Kalkulator Taburan Poisson - Kira Kebarangkalian Acara Dalam Talian

Kira kebarangkalian taburan Poisson untuk sebarang bilangan acara dengan kalkulator dalam talian percuma kami. Alat statistik yang kuat ini membantu anda menentukan kebarangkalian acara berdasarkan kadar kejadian purata, menjadikannya sempurna untuk kawalan kualiti, pengurusan pusat panggilan, dan penyelidikan saintifik.

Apakah Kalkulator Taburan Poisson?

Kalkulator taburan Poisson adalah alat statistik yang mengira kebarangkalian bilangan acara tertentu berlaku dalam selang masa atau ruang yang tetap. Taburan Poisson adalah taburan kebarangkalian diskret yang biasa digunakan dalam statistik untuk memodelkan acara jarang yang berlaku secara bebas pada kadar purata yang tetap.

Formula Taburan Poisson

Formula taburan Poisson mengira kebarangkalian acara menggunakan:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Di mana:

• λ (lambda) = bilangan purata acara per selang
• k = bilangan acara tertentu yang ingin anda kira
• e = nombor Euler (≈ 2.71828)

Cara Menggunakan Kalkulator Taburan Poisson

Ikuti langkah-langkah mudah ini untuk mengira kebarangkalian Poisson:

1. Masukkan Lambda (λ): Masukkan kadar kejadian purata
2. Masukkan nilai K: Nyatakan bilangan acara yang diminati
3. Klik Kira: Dapatkan hasil kebarangkalian secara serta-merta
4. Semak Hasil: Lihat kebarangkalian sebagai perpuluhan (0-1) atau peratusan

Nota Penting:

• Lambda (λ) mesti merupakan nombor positif
• K mesti merupakan integer bukan negatif
• Hasil menunjukkan pengiraan kebarangkalian yang tepat

Pengesahan Input

Kalkulator melakukan pemeriksaan berikut pada input pengguna:

• $\lambda$ mesti merupakan nombor positif
• $k$ mesti merupakan integer bukan negatif
• Untuk nilai $\lambda$ atau $k$ yang sangat besar, amaran tentang ketidakstabilan numerik mungkin dipaparkan

Jika input tidak sah dikesan, mesej ralat akan dipaparkan, dan pengiraan tidak akan diteruskan sehingga diperbetulkan.

Pengiraan

Kalkulator menggunakan formula taburan Poisson untuk mengira kebarangkalian berdasarkan input pengguna. Berikut adalah penjelasan langkah demi langkah tentang pengiraan:

1. Kira $e^{-\lambda}$
2. Kira $\lambda^k$
3. Kira $k!$ (faktorial $k$)
4. Kalikan hasil langkah 1 dan 2
5. Bahagikan hasil langkah 4 dengan hasil langkah 3

Hasil akhir adalah kebarangkalian tepat $k$ acara berlaku dalam selang di mana bilangan purata acara adalah $\lambda$.

Aplikasi Dunia Nyata Taburan Poisson

Kalkulator taburan Poisson adalah penting untuk pelbagai industri dan bidang penyelidikan:

Aplikasi Perniagaan

• Pengurusan Pusat Panggilan: Meramalkan jumlah panggilan pelanggan setiap jam
• Kawalan Kualiti: Mengira kebarangkalian kecacatan dalam pembuatan
• Analisis Insurans: Menganggarkan frekuensi tuntutan untuk penilaian risiko
• Analitik Runcit: Meramalkan ketibaan pelanggan dan permintaan perkhidmatan

Penyelidikan Saintifik

• Biologi & Genetik: Memodelkan kadar mutasi DNA dan pembahagian sel
• Fizik: Menganalisis peluruhan radioaktif dan corak emisi zarah
• Sains Alam Sekitar: Mengkaji frekuensi gempa bumi dan bencana alam
• Penyelidikan Perubatan: Mengira kebarangkalian wabak penyakit

Kejuruteraan & Teknologi

• Analisis Aliran Trafik: Mengoptimumkan masa isyarat dan kapasiti jalan
• Kejuruteraan Rangkaian: Meramalkan beban pelayan dan kegagalan rangkaian
• Ujian Perisian: Menganggarkan kadar penemuan pepijat semasa pembangunan

Alternatif

Walaupun taburan Poisson berguna untuk banyak senario, terdapat taburan lain yang mungkin lebih sesuai dalam situasi tertentu:

1. Taburan Binomial: Apabila terdapat bilangan percubaan tetap dengan kebarangkalian kejayaan yang tetap.

2. Taburan Binomial Negatif: Apabila anda berminat dengan bilangan kejayaan sebelum bilangan kegagalan tertentu berlaku.

3. Taburan Eksponensial: Untuk memodelkan masa antara acara yang diedarkan Poisson.

4. Taburan Gamma: Generalisasi taburan eksponensial, berguna untuk memodelkan masa menunggu.

Sejarah

Taburan Poisson ditemui oleh ahli matematik Perancis Siméon Denis Poisson dan diterbitkan pada tahun 1838 dalam karyanya "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Penyelidikan tentang Kebarangkalian Penghakiman dalam Hal Jenayah dan Sivil).

Pada awalnya, karya Poisson tidak mendapat perhatian yang banyak. Ia tidak sehingga awal abad ke-20 bahawa taburan ini mendapat perhatian, terutamanya melalui kerja ahli statistik seperti Ronald Fisher, yang mengaplikasikannya kepada masalah biologi.

Hari ini, taburan Poisson digunakan secara meluas di pelbagai bidang, dari fizik kuantum hingga penyelidikan operasi, menunjukkan versatiliti dan kepentingannya dalam teori kebarangkalian dan statistik.

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh kod untuk mengira kebarangkalian taburan Poisson:

1' Fungsi Excel VBA untuk Kebarangkalian Taburan Poisson
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' Penggunaan:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## Contoh penggunaan:
7lambda_param = 2  # kadar purata
8k = 3  # bilangan kejadian
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"Kebarangkalian: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// Contoh penggunaan:
7const lambda = 2; // kadar purata
8const k = 3; // bilangan kejadian
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`Kebarangkalian: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // kadar purata
13        int k = 3; // bilangan kejadian
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("Kebarangkalian: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

Contoh-contoh ini menunjukkan cara mengira kebarangkalian taburan Poisson untuk pelbagai bahasa pengaturcaraan. Anda boleh menyesuaikan fungsi-fungsi ini mengikut keperluan spesifik anda atau mengintegrasikannya ke dalam sistem analisis statistik yang lebih besar.

Contoh Numerik

1. Senario Pusat Panggilan:

   • Panggilan purata setiap jam ($\lambda$) = 5
   • Kebarangkalian tepat 3 panggilan dalam satu jam ($k$ = 3)
   • Kebarangkalian ≈ 0.140373

2. Kawalan Kualiti Pembuatan:

   • Kecacatan purata setiap batch ($\lambda$) = 1.5
   • Kebarangkalian tiada kecacatan dalam satu batch ($k$ = 0)
   • Kebarangkalian ≈ 0.223130

3. Peluruhan Radioaktif:

   • Emisi purata setiap minit ($\lambda$) = 3.5
   • Kebarangkalian tepat 6 emisi dalam satu minit ($k$ = 6)
   • Kebarangkalian ≈ 0.116422

4. Aliran Trafik:

   • Kereta purata setiap minit ($\lambda$) = 2
   • Kebarangkalian tepat 5 kereta dalam satu minit ($k$ = 5)
   • Kebarangkalian ≈ 0.036288

Kes Khas dan Had

1. Nilai $\lambda$ yang besar: Untuk nilai $\lambda$ yang sangat besar (contohnya, $\lambda > 100$), pengiraan mungkin menjadi tidak stabil secara numerik disebabkan oleh terma eksponensial dan faktorial. Dalam kes seperti itu, anggaran seperti taburan normal mungkin lebih sesuai.

2. Nilai $k$ yang besar: Sama seperti $\lambda$ yang besar, nilai $k$ yang sangat besar boleh menyebabkan ketidakstabilan numerik. Kalkulator harus memberi amaran kepada pengguna apabila menghampiri had ini.

3. $k$ bukan integer: Taburan Poisson hanya ditakrifkan untuk $k$ integer. Kalkulator harus menguatkuasakan kekangan ini.

4. Kebarangkalian kecil: Untuk kombinasi $\lambda$ yang besar dan $k$ kecil (atau sebaliknya), kebarangkalian yang dihasilkan boleh menjadi sangat kecil, yang berpotensi menyebabkan isu underflow dalam beberapa bahasa pengaturcaraan.

5. Anggapan kebebasan: Taburan Poisson menganggap acara berlaku secara bebas. Dalam senario dunia nyata, anggapan ini mungkin tidak selalu berlaku, yang mengehadkan aplikasi taburan ini.

6. Anggapan kadar tetap: Taburan Poisson menganggap kadar purata tetap. Dalam banyak senario dunia nyata, kadar mungkin berbeza dari semasa ke semasa atau ruang.

7. Kesamaan min dan varians: Dalam taburan Poisson, min sama dengan varians ($\lambda$). Harta ini, yang dikenali sebagai equidispersion, mungkin tidak berlaku dalam beberapa data dunia nyata, yang menyebabkan over- atau under-dispersion.

Apabila menggunakan kalkulator taburan Poisson, pertimbangkan had ini untuk memastikan aplikasi yang sesuai untuk senario spesifik anda.

Soalan Lazim Mengenai Kalkulator Taburan Poisson

Apakah kegunaan kalkulator taburan Poisson?

Kalkulator taburan Poisson membantu menentukan kebarangkalian acara tertentu berlaku dalam selang masa atau ruang yang tetap. Ia biasanya digunakan untuk kawalan kualiti, pengurusan pusat panggilan, analisis trafik, dan penyelidikan saintifik di mana acara berlaku secara rawak pada kadar purata yang diketahui.

Bagaimana anda mengira kebarangkalian taburan Poisson?

Untuk mengira kebarangkalian taburan Poisson, gunakan formula: P(X=k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!, di mana λ adalah kadar acara purata dan k adalah bilangan acara. Kalkulator kami mengautomatikkan pengiraan kompleks ini untuk hasil yang segera dan tepat.

Apakah syarat untuk menggunakan taburan Poisson?

Syarat taburan Poisson termasuk: acara mesti berlaku secara bebas, pada kadar purata yang tetap, dan dalam selang yang tidak bertindih. Kebarangkalian pelbagai acara dalam selang yang sangat kecil harus diabaikan.

Bilakah saya harus menggunakan taburan Poisson berbanding taburan normal?

Gunakan taburan Poisson untuk data kiraan diskret dengan acara jarang (λ < 30). Gunakan taburan normal untuk data berterusan atau apabila λ > 30, kerana taburan Poisson menghampiri taburan normal untuk nilai λ yang besar.

Apa yang dimaksudkan dengan lambda (λ) dalam taburan Poisson?

Lambda (λ) dalam taburan Poisson mewakili bilangan purata acara yang dijangkakan dalam selang masa atau ruang yang diberikan. Ia adalah kedua-dua min dan varians taburan, menjadikannya parameter utama untuk pengiraan kebarangkalian.

Bolehkah taburan Poisson mempunyai nilai negatif?

Tidak, taburan Poisson tidak boleh mempunyai nilai negatif. Kedua-dua lambda (λ) dan k mesti bukan negatif, dengan k menjadi nombor bulat (0, 1, 2, 3...) kerana ia mewakili data kiraan.

Apakah perbezaan antara taburan Poisson dan taburan binomial?

Taburan Poisson vs taburan binomial: Poisson memodelkan acara dalam masa/ruang berterusan dengan percubaan total yang tidak diketahui, manakala binomial memerlukan bilangan percubaan tetap dengan kebarangkalian kejayaan yang diketahui. Poisson menghampiri binomial apabila n besar dan p kecil.

Seberapa tepat kalkulator taburan Poisson?

Kalkulator taburan Poisson kami memberikan hasil yang sangat tepat menggunakan algoritma matematik yang tepat. Namun, untuk nilai λ atau k yang sangat besar (> 100), anggaran numerik mungkin digunakan untuk mengelakkan overflow pengiraan sambil mengekalkan ketepatan.

Mulakan Mengira Kebarangkalian Poisson Hari Ini

Bersedia untuk menganalisis data anda dengan kiraan taburan Poisson? Gunakan kalkulator dalam talian percuma kami untuk mendapatkan hasil kebarangkalian yang segera dan tepat untuk analisis statistik, kawalan kualiti, atau projek penyelidikan anda. Cukup masukkan nilai lambda dan k anda untuk memulakan!

Rujukan

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, dan Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Diakses 2 Ogos 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, dan Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.

---

Meta Tajuk: Kalkulator Taburan Poisson - Alat Kebarangkalian Dalam Talian Percuma Meta Penerangan: Kira kebarangkalian taburan Poisson dengan segera menggunakan kalkulator dalam talian percuma kami. Sesuai untuk kawalan kualiti, pusat panggilan & penyelidikan. Dapatkan hasil yang tepat sekarang!