Калькулятор индексов Миллера для идентификации кристаллических плоскостей

Рассчитайте индексы Миллера по перехватам кристаллических плоскостей с помощью этого простого в использовании инструмента. Необходимо для кристаллографии, материаловедения и приложений в области твердотельной физики.

Калькулятор индексов Миллера

Перехваты кристаллической плоскости

Введите перехваты кристаллической плоскости с осями x, y и z. Используйте '0' для плоскостей, параллельных оси (перехват бесконечности).

Перехват по оси X

Введите число или 0 для бесконечности

Перехват по оси Y

Введите число или 0 для бесконечности

Перехват по оси Z

Введите число или 0 для бесконечности

Индексы Миллера

Индексы Миллера для этой плоскости:

(1,1,1)

Скопировать в буфер обмена

Визуализация

Что такое индексы Миллера?

Индексы Миллера — это система нотации, используемая в кристаллографии для указания плоскостей и направлений в кристаллических решетках.

Чтобы вычислить индексы Миллера (h,k,l) из перехватов (a,b,c):

1. Возьмите обратные значения перехватов: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Преобразуйте в наименьший набор целых чисел с тем же соотношением 3. Если плоскость параллельна оси (перехват = бесконечность), соответствующий индекс Миллера равен 0

Отрицательные индексы обозначаются чертой над числом, например, (h̄,k,l)
Нотация (hkl) представляет собой конкретную плоскость, в то время как {hkl} обозначает семью эквивалентных плоскостей
Индексы направления записываются в квадратных скобках [hkl], а семьи направлений обозначаются <hkl>

📚

Документация

Калькулятор индексов Миллера

Введение

Калькулятор индексов Миллера — это мощный инструмент для кристаллографов, материаловедов и студентов, позволяющий определять индексы Миллера кристаллических плоскостей. Индексы Миллера — это система обозначений, используемая в кристаллографии для указания плоскостей и направлений в кристаллических решетках. Этот калькулятор позволяет легко преобразовать перехваты кристаллической плоскости с координатными осями в соответствующие индексы Миллера, предоставляя стандартизированный способ идентификации и общения о конкретных кристаллических плоскостях.

Индексы Миллера являются основополагающими для понимания кристаллических структур и их свойств. Представляя плоскости с помощью простого набора из трех целых чисел (h,k,l), индексы Миллера позволяют ученым анализировать рентгеновские дифракционные паттерны, предсказывать поведение роста кристаллов, вычислять межпланарные расстояния и изучать различные физические свойства, зависящие от кристаллографической ориентации.

Что такое индексы Миллера?

Индексы Миллера — это набор из трех целых чисел (h,k,l), которые определяют семейство параллельных плоскостей в кристаллической решетке. Эти индексы выводятся из обратных значений дробных перехватов, которые плоскость делает с кристаллографическими осями. Обозначение предоставляет стандартизированный способ идентификации конкретных плоскостей внутри кристаллической структуры.

Визуальное представление индексов Миллера

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Плоскость

Индексы Миллера (3,2,1) Кристаллическая плоскость

3D визуализация кристаллической плоскости с индексами Миллера (3,2,1). Плоскость пересекает оси x, y и z в точках 2, 3 и 6 соответственно, что приводит к индексам Миллера (3,2,1) после взятия обратных значений и нахождения наименьшего набора целых чисел с тем же соотношением.

Формула для вычисления индексов Миллера

Чтобы вычислить индексы Миллера (h,k,l) кристаллической плоскости, выполните следующие математические шаги:

Определите перехваты плоскости с кристаллическими осями x, y и z, получив значения a, b и c.
Возьмите обратные значения этих перехватов: 1/a, 1/b, 1/c.
Преобразуйте эти обратные значения в наименьший набор целых чисел, которые сохраняют то же соотношение.
Полученные три целых числа — это индексы Миллера (h,k,l).

Математически это можно выразить как:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Где:

(h,k,l) — индексы Миллера
a, b, c — перехваты плоскости с осями x, y и z соответственно

Особые случаи и соглашения

Несколько особых случаев и соглашений важны для понимания:

Перехваты бесконечности: Если плоскость параллельна оси, ее перехват считается бесконечностью, и соответствующий индекс Миллера становится нулем.
Отрицательные индексы: Если плоскость пересекает ось на отрицательной стороне начала координат, соответствующий индекс Миллера отрицательный, обозначается чертой над числом в кристаллографической нотации, например, (h̄kl).
Дробные перехваты: Если перехваты дробные, они преобразуются в целые числа путем умножения на наименьшее общее кратное.
Упрощение: Индексы Миллера всегда сокращаются до наименьшего набора целых чисел, которые сохраняют то же соотношение.

Пошаговое руководство по использованию калькулятора

Наш Калькулятор индексов Миллера предоставляет простой способ определения индексов Миллера для любой кристаллической плоскости. Вот как его использовать:

Введите перехваты: Введите значения, где плоскость пересекает оси x, y и z.
- Используйте положительные числа для перехватов на положительной стороне начала координат.
- Используйте отрицательные числа для перехватов на отрицательной стороне.
- Введите "0" для плоскостей, которые параллельны оси (перехват бесконечности).
Посмотрите результаты: Калькулятор автоматически вычислит и отобразит индексы Миллера (h,k,l) для указанной плоскости.
Визуализируйте плоскость: Калькулятор включает 3D визуализацию, чтобы помочь вам понять ориентацию плоскости в кристаллической решетке.
Скопируйте результаты: Используйте кнопку "Копировать в буфер обмена", чтобы легко перенести вычисленные индексы Миллера в другие приложения.

Пример расчета

Давайте пройдемся по примеру:

Предположим, плоскость пересекает оси x, y и z в точках 2, 3 и 6 соответственно.

Перехваты: (2, 3, 6).
Обратные значения: (1/2, 1/3, 1/6).
Чтобы найти наименьший набор целых чисел с тем же соотношением, умножьте на наименьшее общее кратное знаменателей (НОК 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Следовательно, индексы Миллера: (3,2,1).

Применение индексов Миллера

Индексы Миллера имеют множество применений в различных научных и инженерных областях:

Кристаллография и рентгеновская дифракция

Индексы Миллера необходимы для интерпретации рентгеновских дифракционных паттернов. Расстояние между кристаллическими плоскостями, идентифицированными по их индексам Миллера, определяет углы, под которыми рентгеновские лучи дифрагируются, согласно закону Брегга:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Где:

$n$ — целое число
$\lambda$ — длина волны рентгеновских лучей
$d_{hkl}$ — расстояние между плоскостями с индексами Миллера (h,k,l)
$\theta$ — угол падения

Научные исследования и инженерия материалов

Анализ поверхностной энергии: Разные кристаллические плоскости имеют разную поверхностную энергию, что влияет на такие свойства, как рост кристаллов, катализ и адгезия.
Механические свойства: Ориентация кристаллических плоскостей влияет на механические свойства, такие как системы сдвига, плоскости раскола и поведение при разрушении.
Производство полупроводников: В производстве полупроводников для эпитаксиального роста и изготовления устройств выбираются определенные кристаллические плоскости из-за их электронных свойств.
Анализ текстуры: Индексы Миллера помогают охарактеризовать предпочтительные ориентации (текстуру) в поликристаллических материалах, что влияет на их физические свойства.

Минералогия и геология

Геологи используют индексы Миллера для описания кристаллических граней и плоскостей раскола в минералах, что помогает в идентификации и понимании условий формирования.

Образовательные приложения

Индексы Миллера — это основополагающие концепции, которые изучаются на курсах материаловедения, кристаллографии и физики твердого тела, что делает этот калькулятор ценным образовательным инструментом.

Альтернативы индексам Миллера

Хотя индексы Миллера являются наиболее широко используемой нотацией для кристаллических плоскостей, существуют несколько альтернативных систем:

Индексы Миллера-Брава: Четырехиндексная нотация (h,k,i,l), используемая для гексагональных кристаллических систем, где i = -(h+k). Эта нотация лучше отражает симметрию гексагональных структур.
Символы Вебера: Используются в основном в более старой литературе, особенно для описания направлений в кубических кристаллах.
Прямые векторные решетки: В некоторых случаях плоскости описываются с использованием прямых векторов решетки, а не индексов Миллера.
Позиции Уайкоффа: Для описания атомных позиций в кристаллических структурах, а не плоскостей.

Несмотря на эти альтернативы, индексы Миллера остаются стандартной нотацией благодаря своей простоте и универсальной применимости ко всем кристаллическим системам.

История индексов Миллера

Система индексов Миллера была разработана британским минералогом и кристаллографом Уильямом Холлоузом Миллером в 1839 году и опубликована в его трактате "Трактат по кристаллографии". Нотация Миллера основывалась на более ранних работах Огюста Браве и других, но предоставила более элегантный и математически согласованный подход.

До системы Миллера использовались различные нотации для описания кристаллических граней, включая параметры Вайса и символы Наумана. Инновацией Миллера было использование обратных значений перехватов, что упростило многие кристаллографические расчеты и предоставило более интуитивное представление о параллельных плоскостях.

Принятие индексов Миллера ускорилось с открытием рентгеновской дифракции Максом фон Лауэ в 1912 году и последующей работой Уильяма Лоренса Брегга и Уильяма Генри Брегга. Их исследования продемонстрировали практическую полезность индексов Миллера в интерпретации дифракционных паттернов и определении кристаллических структур.

На протяжении 20-го века, по мере того как кристаллография становилась все более важной в материаловедении, физике твердого тела и биохимии, индексы Миллера прочно утвердились как стандартная нотация. Сегодня они остаются основополагающими в современных техниках характеристики материалов, вычислительной кристаллографии и проектировании наноматериалов.

Примеры кода для вычисления индексов Миллера

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Calculate Miller indices from intercepts
7    
8    Args:
9        intercepts: List of three intercepts [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        List of three Miller indices [h, k, l]
13    """
14    # Handle infinity intercepts (parallel to axis)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Find non-zero values for GCD calculation
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Scale to reasonable integers (avoiding floating point issues)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Find GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Convert back to smallest integers
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Example usage
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Miller indices for intercepts {intercepts}: {indices}")  # Output: [3, 2, 1]
49

1function gcd(a, b) {
2  a = Math.abs(a);
3  b = Math.abs(b);
4  
5  while (b !== 0) {
6    const temp = b;
7    b = a % b;
8    a = temp;
9  }
10  
11  return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19  // Handle infinity intercepts
20  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22      return 0;
23    }
24    return 1 / intercept;
25  });
26  
27  // Find non-zero values for GCD calculation
28  const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29  
30  if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31    return [0, 0, 0];
32  }
33  
34  // Scale to integers to avoid floating point issues
35  const scale = 1000;
36  const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37  
38  // Find GCD
39  const divisor = gcdMultiple(scaled);
40  
41  // Convert to smallest integers
42  const millerIndices = reciprocals.map(val => 
43    val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44  );
45  
46  return millerIndices;
47}
48
49// Example
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Miller indices for intercepts ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Output: Miller indices for intercepts 2,3,6: (3,2,1)
54

1import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4    
5    public static int gcd(int a, int b) {
6        a = Math.abs(a);
7        b = Math.abs(b);
8        
9        while (b != 0) {
10            int temp = b;
11            b = a % b;
12            a = temp;
13        }
14        
15        return a;
16    }
17    
18    public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19        int result = numbers[0];
20        for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21            result = gcd(result, numbers[i]);
22        }
23        return result;
24    }
25    
26    public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27        double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28        
29        // Calculate reciprocals
30        for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31            if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32                reciprocals[i] = 0;
33            } else {
34                reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35            }
36        }
37        
38        // Count non-zero values
39        int nonZeroCount = 0;
40        for (double r : reciprocals) {
41            if (r != 0) nonZeroCount++;
42        }
43        
44        if (nonZeroCount == 0) {
45            return new int[]{0, 0, 0};
46        }
47        
48        // Scale to integers
49        int scale = 1000;
50        int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51        int index = 0;
52        
53        for (double r : reciprocals) {
54            if (r != 0) {
55                scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56            }
57        }
58        
59        // Find GCD
60        int divisor = gcdMultiple(scaled);
61        
62        // Convert to smallest integers
63        int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64        for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65            if (reciprocals[i] == 0) {
66                millerIndices[i] = 0;
67            } else {
68                millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69            }
70        }
71        
72        return millerIndices;
73    }
74    
75    public static void main(String[] args) {
76        double[] intercepts = {2, 3, 6};
77        int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78        
79        System.out.println("Miller indices for intercepts " + 
80                           Arrays.toString(intercepts) + ": " + 
81                           Arrays.toString(indices));
82        // Output: Miller indices for intercepts [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83    }
84}
85

1' Excel VBA Function for Miller Indices Calculation
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3    Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4    Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5    Dim scale As Long, gcdVal As Long
6    Dim scaledVals() As Long
7    Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8    
9    ' Calculate reciprocals
10    If x = 0 Then
11        recipX = 0
12    Else
13        recipX = 1 / x
14    End If
15    
16    If y = 0 Then
17        recipY = 0
18    Else
19        recipY = 1 / y
20    End If
21    
22    If z = 0 Then
23        recipZ = 0
24    Else
25        recipZ = 1 / z
26    End If
27    
28    ' Count non-zero values
29    nonZeroCount = 0
30    If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31    If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32    If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33    
34    If nonZeroCount = 0 Then
35        CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36        Exit Function
37    End If
38    
39    ' Scale to integers
40    scale = 1000
41    ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42    i = 1
43    
44    If recipX <> 0 Then
45        scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46        i = i + 1
47    End If
48    
49    If recipY <> 0 Then
50        scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51        i = i + 1
52    End If
53    
54    If recipZ <> 0 Then
55        scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56    End If
57    
58    ' Find GCD
59    gcdVal = scaledVals(1)
60    For i = 2 To nonZeroCount
61        gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62    Next i
63    
64    ' Calculate Miller indices
65    If recipX = 0 Then
66        millerH = 0
67    Else
68        millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69    End If
70    
71    If recipY = 0 Then
72        millerK = 0
73    Else
74        millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75    End If
76    
77    If recipZ = 0 Then
78        millerL = 0
79    Else
80        millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81    End If
82    
83    CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87    Dim temp As Long
88    
89    a = Abs(a)
90    b = Abs(b)
91    
92    Do While b <> 0
93        temp = b
94        b = a Mod b
95        a = temp
96    Loop
97    
98    GCD = a
99End Function
100
101' Usage in Excel:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Result: (3,2,1)
104

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Calculate GCD of two numbers
8int gcd(int a, int b) {
9    a = std::abs(a);
10    b = std::abs(b);
11    
12    while (b != 0) {
13        int temp = b;
14        b = a % b;
15        a = temp;
16    }
17    
18    return a;
19}
20
21// Calculate GCD of multiple numbers
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23    int result = numbers[0];
24    for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25        result = gcd(result, numbers[i]);
26    }
27    return result;
28}
29
30// Calculate Miller indices from intercepts
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32    std::vector<double> reciprocals;
33    
34    // Calculate reciprocals
35    for (double intercept : intercepts) {
36        if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37            reciprocals.push_back(0);
38        } else {
39            reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40        }
41    }
42    
43    // Find non-zero values
44    std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45    for (double r : reciprocals) {
46        if (r != 0) {
47            nonZeroReciprocals.push_back(r);
48        }
49    }
50    
51    if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52        return {0, 0, 0};
53    }
54    
55    // Scale to integers
56    const int scale = 1000;
57    std::vector<int> scaled;
58    for (double r : nonZeroReciprocals) {
59        scaled.push_back(std::round(r * scale));
60    }
61    
62    // Find GCD
63    int divisor = gcdMultiple(scaled);
64    
65    // Convert to smallest integers
66    std::vector<int> millerIndices;
67    for (double r : reciprocals) {
68        if (r == 0) {
69            millerIndices.push_back(0);
70        } else {
71            millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72        }
73    }
74    
75    return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79    std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80    std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81    
82    std::cout << "Miller indices for intercepts [";
83    for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84        std::cout << intercepts[i];
85        if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86    }
87    std::cout << "]: (";
88    
89    for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90        std::cout << indices[i];
91        if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92    }
93    std::cout << ")" << std::endl;
94    
95    // Output: Miller indices for intercepts [2, 3, 6]: (3,2,1)
96    
97    return 0;
98}
99

Числовые примеры

Вот некоторые распространенные примеры расчетов индексов Миллера:

Пример 1: Стандартный случай
- Перехваты: (2, 3, 6)
- Обратные значения: (1/2, 1/3, 1/6)
- Умножьте на НОК знаменателей (6): (3, 2, 1)
- Индексы Миллера: (3,2,1)
Пример 2: Плоскость, параллельная оси
- Перехваты: (1, ∞, 2)
- Обратные значения: (1, 0, 1/2)
- Умножьте на 2: (2, 0, 1)
- Индексы Миллера: (2,0,1)
Пример 3: Отрицательные перехваты
- Перехваты: (-1, 2, 3)
- Обратные значения: (-1, 1/2, 1/3)
- Умножьте на 6: (-6, 3, 2)
- Индексы Миллера: (-6,3,2)
Пример 4: Дробные перехваты
- Перехваты: (1/2, 1/3, 1/4)
- Обратные значения: (2, 3, 4)
- Уже в целочисленной форме
- Индексы Миллера: (2,3,4)
Пример 5: Специальная плоскость (100)
- Перехваты: (1, ∞, ∞)
- Обратные значения: (1, 0, 0)
- Индексы Миллера: (1,0,0)

Часто задаваемые вопросы

Для чего используются индексы Миллера?

Индексы Миллера используются для идентификации и описания плоскостей и направлений в кристаллических решетках. Они предоставляют стандартизированную нотацию, которая помогает кристаллографам, материаловедам и инженерам общаться о конкретных кристаллических ориентациях. Индексы Миллера необходимы для анализа рентгеновских дифракционных паттернов, понимания роста кристаллов, вычисления межпланарных расстояний и изучения различных физических свойств, зависящих от кристаллографической ориентации.

Как мне обращаться с плоскостью, параллельной одной из осей?

Когда плоскость параллельна оси, она никогда не пересекает эту ось, поэтому перехват считается бесконечностью. В нотации индексов Миллера обратное значение бесконечности равно нулю, поэтому соответствующий индекс Миллера становится нулем. Например, плоскость, параллельная оси y, будет иметь перехваты (a, ∞, c) и индексы Миллера (h,0,l).

Что означают отрицательные индексы Миллера?

Отрицательные индексы Миллера указывают на то, что плоскость пересекает соответствующую ось на отрицательной стороне начала координат. В кристаллографической нотации отрицательные индексы обычно обозначаются чертой над числом, например, (h̄kl). Отрицательные индексы представляют собой плоскости, эквивалентные их положительным аналогам по физическим свойствам, но имеющие разные ориентации.

Как индексы Миллера соотносятся с кристаллической структурой?

Индексы Миллера напрямую соотносятся с атомным расположением в кристаллической структуре. Расстояние между плоскостями с конкретными индексами Миллера (dhkl) зависит от кристаллической системы и параметров решетки. В рентгеновской дифракции эти плоскости действуют как отражающие плоскости в соответствии с законом Брегга, производя характерные дифракционные паттерны, которые раскрывают кристаллическую структуру.

Какова разница между индексами Миллера и индексами Миллера-Брава?

Индексы Миллера используют три целых числа (h,k,l) и подходят для большинства кристаллических систем. Индексы Миллера-Брава используют четыре целых числа (h,k,i,l) и специально предназначены для гексагональных кристаллических систем. Четвертый индекс, i, является избыточным (i = -(h+k)), но помогает поддерживать симметрию гексагональной системы и делает эквивалентные плоскости более легко распознаваемыми.

Как мне рассчитать угол между двумя кристаллическими плоскостями?

Угол θ между двумя плоскостями с индексами Миллера (h₁,k₁,l₁) и (h₂,k₂,l₂) в кубической кристаллической системе можно вычислить с помощью:

$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)}}$

Для некубических систем расчет более сложный и включает метрический тензор кристаллической системы.

Каково соотношение между индексами Миллера и расстоянием d?

Расстояние d (межпланарное расстояние) для плоскостей с индексами Миллера (h,k,l) зависит от кристаллической системы. Для кубического кристалла с параметром решетки a соотношение следующее:

$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$

Для других кристаллических систем применяются более сложные формулы, которые учитывают специфические параметры решетки.

Могут ли индексы Миллера быть дробями?

Нет, по соглашению индексы Миллера всегда являются целыми числами. Если расчет изначально дает дроби, они преобразуются в наименьший набор целых чисел, которые сохраняют то же соотношение. Это делается путем умножения всех значений на наименьшее общее кратное знаменателей.

Как мне определить индексы Миллера кристаллической грани экспериментально?

Индексы Миллера кристаллических граней могут быть определены экспериментально с использованием рентгеновской дифракции, электронной дифракции или оптической гониометрии. В рентгеновской дифракции углы, под которыми происходит дифракция, соотносятся с расстоянием d кристаллических плоскостей через закон Брегга, который можно использовать для идентификации соответствующих индексов Миллера.

Каковы индексы Миллера общих кристаллических плоскостей?

Некоторые общие кристаллические плоскости и их индексы Миллера включают:

(100), (010), (001): Основные кубические грани
(110), (101), (011): Диагональные грани в кубических системах
(111): Октаэдрическая грань в кубических системах
(112): Общая плоскость сдвига в металлах с телецентрической кубической решеткой

Ссылки

Миллер, У. Х. (1839). Трактат по кристаллографии. Кембридж: Для J. & J.J. Deighton.
Эшкрофт, Н. В., & Мермин, Н. Д. (1976). Физика твердого тела. Холт, Ринхарт и Уинстон.
Хэммонд, С. (2015). Основы кристаллографии и дифракции (4-е изд.). Оксфордский университет.
Калити, Б. Д., & Сток, С. Р. (2014). Элементы рентгеновской дифракции (3-е изд.). Pearson Education.
Киттель, Ч. (2004). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Wiley.
Келли, А., & Ноулз, К. М. (2012). Кристаллография и кристаллические дефекты (2-е изд.). Wiley.
Международный союз кристаллографии. (2016). Международные таблицы по кристаллографии, Том A: Симметрия пространственной группы. Wiley.
Джаковаццо, Ч., Монако, Х. Л., Артиоли, Г., Витербо, Д., Феррарис, Г., Джилли, Г., Занотти, Г., & Катти, М. (2011). Основы кристаллографии (3-е изд.). Оксфордский университет.
Бёргер, М. Дж. (1978). Элементарная кристаллография: Введение в основные геометрические особенности кристаллов. MIT Press.
Тилли, Р. Дж. (2006). Кристаллы и кристаллические структуры. Wiley.

Попробуйте наш Калькулятор индексов Миллера сегодня, чтобы быстро и точно определить индексы Миллера для любой кристаллической плоскости. Будь вы студент, изучающий кристаллографию, исследователь, анализирующий структуры материалов, или инженер, разрабатывающий новые материалы, этот инструмент поможет вам легко идентифицировать и понять кристаллические плоскости.

🔗

Связанные инструменты

Откройте больше инструментов, которые могут быть полезны для вашего рабочего процесса

Калькулятор индексов Миллера для идентификации кристаллических плоскостей

Калькулятор индексов Миллера

Перехваты кристаллической плоскости

Индексы Миллера

Визуализация

Что такое индексы Миллера?

Документация

Калькулятор индексов Миллера

Введение

Что такое индексы Миллера?

Визуальное представление индексов Миллера

Формула для вычисления индексов Миллера

Особые случаи и соглашения

Пошаговое руководство по использованию калькулятора

Пример расчета

Применение индексов Миллера

Кристаллография и рентгеновская дифракция

Научные исследования и инженерия материалов

Минералогия и геология

Образовательные приложения

Альтернативы индексам Миллера

История индексов Миллера

Примеры кода для вычисления индексов Миллера

Числовые примеры

Часто задаваемые вопросы

Для чего используются индексы Миллера?

Как мне обращаться с плоскостью, параллельной одной из осей?

Что означают отрицательные индексы Миллера?

Как индексы Миллера соотносятся с кристаллической структурой?

Какова разница между индексами Миллера и индексами Миллера-Брава?

Как мне рассчитать угол между двумя кристаллическими плоскостями?

Каково соотношение между индексами Миллера и расстоянием d?

Могут ли индексы Миллера быть дробями?

Как мне определить индексы Миллера кристаллической грани экспериментально?

Каковы индексы Миллера общих кристаллических плоскостей?

Ссылки

Связанные инструменты

Калькулятор Six Sigma: Измерьте качество вашего процесса

Калькулятор молекулярной массы - Бесплатный инструмент для химических формул

Калькулятор вероятностей биномиального распределения

Калькулятор гамма-распределения для статистического анализа

Калькулятор бетонных колонн: объем и необходимое количество мешков

Калькулятор временных интервалов: Найдите время между двумя датами