Millera indeksu kalkulators kristālu plakņu identifikācijai

Aprēķiniet Millera indeksus no kristālu plakņu pārtraukumiem ar šo viegli lietojamo rīku. Nepieciešams kristalogrāfijā, materiālu zinātnē un cietvielu fizikā.

Millera indeksa kalkulators

Kristāla plakņu pārtraukumi

Ievadiet kristāla plaknes pārtraukumus ar x, y un z asīm. Izmantojiet '0' plaknēm, kas ir paralēlas asij (bezgalīgs pārtraukums).

X-asī pārtraukums

Ievadiet skaitli vai 0 bezgalībai

Y-asī pārtraukums

Ievadiet skaitli vai 0 bezgalībai

Z-asī pārtraukums

Ievadiet skaitli vai 0 bezgalībai

Millera indeksi

Šīs plaknes Millera indeksi ir:

(1,1,1)

Kopēt uz starpliktuvi

Vizualizācija

Kas ir Millera indeksi?

Millera indeksi ir apzīmējumu sistēma, ko izmanto kristalogrāfijā, lai norādītu plaknes un virzienus kristāla režģos.

Lai aprēķinātu Millera indeksus (h,k,l) no pārtraukumiem (a,b,c):

1. Ņemiet pārtraukumu apgriezto vērtību: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Pārvērtiet uz mazāko veselo skaitļu kopu ar to pašu proporciju 3. Ja plakne ir paralēla asij (pārtraukums = bezgalība), tās attiecīgais Millera indekss ir 0

Negatīvie indeksi tiek norādīti ar svītru virs skaitļa, piemēram, (h̄,k,l)
Apzīmējums (hkl) attēlo konkrētu plakni, savukārt {hkl} attēlo vienādu plakņu grupu
Virziena indeksi tiek rakstīti kvadrātiekavās [hkl], un virzienu grupas tiek apzīmētas ar <hkl>

📚

Dokumentācija

Millera indeksu kalkulators

Ievads

Millera indeksu kalkulators ir jaudīgs rīks kristalogrāfiem, materiālu zinātniekiem un studentiem, lai noteiktu Millera indeksus kristāla plaknēm. Millera indeksi ir apzīmējumu sistēma, ko izmanto kristalogrāfijā, lai norādītu plaknes un virzienus kristāla režģos. Šis kalkulators ļauj viegli pārvērst kristāla plaknes krustpunktus ar koordinātu asīm atbilstošajos Millera indeksos, nodrošinot standartizētu veidu, kā identificēt un sazināties par konkrētām kristāla plaknēm.

Millera indeksi ir pamatprincipi kristāla struktūru un to īpašību izpratnē. Pārstāvot plaknes ar vienkāršu trīs veselu skaitļu kopu (h,k,l), Millera indeksi ļauj zinātniekiem analizēt rentgenstaru difrakcijas modeļus, prognozēt kristāla augšanas uzvedību, aprēķināt starpplakņu attālumus un pētīt dažādas fiziskās īpašības, kas ir atkarīgas no kristalogrāfiskās orientācijas.

Kas ir Millera indeksi?

Millera indeksi ir trīs veselu skaitļu (h,k,l) kopums, kas definē paralēlo plakņu ģimeni kristāla režģī. Šie indeksi tiek iegūti no apgrieztiem frakcionālajiem krustpunktiem, kurus plakne veic ar kristalogrāfiskajām asīm. Šī notācija nodrošina standartizētu veidu, kā identificēt konkrētas plaknes kristāla struktūrā.

Millera indeksu vizuālā attēlošana

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) plakne

Millera indeksi (3,2,1) kristāla plakne

3D vizualizācija par kristāla plakni ar Millera indeksiem (3,2,1). Plakne krustojas ar x, y un z asīm punktos 2, 3 un 6 attiecīgi, radot Millera indeksus (3,2,1) pēc apgriezto un mazāko veselo skaitļu kopas ar to pašu attiecību atrašanas.

Millera indeksu aprēķināšanas formula

Lai aprēķinātu Millera indeksus (h,k,l) kristāla plaknei, izpildiet šos matemātiskos soļus:

Noteikt plaknes krustpunktus ar x, y un z kristalogrāfiskajām asīm, dodot vērtības a, b un c.
Veikt šo krustpunktu apgriezto vērtību: 1/a, 1/b, 1/c.
Pārvērst šos apgriezto vērtības mazākajā veselo skaitļu kopā, kas saglabā to pašu attiecību.
Rezultātā iegūtās trīs veselas skaitļi ir Millera indeksi (h,k,l).

Matemātiski to var izteikt kā:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kur:

(h,k,l) ir Millera indeksi
a, b, c ir plaknes krustpunkti ar x, y un z asīm attiecīgi

Īpaši gadījumi un konvencijas

Daži īpaši gadījumi un konvencijas ir svarīgi saprast:

Bezgalības krustpunkti: Ja plakne ir paralēla asij, tās krustpunkts tiek uzskatīts par bezgalību, un attiecīgais Millera indekss kļūst par nulli.
Negatīvie indeksi: Ja plakne krustojas ar asi negatīvajā pusē no izcelsmes, attiecīgais Millera indekss ir negatīvs, ko norāda ar svītru virs skaitļa kristalogrāfiskajā notācijā, piemēram, (h̄kl).
Frakcionālie krustpunkti: Ja krustpunkti ir frakcionāli, tie tiek pārvērsti par veseliem skaitļiem, reizinot ar mazāko kopējo dalītāju.
Vienkāršošana: Millera indeksi vienmēr tiek samazināti līdz mazākajai veselo skaitļu kopai, kas saglabā to pašu attiecību.

Solis pa solim ceļvedis, kā izmantot kalkulatoru

Mūsu Millera indeksu kalkulators nodrošina vienkāršu veidu, kā noteikt Millera indeksus jebkurai kristāla plaknei. Lūk, kā to izmantot:

Ievadiet krustpunktus: Ievadiet vērtības, kur plakne krustojas ar x, y un z asīm.
- Izmantojiet pozitīvus skaitļus krustpunktiem pozitīvā pusē no izcelsmes.
- Izmantojiet negatīvus skaitļus krustpunktiem negatīvajā pusē.
- Ievadiet "0" plaknēm, kas ir paralēlas asij (bezgalības krustpunkts).
Skatiet rezultātus: Kalkulators automātiski aprēķinās un parādīs Millera indeksus (h,k,l) norādītajai plaknei.
Vizualizējiet plakni: Kalkulators ietver 3D vizualizāciju, lai palīdzētu jums saprast plaknes orientāciju kristāla režģī.
Kopējiet rezultātus: Izmantojiet pogu "Kopēt starpliktuvē", lai viegli pārsūtītu aprēķinātos Millera indeksus uz citām lietojumprogrammām.

Piemēra aprēķins

Apskatīsim piemēru:

Pieņemsim, ka plakne krustojas ar x, y un z asīm punktos 2, 3 un 6 attiecīgi.

Krustpunkti ir (2, 3, 6).
Veicot apgriezto vērtību: (1/2, 1/3, 1/6).
Lai atrastu mazāko veselo skaitļu kopu ar to pašu attiecību, reizinām ar mazāko kopējo dalītāju (LCM no 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Tādējādi Millera indeksi ir (3,2,1).

Millera indeksu izmantošanas gadījumi

Millera indeksi ir daudzpusīgi pielietojami dažādās zinātnes un inženierijas jomās:

Kristalogrāfija un rentgenstaru difrakcija

Millera indeksi ir būtiski, lai interpretētu rentgenstaru difrakcijas modeļus. Attālums starp kristāla plaknēm, ko identificē ar Millera indeksi, nosaka leņķus, pie kuriem rentgenstari tiek difraktēti, saskaņā ar Bragga likumu:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Kur:

$n$ ir vesels skaitlis
$\lambda$ ir rentgenstaru viļņa garums
$d_{hkl}$ ir attālums starp plaknēm ar Millera indeksiem (h,k,l)
$\theta$ ir ieejas leņķis

Materiālu zinātne un inženierija

Virsmu enerģijas analīze: Atšķirīgām kristalogrāfiskajām plaknēm ir atšķirīgas virsmas enerģijas, kas ietekmē tādas īpašības kā kristāla augšana, katalīze un saķere.
Mehāniskās īpašības: Kristāla plakņu orientācija ietekmē mehāniskās īpašības, piemēram, slīpuma sistēmas, plīsuma plaknes un plīsuma uzvedību.
Pusvadītāju ražošana: Pusvadītāju ražošanā tiek izvēlētas konkrētas kristāla plaknes epitaksiskai augšanai un ierīču ražošanai, ņemot vērā to elektroniskās īpašības.
Tekstūras analīze: Millera indeksi palīdz raksturot priekšroka orientācijas (tekstūru) polikristāliskos materiālos, kas ietekmē to fiziskās īpašības.

Mineraloģija un ģeoloģija

Ģeologi izmanto Millera indeksus, lai aprakstītu kristāla virsmas un plīsuma plaknes minerālos, palīdzot to identificēšanā un veidošanas apstākļu izpratnē.

Izglītības pielietojumi

Millera indeksi ir pamatprincipi, kas tiek mācīti materiālu zinātnē, kristalogrāfijā un cietvielu fizikā, padarot šo kalkulatoru par vērtīgu izglītības rīku.

Alternatīvas Millera indeksiem

Lai gan Millera indeksi ir visplašāk izmantotā notācija kristāla plaknēm, pastāv vairākas alternatīvas sistēmas:

Millera-Bravais indeksi: Četru indeksu notācija (h,k,i,l), ko izmanto sešstūra kristāliskajās sistēmās, kur i = -(h+k). Šī notācija labāk atspoguļo sešstūra struktūru simetriju.
Vebera simboli: Galvenokārt izmantoti vecākajā literatūrā, īpaši, lai aprakstītu virzienus kubiskajos kristālos.
Tiešie režģa vektori: Dažos gadījumos plaknes tiek aprakstītas, izmantojot tiešos režģa vektorus, nevis Millera indeksus.
Vikofas pozīcijas: Lai aprakstītu atomu pozīcijas kristāla struktūrās, nevis plaknes.

Neskatoties uz šīm alternatīvām, Millera indeksi paliek standartizēta notācija to vienkāršības un vispārējās piemērojamības dēļ visās kristāla sistēmās.

Millera indeksu vēsture

Millera indeksu sistēma tika izstrādāta britu mineraloģijas un kristalogrāfijas speciālista Viljama Halouza Millera 1839. gadā, publicēta viņa traktātā "A Treatise on Crystallography". Millera notācija balstījās uz agrāku darbu, ko veica Augusts Bravais un citi, bet nodrošināja elegantāku un matemātiski konsekventu pieeju.

Pirms Millera sistēmas tika izmantotas dažādas notācijas, lai aprakstītu kristāla virsmas, tostarp Veisa parametri un Naumanna simboli. Millera inovācija bija izmantot apgriezto krustpunktu, kas vienkāršoja daudzus kristalogrāfiskos aprēķinus un nodrošināja intuitīvāku paralēlo plakņu attēlojumu.

Millera indeksu pieņemšana paātrinājās ar rentgenstaru difrakcijas atklāšanu, ko veica Makss fon Laue 1912. gadā, un sekojošo Viljama Lorensa Bragga un Viljama Henrija Bragga darbu. Viņu pētījumi parādīja Millera indeksu praktisko lietderību difrakcijas modeļu interpretācijā un kristāla struktūru noteikšanā.

Visā 20. gadsimtā, kad kristalogrāfija kļuva arvien svarīgāka materiālu zinātnē, cietvielu fizikā un bioloģijā, Millera indeksi nostiprinājās kā standarta notācija. Šodien tie paliek būtiski mūsdienu materiālu raksturošanas tehnikās, datoru kristalogrāfijā un nanomateriālu projektēšanā.

Koda piemēri Millera indeksu aprēķināšanai

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Aprēķina Millera indeksus no krustpunktiem
7    
8    Args:
9        intercepts: Trīs krustpunktu saraksts [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Trīs Millera indeksu saraksts [h, k, l]
13    """
14    # Apstrādā bezgalības krustpunktus (paralēli asij)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Atrod ne-nulles vērtības GCD aprēķināšanai
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Mērogošana uz saprātīgiem veseliem skaitļiem (izvairoties no peldošās komatas problēmām)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Atrod GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Atgriež mazākos skaitļus
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Piemēra izmantošana
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Millera indeksi krustpunktiem {intercepts}: {indices}")  # Izvade: [3, 2, 1]
49

1function gcd(a, b) {
2  a = Math.abs(a);
3  b = Math.abs(b);
4  
5  while (b !== 0) {
6    const temp = b;
7    b = a % b;
8    a = temp;
9  }
10  
11  return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19  // Apstrādā bezgalības krustpunktus
20  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22      return 0;
23    }
24    return 1 / intercept;
25  });
26  
27  // Atrod ne-nulles vērtības GCD aprēķināšanai
28  const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29  
30  if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31    return [0, 0, 0];
32  }
33  
34  // Mērogošana uz veseliem skaitļiem, lai izvairītos no peldošās komatas problēmām
35  const scale = 1000;
36  const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37  
38  // Atrod GCD
39  const divisor = gcdMultiple(scaled);
40  
41  // Pārvērš uz mazākajiem veseliem skaitļiem
42  const millerIndices = reciprocals.map(val => 
43    val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44  );
45  
46  return millerIndices;
47}
48
49// Piemērs
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Millera indeksi krustpunktiem ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Izvade: Millera indeksi krustpunktiem 2,3,6: (3,2,1)
54

1import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4    
5    public static int gcd(int a, int b) {
6        a = Math.abs(a);
7        b = Math.abs(b);
8        
9        while (b != 0) {
10            int temp = b;
11            b = a % b;
12            a = temp;
13        }
14        
15        return a;
16    }
17    
18    public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19        int result = numbers[0];
20        for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21            result = gcd(result, numbers[i]);
22        }
23        return result;
24    }
25    
26    public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27        double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28        
29        // Aprēķina apgriezto
30        for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31            if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32                reciprocals[i] = 0;
33            } else {
34                reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35            }
36        }
37        
38        // Skaita ne-nulles vērtības
39        int nonZeroCount = 0;
40        for (double r : reciprocals) {
41            if (r != 0) nonZeroCount++;
42        }
43        
44        if (nonZeroCount == 0) {
45            return new int[]{0, 0, 0};
46        }
47        
48        // Mērogošana uz veseliem skaitļiem
49        int scale = 1000;
50        int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51        int index = 0;
52        
53        for (double r : reciprocals) {
54            if (r != 0) {
55                scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56            }
57        }
58        
59        // Atrod GCD
60        int divisor = gcdMultiple(scaled);
61        
62        // Pārvērš uz mazākajiem veseliem skaitļiem
63        int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64        for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65            if (reciprocals[i] == 0) {
66                millerIndices[i] = 0;
67            } else {
68                millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69            }
70        }
71        
72        return millerIndices;
73    }
74    
75    public static void main(String[] args) {
76        double[] intercepts = {2, 3, 6};
77        int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78        
79        System.out.println("Millera indeksi krustpunktiem " + 
80                           Arrays.toString(intercepts) + ": " + 
81                           Arrays.toString(indices));
82        // Izvade: Millera indeksi krustpunktiem [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83    }
84}
85

1' Excel VBA funkcija Millera indeksu aprēķināšanai
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3    Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4    Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5    Dim scale As Long, gcdVal As Long
6    Dim scaledVals() As Long
7    Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8    
9    ' Aprēķina apgriezto
10    If x = 0 Then
11        recipX = 0
12    Else
13        recipX = 1 / x
14    End If
15    
16    If y = 0 Then
17        recipY = 0
18    Else
19        recipY = 1 / y
20    End If
21    
22    If z = 0 Then
23        recipZ = 0
24    Else
25        recipZ = 1 / z
26    End If
27    
28    ' Skaita ne-nulles vērtības
29    nonZeroCount = 0
30    If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31    If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32    If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33    
34    If nonZeroCount = 0 Then
35        CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36        Exit Function
37    End If
38    
39    ' Mērogošana uz veseliem skaitļiem
40    scale = 1000
41    ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42    i = 1
43    
44    If recipX <> 0 Then
45        scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46        i = i + 1
47    End If
48    
49    If recipY <> 0 Then
50        scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51        i = i + 1
52    End If
53    
54    If recipZ <> 0 Then
55        scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56    End If
57    
58    ' Atrod GCD
59    gcdVal = scaledVals(1)
60    For i = 2 To nonZeroCount
61        gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62    Next i
63    
64    ' Aprēķina Millera indeksus
65    If recipX = 0 Then
66        millerH = 0
67    Else
68        millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69    End If
70    
71    If recipY = 0 Then
72        millerK = 0
73    Else
74        millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75    End If
76    
77    If recipZ = 0 Then
78        millerL = 0
79    Else
80        millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81    End If
82    
83    CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87    Dim temp As Long
88    
89    a = Abs(a)
90    b = Abs(b)
91    
92    Do While b <> 0
93        temp = b
94        b = a Mod b
95        a = temp
96    Loop
97    
98    GCD = a
99End Function
100
101' Izmantošana Excelī:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Rezultāts: (3,2,1)
104

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Aprēķina divu skaitļu GCD
8int gcd(int a, int b) {
9    a = std::abs(a);
10    b = std::abs(b);
11    
12    while (b != 0) {
13        int temp = b;
14        b = a % b;
15        a = temp;
16    }
17    
18    return a;
19}
20
21// Aprēķina vairāku skaitļu GCD
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23    int result = numbers[0];
24    for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25        result = gcd(result, numbers[i]);
26    }
27    return result;
28}
29
30// Aprēķina Millera indeksus no krustpunktiem
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32    std::vector<double> reciprocals;
33    
34    // Aprēķina apgriezto
35    for (double intercept : intercepts) {
36        if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37            reciprocals.push_back(0);
38        } else {
39            reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40        }
41    }
42    
43    // Atrod ne-nulles vērtības
44    std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45    for (double r : reciprocals) {
46        if (r != 0) {
47            nonZeroReciprocals.push_back(r);
48        }
49    }
50    
51    if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52        return {0, 0, 0};
53    }
54    
55    // Mērogošana uz veseliem skaitļiem
56    const int scale = 1000;
57    std::vector<int> scaled;
58    for (double r : nonZeroReciprocals) {
59        scaled.push_back(std::round(r * scale));
60    }
61    
62    // Atrod GCD
63    int divisor = gcdMultiple(scaled);
64    
65    // Pārvērš uz mazākajiem veseliem skaitļiem
66    std::vector<int> millerIndices;
67    for (double r : reciprocals) {
68        if (r == 0) {
69            millerIndices.push_back(0);
70        } else {
71            millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72        }
73    }
74    
75    return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79    std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80    std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81    
82    std::cout << "Millera indeksi krustpunktiem [";
83    for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84        std::cout << intercepts[i];
85        if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86    }
87    std::cout << "]: (";
88    
89    for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90        std::cout << indices[i];
91        if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92    }
93    std::cout << ")" << std::endl;
94    
95    // Izvade: Millera indeksi krustpunktiem [2, 3, 6]: (3,2,1)
96    
97    return 0;
98}
99

Skaitliskie piemēri

Šeit ir daži bieži sastopami Millera indeksu aprēķinu piemēri:

Piemērs 1: Standarta gadījums
- Krustpunkti: (2, 3, 6)
- Apgriezto: (1/2, 1/3, 1/6)
- Reizinām ar LCM no saucējiem (6): (3, 2, 1)
- Millera indeksi: (3,2,1)
Piemērs 2: Plakne paralēli asij
- Krustpunkti: (1, ∞, 2)
- Apgriezto: (1, 0, 1/2)
- Reizinām ar 2: (2, 0, 1)
- Millera indeksi: (2,0,1)
Piemērs 3: Negatīvie krustpunkti
- Krustpunkti: (-1, 2, 3)
- Apgriezto: (-1, 1/2, 1/3)
- Reizinām ar 6: (-6, 3, 2)
- Millera indeksi: (-6,3,2)
Piemērs 4: Frakcionālie krustpunkti
- Krustpunkti: (1/2, 1/3, 1/4)
- Apgriezto: (2, 3, 4)
- Jau veseli skaitļi
- Millera indeksi: (2,3,4)
Piemērs 5: Īpaša plakne (100)
- Krustpunkti: (1, ∞, ∞)
- Apgriezto: (1, 0, 0)
- Millera indeksi: (1,0,0)

Biežāk uzdotie jautājumi

Kam tiek izmantoti Millera indeksi?

Millera indeksi tiek izmantoti, lai identificētu un aprakstītu plaknes un virzienus kristāla režģos. Tie nodrošina standartizētu notāciju, kas palīdz kristalogrāfiem, materiālu zinātniekiem un inženieriem sazināties par konkrētām kristāla orientācijām. Millera indeksi ir būtiski, lai analizētu rentgenstaru difrakcijas modeļus, izprastu kristāla augšanu, aprēķinātu starpplakņu attālumus un pētītu dažādas fiziskās īpašības, kas ir atkarīgas no kristalogrāfiskās orientācijas.

Kā rīkoties ar plakni, kas ir paralēla vienai no asīm?

Kad plakne ir paralēla asij, tā nekad nesakrīt ar šo asi, tādēļ krustpunkts tiek uzskatīts par bezgalību. Millera indeksu notācijā apgrieztais bezgalībai ir nulle, tādēļ attiecīgais Millera indekss kļūst par nulli. Piemēram, plakne, kas ir paralēla y asij, būtu ar krustpunktiem (a, ∞, c) un Millera indeksi (h,0,l).

Ko nozīmē negatīvie Millera indeksi?

Negatīvie Millera indeksi norāda, ka plakne krustojas ar attiecīgo asi negatīvajā pusē no izcelsmes. Kristalogrāfiskajā notācijā negatīvie indeksi parasti tiek norādīti ar svītru virs skaitļa, piemēram, (h̄kl). Negatīvie indeksi pārstāv plaknes, kas ir ekvivalentas to pozitīvajām atbildēm attiecībā uz fiziskajām īpašībām, bet tām ir atšķirīgas orientācijas.

Kā Millera indeksi attiecās uz kristāla struktūru?

Millera indeksi tieši attiecās uz atomu izvietojumu kristāla struktūrā. Attālums starp plaknēm ar konkrētiem Millera indeksiem (dhkl) ir atkarīgs no kristāla sistēmas un režģa parametriem. Rentgenstaru difrakcijā šīs plaknes darbojas kā atspoguļojošās plaknes saskaņā ar Bragga likumu, radot raksturīgas difrakcijas modeļus, kas atklāj kristāla struktūru.

Kāda ir atšķirība starp Millera indeksiem un Millera-Bravais indeksiem?

Millera indeksi izmanto trīs veselus skaitļus (h,k,l) un ir piemēroti lielākajai daļai kristāla sistēmu. Millera-Bravais indeksi izmanto četrus veselus skaitļus (h,k,i,l) un ir speciāli izstrādāti sešstūra kristāla sistēmām. Ceturtais indekss, i, ir lieks (i = -(h+k)), bet palīdz saglabāt sešstūra sistēmas simetriju un padara ekvivalentās plaknes vieglāk atpazīstamas.

Kā aprēķināt leņķi starp divām kristāla plaknēm?

Leņķi θ starp divām plaknēm ar Millera indeksiem (h₁,k₁,l₁) un (h₂,k₂,l₂) kubiskajā kristāla sistēmā var aprēķināt, izmantojot:

$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)}}$

Ne-kubiskajās sistēmās aprēķins ir sarežģītāks un ietver kristāla sistēmas metrisko tenzoru.

Vai Millera indeksi var būt frakcionāli?

Nē, pēc konvencijas Millera indeksi vienmēr ir veseli skaitļi. Ja aprēķins sākotnēji dod frakcionālus skaitļus, tie tiek pārvērsti par mazāko veselo skaitļu kopu, kas saglabā to pašu attiecību. To veic, reizinot visus skaitļus ar mazāko kopējo dalītāju.

Kā es varu noteikt Millera indeksus eksperimentāli?

Millera indeksus kristāla virsmām var noteikt eksperimentāli, izmantojot rentgenstaru difrakciju, elektronu difrakciju vai optisko goniometriju. Rentgenstaru difrakcijā difrakcijas leņķi ir saistīti ar d-attālumu kristāla plaknēm, izmantojot Bragga likumu, kas var tikt izmantots, lai identificētu atbilstošos Millera indeksus.

Kādi ir Millera indeksi parastām kristāla plaknēm?

Dažas parastas kristāla plaknes un to Millera indeksi ietver:

(100), (010), (001): Primārās kubiskās virsmas
(110), (101), (011): Diagonāles virsmas kubiskajās sistēmās
(111): Oktāhedrālā virsma kubiskajās sistēmās
(112): Bieži slīpuma plakne ķermeņa centrētajos kubiskajos metālos

Atsauces

Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4th ed.). Oxford University Press.
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3rd ed.). Pearson Education.
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8th ed.). Wiley.
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2nd ed.). Wiley.
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3rd ed.). Oxford University Press.
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.

Izmēģiniet mūsu Millera indeksu kalkulatoru jau šodien, lai ātri un precīzi noteiktu Millera indeksus jebkurai kristāla plaknei. Neatkarīgi no tā, vai esat students, kurš mācās kristalogrāfiju, pētnieks, kurš analizē materiālu struktūras, vai inženieris, kurš projektē jaunus materiālus, šis rīks palīdzēs jums identificēt un saprast kristāla plaknes ar vieglumu.

🔗

Saistītie Rīki

Atklājiet vairāk rīku, kas varētu būt noderīgi jūsu darbplūsmai

Millera indeksu kalkulators kristālu plakņu identifikācijai

Millera indeksa kalkulators

Kristāla plakņu pārtraukumi

Millera indeksi

Vizualizācija

Kas ir Millera indeksi?

Dokumentācija

Millera indeksu kalkulators

Ievads

Kas ir Millera indeksi?

Millera indeksu vizuālā attēlošana

Millera indeksu aprēķināšanas formula

Īpaši gadījumi un konvencijas

Solis pa solim ceļvedis, kā izmantot kalkulatoru

Piemēra aprēķins

Millera indeksu izmantošanas gadījumi

Kristalogrāfija un rentgenstaru difrakcija

Materiālu zinātne un inženierija

Mineraloģija un ģeoloģija

Izglītības pielietojumi

Alternatīvas Millera indeksiem

Millera indeksu vēsture

Koda piemēri Millera indeksu aprēķināšanai

Skaitliskie piemēri

Biežāk uzdotie jautājumi

Kam tiek izmantoti Millera indeksi?

Kā rīkoties ar plakni, kas ir paralēla vienai no asīm?

Ko nozīmē negatīvie Millera indeksi?

Kā Millera indeksi attiecās uz kristāla struktūru?

Kāda ir atšķirība starp Millera indeksiem un Millera-Bravais indeksiem?

Kā aprēķināt leņķi starp divām kristāla plaknēm?

Vai Millera indeksi var būt frakcionāli?

Kā es varu noteikt Millera indeksus eksperimentāli?

Kādi ir Millera indeksi parastām kristāla plaknēm?

Atsauces

Saistītie Rīki

Sešu Sigma Kalkulators: Novērtējiet Savu Procesa Kvalitāti

Molekulārā Svara Kalkulators - Bezmaksas Ķīmiskās Formulas Rīks

Binomiskās sadalījuma kalkulators - aprēķiniet varbūtības

Gamma sadalījuma kalkulators: Aprēķiniet un vizualizējiet

Betona kolonnas kalkulators: tilpums un nepieciešamie maisi

Laika intervāla kalkulators: Atrodi laiku starp divām datumiem