14 # Gestire gli intercetti all'infinito (parallelo all'asse)
15 reciprocals = []
16 for intercept in intercepts:
17 if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18 reciprocals.append(0)
19 else:
20 reciprocals.append(1 / intercept)
21
22 # Trova valori non zero per il calcolo del MCD
23 non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24
25 if not non_zero:
26 return [0, 0, 0]
27
28 # Scala a interi ragionevoli (evitando problemi di punto flottante)
29 scale = 1000
30 scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31
32 # Trova il MCD
33 gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34
35 # Converti di nuovo in interi più piccoli
36 miller_indices = []
37 for r in reciprocals:
38 if r == 0:
39 miller_indices.append(0)
40 else:
41 miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42
43 return miller_indices
44
45# Esempio di utilizzo
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Indici di Miller per intercetti {intercepts}: {indices}") # Output: [3, 2, 1]
491function gcd(a, b) {
2 a = Math.abs(a);
3 b = Math.abs(b);
4
5 while (b !== 0) {
6 const temp = b;
7 b = a % b;
8 a = temp;
9 }
10
11 return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15 return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19 // Gestire intercetti all'infinito
20 const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21 if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22 return 0;
23 }
24 return 1 / intercept;
25 });
26
27 // Trova valori non zero per il calcolo del MCD
28 const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29
30 if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31 return [0, 0, 0];
32 }
33
34 // Scala a interi per evitare problemi di punto flottante
35 const scale = 1000;
36 const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37
38 // Trova il MCD
39 const divisor = gcdMultiple(scaled);
40
41 // Converti a interi più piccoli
42 const millerIndices = reciprocals.map(val =>
43 val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44 );
45
46 return millerIndices;
47}
48
49// Esempio
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Indici di Miller per intercetti ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Output: Indici di Miller per intercetti 2,3,6: (3,2,1)
541import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4
5 public static int gcd(int a, int b) {
6 a = Math.abs(a);
7 b = Math.abs(b);
8
9 while (b != 0) {
10 int temp = b;
11 b = a % b;
12 a = temp;
13 }
14
15 return a;
16 }
17
18 public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19 int result = numbers[0];
20 for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21 result = gcd(result, numbers[i]);
22 }
23 return result;
24 }
25
26 public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27 double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28
29 // Calcola i reciproci
30 for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31 if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32 reciprocals[i] = 0;
33 } else {
34 reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35 }
36 }
37
38 // Conta valori non zero
39 int nonZeroCount = 0;
40 for (double r : reciprocals) {
41 if (r != 0) nonZeroCount++;
42 }
43
44 if (nonZeroCount == 0) {
45 return new int[]{0, 0, 0};
46 }
47
48 // Scala a interi
49 int scale = 1000;
50 int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51 int index = 0;
52
53 for (double r : reciprocals) {
54 if (r != 0) {
55 scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56 }
57 }
58
59 // Trova il MCD
60 int divisor = gcdMultiple(scaled);
61
62 // Converti a interi più piccoli
63 int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64 for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65 if (reciprocals[i] == 0) {
66 millerIndices[i] = 0;
67 } else {
68 millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69 }
70 }
71
72 return millerIndices;
73 }
74
75 public static void main(String[] args) {
76 double[] intercepts = {2, 3, 6};
77 int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78
79 System.out.println("Indici di Miller per intercetti " +
80 Arrays.toString(intercepts) + ": " +
81 Arrays.toString(indices));
82 // Output: Indici di Miller per intercetti [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83 }
84}
851' Funzione VBA di Excel per il Calcolo degli Indici di Miller
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3 Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4 Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5 Dim scale As Long, gcdVal As Long
6 Dim scaledVals() As Long
7 Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8
9 ' Calcola i reciproci
10 If x = 0 Then
11 recipX = 0
12 Else
13 recipX = 1 / x
14 End If
15
16 If y = 0 Then
17 recipY = 0
18 Else
19 recipY = 1 / y
20 End If
21
22 If z = 0 Then
23 recipZ = 0
24 Else
25 recipZ = 1 / z
26 End If
27
28 ' Conta valori non zero
29 nonZeroCount = 0
30 If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31 If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32 If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33
34 If nonZeroCount = 0 Then
35 CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36 Exit Function
37 End If
38
39 ' Scala a interi
40 scale = 1000
41 ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42 i = 1
43
44 If recipX <> 0 Then
45 scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46 i = i + 1
47 End If
48
49 If recipY <> 0 Then
50 scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51 i = i + 1
52 End If
53
54 If recipZ <> 0 Then
55 scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56 End If
57
58 ' Trova il MCD
59 gcdVal = scaledVals(1)
60 For i = 2 To nonZeroCount
61 gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62 Next i
63
64 ' Calcola gli indici di Miller
65 If recipX = 0 Then
66 millerH = 0
67 Else
68 millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69 End If
70
71 If recipY = 0 Then
72 millerK = 0
73 Else
74 millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75 End If
76
77 If recipZ = 0 Then
78 millerL = 0
79 Else
80 millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81 End If
82
83 CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87 Dim temp As Long
88
89 a = Abs(a)
90 b = Abs(b)
91
92 Do While b <> 0
93 temp = b
94 b = a Mod b
95 a = temp
96 Loop
97
98 GCD = a
99End Function
100
101' Utilizzo in Excel:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Risultato: (3,2,1)
1041#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Calcola il MCD di due numeri
8int gcd(int a, int b) {
9 a = std::abs(a);
10 b = std::abs(b);
11
12 while (b != 0) {
13 int temp = b;
14 b = a % b;
15 a = temp;
16 }
17
18 return a;
19}
20
21// Calcola il MCD di più numeri
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23 int result = numbers[0];
24 for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25 result = gcd(result, numbers[i]);
26 }
27 return result;
28}
29
30// Calcola gli indici di Miller dagli intercetti
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32 std::vector<double> reciprocals;
33
34 // Calcola i reciproci
35 for (double intercept : intercepts) {
36 if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37 reciprocals.push_back(0);
38 } else {
39 reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40 }
41 }
42
43 // Trova valori non zero
44 std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45 for (double r : reciprocals) {
46 if (r != 0) {
47 nonZeroReciprocals.push_back(r);
48 }
49 }
50
51 if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52 return {0, 0, 0};
53 }
54
55 // Scala a interi
56 const int scale = 1000;
57 std::vector<int> scaled;
58 for (double r : nonZeroReciprocals) {
59 scaled.push_back(std::round(r * scale));
60 }
61
62 // Trova il MCD
63 int divisor = gcdMultiple(scaled);
64
65 // Converti a interi più piccoli
66 std::vector<int> millerIndices;
67 for (double r : reciprocals) {
68 if (r == 0) {
69 millerIndices.push_back(0);
70 } else {
71 millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72 }
73 }
74
75 return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79 std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80 std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81
82 std::cout << "Indici di Miller per intercetti [";
83 for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84 std::cout << intercepts[i];
85 if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86 }
87 std::cout << "]: (";
88
89 for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90 std::cout << indices[i];
91 if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92 }
93 std::cout << ")" << std::endl;
94
95 // Output: Indici di Miller per intercetti [2, 3, 6]: (3,2,1)
96
97 return 0;
98}
99Esempi Numerici
Ecco alcuni esempi comuni di calcolo degli indici di Miller:
-
Esempio 1: Caso Standard
- Intercetti: (2, 3, 6)
- Reciproci: (1/2, 1/3, 1/6)
- Moltiplica per il MCM dei denominatori (6): (3, 2, 1)
- Indici di Miller: (3,2,1)
-
Esempio 2: Piano Parallelo a un Asse
- Intercetti: (1, ∞, 2)
- Reciproci: (1, 0, 1/2)
- Moltiplica per 2: (2, 0, 1)
- Indici di Miller: (2,0,1)
-
Esempio 3: Intercetti Negativi
- Intercetti: (-1, 2, 3)
- Reciproci: (-1, 1/2, 1/3)
- Moltiplica per 6: (-6, 3, 2)
- Indici di Miller: (-6,3,2)
-
Esempio 4: Intercetti Frazionari
- Intercetti: (1/2, 1/3, 1/4)
- Reciproci: (2, 3, 4)
- Già in forma intera
- Indici di Miller: (2,3,4)
-
Esempio 5: Piano Speciale (100)
- Intercetti: (1, ∞, ∞)
- Reciproci: (1, 0, 0)
- Indici di Miller: (1,0,0)
Domande Frequenti
A cosa servono gli indici di Miller?
Gli indici di Miller vengono utilizzati per identificare e descrivere piani e direzioni in reticoli cristallini. Forniscono una notazione standardizzata che aiuta cristallografi, scienziati dei materiali e ingegneri a comunicare riguardo a specifici orientamenti cristallini. Gli indici di Miller sono essenziali per analizzare i modelli di diffrazione a raggi X, comprendere la crescita cristallina, calcolare gli spazi interplanari e studiare varie proprietà fisiche che dipendono dall'orientamento cristallografico.
Come gestisco un piano che è parallelo a uno degli assi?
Quando un piano è parallelo a un asse, non interseca mai quell'asse, quindi l'intercetto è considerato all'infinito. Nella notazione degli indici di Miller, il reciproco dell'infinito è zero, quindi l'indice di Miller corrispondente diventa zero. Ad esempio, un piano parallelo all'asse y avrebbe intercetti (a, ∞, c) e indici di Miller (h,0,l).
Cosa significano gli indici di Miller negativi?
Gli indici di Miller negativi indicano che il piano intercetta l'asse corrispondente sul lato negativo dell'origine. Nella notazione cristallografica, gli indici negativi sono tipicamente denotati con una barra sopra il numero, come (h̄kl). Gli indici negativi rappresentano piani che sono equivalenti ai loro omologhi positivi in termini di proprietà fisiche ma hanno orientamenti diversi.
Come si relazionano gli indici di Miller alla struttura cristallina?
Gli indici di Miller si relazionano direttamente all'arrangiamento atomico in una struttura cristallina. La distanza tra i piani con indici di Miller specifici (dhkl) dipende dal sistema cristallino e dai parametri reticolari. Nella diffrazione a raggi X, questi piani agiscono come piani di riflessione secondo la legge di Bragg, producendo modelli di diffrazione caratteristici che rivelano la struttura cristallina.
Qual è la differenza tra indici di Miller e indici di Miller-Bravais?
Gli indici di Miller utilizzano tre interi (h,k,l) e sono adatti per la maggior parte dei sistemi cristallini. Gli indici di Miller-Bravais utilizzano quattro interi (h,k,i,l) e sono specificamente progettati per sistemi cristallini esagonali. Il quarto indice, i, è ridondante (i = -(h+k)) ma aiuta a mantenere la simmetria del sistema esagonale e rende più facilmente riconoscibili i piani equivalenti.
Come calcolo l'angolo tra due piani cristallini?
L'angolo θ tra due piani con indici di Miller (h₁,k₁,l₁) e (h₂,k₂,l₂) in un sistema cristallino cubico può essere calcolato utilizzando:
Per sistemi non cubic, il calcolo è più complesso e coinvolge il tensore metrico del sistema cristallino.
Qual è la relazione tra indici di Miller e d-spacing?
La distanza d (interspazio interplanare) per piani con indici di Miller (h,k,l) dipende dal sistema cristallino. Per un cristallo cubico con parametro reticolare a, la relazione è:
Per altri sistemi cristallini, si applicano formule più complesse che incorporano i parametri reticolari specifici.
Gli indici di Miller possono essere frazioni?
No, per convenzione, gli indici di Miller sono sempre interi. Se il calcolo inizialmente produce frazioni, vengono convertiti nel più piccolo insieme di interi che mantengono la stessa proporzione. Questo viene fatto moltiplicando tutti i valori per il minimo comune multiplo dei denominatori.
Come determino sperimentalmente gli indici di Miller di una faccia cristallina?
Gli indici di Miller delle facce cristalline possono essere determinati sperimentalmente utilizzando la diffrazione a raggi X, la diffrazione elettronica o la goniometria ottica. Nella diffrazione a raggi X, gli angoli ai quali si verifica la diffrazione sono correlati alla distanza d dei piani cristallini attraverso la legge di Bragg, che può essere utilizzata per identificare i corrispondenti indici di Miller.
Quali sono gli indici di Miller di piani cristallini comuni?
Alcuni piani cristallini comuni e i loro indici di Miller includono:
- (100), (010), (001): Facce cubic primarie
- (110), (101), (011): Facce diagonali nei sistemi cubic
- (111): Faccia ottaedrica nei sistemi cubic
- (112): Comune piano di scorrimento nei metalli a struttura cubica a corpo centrato
Riferimenti
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Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
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Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.
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