Калькулятор Гамма-Розподілу

Вступ

Гамма-розподіл — це неперервний розподіл ймовірностей, який широко використовується в різних сферах науки, інженерії та фінансів. Він характеризується двома параметрами: параметром форми (k або α) та параметром масштабу (θ або β). Цей калькулятор дозволяє вам обчислювати різні властивості гамма-розподілу на основі цих вхідних параметрів.

Формула

Функція щільності ймовірності (PDF) гамма-розподілу задається формулою:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Де:

• x > 0 — це випадкова змінна
• k > 0 — це параметр форми
• θ > 0 — це параметр масштабу
• Γ(k) — це гамма-функція

Функція кумулятивного розподілу (CDF) виглядає так:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Де γ(k, x/θ) — це нижня неповна гамма-функція.

Ключові властивості гамма-розподілу включають:

1. Середнє: $E[X] = k\theta$
2. Дисперсія: $Var[X] = k\theta^2$
3. Асиметрія: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Куртоз: $3 + \frac{6}{k}$

Як користуватися цим калькулятором

1. Введіть параметр форми (k або α)
2. Введіть параметр масштабу (θ або β)
3. Натисніть "Обчислити", щоб обчислити різні властивості гамма-розподілу
4. Результати відобразять середнє, дисперсію, асиметрію, куртоз та іншу відповідну інформацію
5. Буде показано візуалізацію функції щільності ймовірності

Обчислення

Калькулятор використовує вищезазначені формули для обчислення різних властивостей гамма-розподілу. Ось покрокове пояснення:

1. Перевірка вхідних параметрів (як k, так і θ повинні бути позитивними)
2. Обчислення середнього: $k\theta$
3. Обчислення дисперсії: $k\theta^2$
4. Обчислення асиметрії: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Обчислення куртозу: $3 + \frac{6}{k}$
6. Обчислення моди: $(k-1)\theta$ для k ≥ 1, в іншому випадку 0
7. Генерація точок для кривої PDF, використовуючи вищезазначену формулу
8. Побудова кривої PDF

Числові міркування

При реалізації обчислень гамма-розподілу слід врахувати кілька числових міркувань:

1. Для дуже малих параметрів форми (k < 1) PDF може наближатися до нескінченності, коли x наближається до 0, що може викликати числову нестабільність.
2. Для великих параметрів форми гамма-функція Γ(k) може ставати дуже великою, що може викликати переповнення. У таких випадках рекомендується працювати з логарифмом гамма-функції.
3. При обчисленні CDF часто більш чисельно стабільно використовувати спеціалізовані алгоритми для неповної гамма-функції, а не пряме інтегрування PDF.
4. Для крайніх значень параметрів може знадобитися використовувати розширену точність арифметики для збереження точності.

Сфери застосування

Гамма-розподіл має численні застосування в різних сферах:

1. Фінанси: Моделювання розподілів доходів, сум страхових вимог та доходів активів
2. Метеорологія: Аналіз дощових патернів та інших погодних явищ
3. Інженерія: Аналіз надійності та моделювання часу відмови
4. Фізика: Опис часу очікування між подіями радіоактивного розпаду
5. Біологія: Моделювання чисельності видів та рівнів експресії генів
6. Операційні дослідження: Теорія черг та управління запасами

Альтернативи

Хоча гамма-розподіл є універсальним, існують пов'язані розподіли, які можуть бути більш доречними в певних ситуаціях:

1. Експоненціальний розподіл: Спеціальний випадок гамма-розподілу, коли k = 1
2. Розподіл хі-квадрат: Спеціальний випадок гамма-розподілу з k = n/2 та θ = 2
3. Розподіл Вейбулла: Часто використовується як альтернатива в аналізі надійності
4. Лог-нормальний розподіл: Ще один поширений вибір для моделювання скривлених, позитивних даних

Оцінка параметрів

При роботі з реальними даними часто необхідно оцінити параметри гамма-розподілу. Загальні методи включають:

1. Метод моментів: Прирівнювання вибіркових моментів до теоретичних моментів
2. Оцінка максимальної правдоподібності (MLE): Знаходження параметрів, які максимізують правдоподібність спостереження даних
3. Байєсівська оцінка: Інтеграція попередніх знань про параметри

Тестування гіпотез

Гамма-розподіл можна використовувати в різних тестах гіпотез, включаючи:

1. Тести на відповідність, щоб визначити, чи дані слідують гамма-розподілу
2. Тести на рівність параметрів масштабу між двома гамма-розподілами
3. Тести на рівність параметрів форми між двома гамма-розподілами

Історія

Гамма-розподіл має багатий історичний контекст у математиці та статистиці:

• 18 століття: Леонард Ейлер ввів гамма-функцію, яка тісно пов'язана з гамма-розподілом
• 1836: Симон-Дені Пуанкаре використовував спеціальний випадок гамма-розподілу у своїй роботі з теорії ймовірностей
• 1920-ті: Рональд Фішер популяризував використання гамма-розподілу в статистичному аналізі
• Середина 20 століття: Гамма-розподіл став широко використовуватися в інженерії надійності та тестуванні життя
• Кінець 20 століття до сьогодення: Підвищення обчислювальної потужності спростило роботу з гамма-розподілами в різних застосуваннях

Приклади

Ось кілька прикладів коду для обчислення властивостей гамма-розподілу:

1' Excel VBA Функція для PDF Гамма-Розподілу
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Використання:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Гамма-Розподіл (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Ймовірність Щільності')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Приклад використання:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Обчислення властивостей
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Середнє: {mean}")
29print(f"Дисперсія: {variance}")
30print(f"Асиметрія: {skewness}")
31print(f"Куртоз: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Середнє: ${mean}`);
19    console.log(`Дисперсія: ${variance}`);
20    console.log(`Асиметрія: ${skewness}`);
21    console.log(`Куртоз: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Приклад використання:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Побудова PDF (використовуючи гіпотетичну бібліотеку для побудови графіків)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Ці приклади демонструють, як обчислити властивості гамма-розподілу та візуалізувати його функцію щільності ймовірності за допомогою різних мов програмування. Ви можете адаптувати ці функції до своїх конкретних потреб або інтегрувати їх у більші системи статистичного аналізу.

Посилання

1. "Гамма-Розподіл." Вікіпедія, Фонд Вікімедіа, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Доступ 2 серпня 2024 року.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Безперервні одновимірні розподіли, том 1 (Том 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Статистичні розподіли. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Нотатка про гамма-розподіл. Щомісячний огляд погоди, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Узагальнення гамма-розподілу. Аннали математичної статистики, 33(3), 1187-1192.