பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளர் - நிகழ்வு வாய்ப்புகளை ஆன்லைனில் கணக்கிடுங்கள்

எங்கள் இலவச ஆன்லைன் கணக்கீட்டாளருடன் எந்த எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகளுக்கான பொய்சான் விநியோகம் வாய்ப்பு கணக்கிடுங்கள். இந்த சக்திவாய்ந்த புள்ளியியல் கருவி, சராசரி நிகழ்வு நிகழ்வு வீதங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு நிகழ்வு வாய்ப்புகளை தீர்மானிக்க உதவுகிறது, இது தரக் கட்டுப்பாடு, அழைப்பு மைய மேலாண்மை மற்றும் அறிவியல் ஆராய்ச்சிக்கான சிறந்ததாகும்.

பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளர் என்ன?

ஒரு பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளர் என்பது ஒரு புள்ளியியல் கருவி ஆகும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகள் ஒரு நிரந்தர கால அல்லது இட இடைவெளியில் நிகழ்வதற்கான வாய்ப்பை கணக்கீடு செய்கிறது. பொய்சான் விநியோகம் என்பது புள்ளியியல் துறையில் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் ஒரு தனிமை வாய்ப்பு விநியோகம் ஆகும், இது சீரான சராசரி வீதத்தில் சுதந்திரமாக நிகழும் அரிதான நிகழ்வுகளை மாதிரியாகக் காட்டுகிறது.

பொய்சான் விநியோகம் சூத்திரம்

பொய்சான் விநியோகம் சூத்திரம் நிகழ்வு வாய்ப்புகளை கணக்கிடுகிறது:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

எங்கு:

• λ (லாம்டா) = இடைவெளிக்கு சராசரி நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை
• k = நீங்கள் கணக்கிட விரும்பும் குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை
• e = ஐயுலர் எண்ணிக்கை (≈ 2.71828)

பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளரை எப்படி பயன்படுத்துவது

பொய்சான் வாய்ப்புகளை கணக்கிட இந்த எளிய படிகளை பின்பற்றவும்:

1. லாம்டா (λ) உள்ளிடவும்: நிகழ்வு நிகழ்வு வீதத்தை உள்ளிடவும்
2. K மதிப்பை உள்ளிடவும்: ஆர்வமுள்ள நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையை குறிப்பிடவும்
3. கணக்கிடவும் கிளிக் செய்யவும்: உடனடி வாய்ப்பு முடிவுகளைப் பெறவும்
4. முடிவுகளை மதிப்பீடு செய்யவும்: வாய்ப்பை புள்ளியாக (0-1) அல்லது சதவீதமாகப் பார்க்கவும்

முக்கிய குறிப்புகள்:

• லாம்டா (λ) ஒரு நேர்மறை எண்ணிக்கை ஆக இருக்க வேண்டும்
• K ஒரு எதிர்மறை இல்லாத முழு எண் ஆக இருக்க வேண்டும்
• முடிவுகள் சரியான வாய்ப்பு கணக்கீடுகளை காட்டுகின்றன

உள்ளீட்டு சரிபார்ப்பு

கணக்கீட்டாளர் பயனர் உள்ளீடுகளில் பின்வரும் சரிபார்ப்புகளைச் செய்கிறது:

• $\lambda$ ஒரு நேர்மறை எண்ணிக்கை ஆக இருக்க வேண்டும்
• $k$ ஒரு எதிர்மறை இல்லாத முழு எண் ஆக இருக்க வேண்டும்
• $\lambda$ அல்லது $k$ இன் மிகப்பெரிய மதிப்புகளுக்கு, கணக்கீட்டில் சிக்கலான நிலைத்தன்மை பற்றிய எச்சரிக்கை காட்டப்படலாம்

தவறான உள்ளீடுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், ஒரு பிழை செய்தி காட்டப்படும், மற்றும் சரிசெய்யும் வரை கணக்கீடு தொடராது.

கணக்கீடு

கணக்கீட்டாளர் பயனர் உள்ளீட்டின் அடிப்படையில் வாய்ப்பை கணக்கிட பொய்சான் விநியோகம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. கணக்கீட்டின் படி படியாக விளக்கம்:

1. $e^{-\lambda}$ ஐ கணக்கிடவும்
2. $\lambda^k$ ஐ கணக்கிடவும்
3. $k!$ (k இன் காரிகை) ஐ கணக்கிடவும்
4. படி 1 மற்றும் 2 இன் முடிவுகளை பெருக்கவும்
5. படி 4 இன் முடிவை படி 3 இன் முடிவால் வகுக்கவும்

இறுதி முடிவு என்பது சராசரி நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை $\lambda$ ஆக இருக்கும் இடைவெளியில் $k$ நிகழ்வுகள் நிகழ்வதற்கான வாய்ப்பு ஆகும்.

பொய்சான் விநியோகம் உண்மையான உலக பயன்பாடுகள்

பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளர் பல தொழில்கள் மற்றும் ஆராய்ச்சி துறைகளுக்கு அடிப்படையாக உள்ளது:

வணிக பயன்பாடுகள்

• அழைப்பு மைய மேலாண்மை: ஒரு மணிநேரத்திற்கு வாடிக்கையாளர் அழைப்புகளின் அளவுகளை கணிக்கவும்
• தரக் கட்டுப்பாடு: உற்பத்தியில் குறைபாடுகளின் வாய்ப்புகளை கணக்கிடவும்
• காப்பீட்டு பகுப்பாய்வு: ஆபத்து மதிப்பீட்டிற்கான கோரிக்கைகள் அடிக்கடி நிகழ்வுகளை மதிப்பீடு செய்யவும்
• சில்லறை பகுப்பாய்வு: வாடிக்கையாளர்களின் வருகைகள் மற்றும் சேவையின் தேவையை முன்னறிவிக்கவும்

அறிவியல் ஆராய்ச்சி

• உயிரியல் மற்றும் மரபியல்: DNA மாற்ற வீதங்கள் மற்றும் செல்கள் பிரிவுகளை மாதிரியாகக் காட்டவும்
• இயற்பியல்: கதிரியக்க சிதைவுகள் மற்றும் மூலக்கூறுகள் வெளியீட்டு மாதிரிகளை பகுப்பாய்வு செய்யவும்
• சுற்றுச்சூழல் அறிவியல்: நிலநடுக்கங்கள் மற்றும் இயற்கை பேரிடைகள் பற்றிய ஆய்வுகளைச் செய்யவும்
• மருத்துவ ஆராய்ச்சி: நோய் பரவலின் வாய்ப்புகளை கணக்கிடவும்

பொறியியல் மற்றும் தொழில்நுட்பம்

• பாதை ஓட்டம் பகுப்பாய்வு: சிக்னல் நேரத்தை மற்றும் சாலை திறனை மேம்படுத்தவும்
• நெட்வொர்க் பொறியியல்: சர்வர் சுமையை மற்றும் நெட்வொர்க் தோல்விகளை கணிக்கவும்
• மென்பொருள் சோதனை: மேம்பாட்டின் போது பிழை கண்டுபிடிப்பு வீதங்களை மதிப்பீடு செய்யவும்

மாற்றுகள்

பொய்சான் விநியோகம் பல சூழ்நிலைகளுக்கு பயனுள்ளதாக இருந்தாலும், சில சூழ்நிலைகளில் மற்ற விநியோகங்கள் அதிகமாக பொருத்தமாக இருக்கலாம்:

1. பினாமியல் விநியோகம்: வெற்றியின் நிலையான வாய்ப்பு உடன் நிரந்தர எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் உள்ள போது.

2. எதிர்மறை பினாமியல் விநியோகம்: குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான தோல்விகள் நிகழும் முன் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையைப் பற்றிய ஆர்வம் உள்ள போது.

3. எக்ஸ்போனென்ஷியல் விநியோகம்: பொய்சான் விநியோகத்தில் நிகழ்வுகளுக்கிடையிலான நேரத்தை மாதிரியாகக் காட்ட.

4. காமா விநியோகம்: காத்திருக்கும் நேரங்களை மாதிரியாகக் காட்டுவதற்கான எக்ஸ்போனென்ஷியல் விநியோகத்தின் பொதுவாக்கம்.

வரலாறு

பொய்சான் விநியோகம் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் சிமியோன் டெனிஸ் பொய்சான் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது மற்றும் 1838 இல் "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (குற்ற மற்றும் சிவில் விவகாரங்களில் தீர்மானங்களின் வாய்ப்புகள் பற்றிய ஆராய்ச்சி) என்ற அவரது வேலைவில் வெளியிடப்பட்டது.

முதலில், பொய்சானின் வேலைக்கு அதிக கவனம் கிடைக்கவில்லை. 20 ஆம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பத்தில், புள்ளியியல் நிபுணர்கள் ரொனால்ட் ஃபிஷர் போன்றவர்கள் இதனை உயிரியல் பிரச்சினைகளுக்கு பயன்படுத்தியதால், விநியோகம் முக்கியத்துவம் பெற்றது.

இன்று, பொய்சான் விநியோகம் பல துறைகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, குவாண்டம் இயற்பியலிலிருந்து செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சிக்கு, வாய்ப்பு கோட்பாடு மற்றும் புள்ளியியல் துறையில் அதன் பலவகை மற்றும் முக்கியத்துவத்தை நிரூபிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பொய்சான் விநியோகம் வாய்ப்புகளை கணக்கிட சில குறியீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள்:

1' Excel VBA செயல்பாடு பொய்சான் விநியோகம் வாய்ப்பு
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' பயன்பாடு:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
7lambda_param = 2  # சராசரி வீதம்
8k = 3  # நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"வாய்ப்பு: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
7const lambda = 2; // சராசரி வீதம்
8const k = 3; // நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`வாய்ப்பு: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // சராசரி வீதம்
13        int k = 3; // நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("வாய்ப்பு: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் பல்வேறு நிரலாக்க மொழிகளில் பொய்சான் விநியோகம் வாய்ப்புகளை கணக்கிடுவது எப்படி என்பதை விளக்குகிறது. நீங்கள் இந்த செயல்பாடுகளை உங்கள் குறிப்பிட்ட தேவைகளுக்கு ஏற்ப மாற்றலாம் அல்லது பெரிய புள்ளியியல் பகுப்பாய்வு அமைப்புகளில் ஒருங்கிணைக்கலாம்.

எண்ணியல் எடுத்துக்காட்டுகள்

1. அழைப்பு மையம் சூழ்நிலை:

   • மணிக்கு சராசரி அழைப்புகள் ($\lambda$) = 5
   • மணிக்கு சரியாக 3 அழைப்புகளின் வாய்ப்பு ($k$ = 3)
   • வாய்ப்பு ≈ 0.140373

2. உற்பத்தி தரக் கட்டுப்பாடு:

   • ஒரு தொகுப்பில் சராசரி குறைபாடுகள் ($\lambda$) = 1.5
   • ஒரு தொகுப்பில் குறைபாடுகள் இல்லாத வாய்ப்பு ($k$ = 0)
   • வாய்ப்பு ≈ 0.223130

3. கதிரியக்க சிதைவுகள்:

   • ஒரு நிமிடத்திற்கு சராசரி வெளியீடுகள் ($\lambda$) = 3.5
   • ஒரு நிமிடத்தில் சரியாக 6 வெளியீடுகளின் வாய்ப்பு ($k$ = 6)
   • வாய்ப்பு ≈ 0.116422

4. பாதை ஓட்டம்:

   • ஒரு நிமிடத்திற்கு சராசரி கார்கள் ($\lambda$) = 2
   • ஒரு நிமிடத்தில் சரியாக 5 கார்கள் ($k$ = 5)
   • வாய்ப்பு ≈ 0.036288

எல்லை நிலைகள் மற்றும் வரம்புகள்

1. பெரிய $\lambda$ மதிப்புகள்: மிகப்பெரிய $\lambda$ (எடுத்துக்காட்டாக, $\lambda > 100$) க்கான கணக்கீடு எக்ஸ்போனென்ஷியல் மற்றும் காரிகை நெறிமுறைகள் காரணமாக எண்கணித ரீதியாக நிலைத்தன்மை இழக்கலாம். இப்படியான சந்தர்ப்பங்களில், சாதாரண விநியோகம் போன்ற அணுகுமுறைகள் அதிகமாக பொருத்தமாக இருக்கலாம்.

2. பெரிய $k$ மதிப்புகள்: பெரிய $\lambda$ போலவே, மிகப்பெரிய $k$ மதிப்புகள் கணக்கீட்டில் எண்கணித ரீதியாக நிலைத்தன்மை இழக்கலாம். கணக்கீட்டாளர் இந்த எல்லைகளை அணுகும் போது பயனர்களுக்கு எச்சரிக்கையை வழங்க வேண்டும்.

3. முழு எண் அல்லாத $k$: பொய்சான் விநியோகம் முழு எண் $k$ க்கே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. கணக்கீட்டாளர் இந்த கட்டுப்பாட்டை கட்டாயமாக்க வேண்டும்.

4. சிறிய வாய்ப்புகள்: பெரிய $\lambda$ மற்றும் சிறிய $k$ (அல்லது எதிர்மறை) க்கான கூட்டங்கள், முடிவில் மிகவும் சிறிய வாய்ப்புகளை உருவாக்கலாம், இது சில நிரலாக்க மொழிகளில் கீழே செல்லும் சிக்கல்களை உருவாக்கலாம்.

5. சுதந்திரத்திற்கான முன்னணி: பொய்சான் விநியோகம் நிகழ்வுகள் சுதந்திரமாக நிகழ்வதாகக் கருதுகிறது. உண்மையான உலக சூழ்நிலைகளில், இந்த முன்னணி எப்போதும் நிலவாது, விநியோகம் பயன்பாட்டின் வரம்புகளை குறைக்கிறது.

6. நிலையான வீதத்தின் முன்னணி: பொய்சான் விநியோகம் ஒரு நிலையான சராசரி வீதத்தைப் فرضிக்கிறது. பல உண்மையான உலக சூழ்நிலைகளில், வீதம் காலம் அல்லது இடத்தில் மாறுபடலாம்.

7. சராசரி மற்றும் பரவலின் சமத்துவம்: பொய்சான் விநியோகம், சராசரி பரவலுக்கு சமமாக இருக்கும் ($\lambda$). இந்த சொத்து, சமவிதானம் எனப்படும், சில உண்மையான தரவுகளில் நிலவாது, அதிக அல்லது குறைவான பரவலுக்கு வழிவகுக்கலாம்.

பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளர் பயன்படுத்தும்போது, உங்கள் குறிப்பிட்ட சூழ்நிலைக்கு பொருத்தமான பயன்பாட்டை உறுதி செய்ய இந்த வரம்புகளை கருத்தில் கொள்ளவும்.

பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளர் பற்றிய அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளர் எதற்காக பயன்படுத்தப்படுகிறது?

ஒரு பொய்சான் விநியோகம் கணக்கீட்டாளர் நிரந்தர கால அல்லது இட இடைவெளிகளில் குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகள் நிகழ்வதற்கான வாய்ப்பை தீர்மானிக்க உதவுகிறது. இது தரக் கட்டுப்பாடு, அழைப்பு மைய மேலாண்மை, போக்குவரத்து பகுப்பாய்வு மற்றும் அறிவியல் ஆராய்ச்சிக்கான பொதுவானது, அங்கு நிகழ்வுகள் ஒரு அறியப்பட்ட சராசரி வீதத்தில் சீராக நிகழ்கின்றன.

பொய்சான் விநியோகம் வாய்ப்பை எப்படி கணக்கிடுவது?

பொய்சான் விநியோகம் வாய்ப்பை கணக்கிட, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: P(X=k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!, அங்கு λ என்பது சராசரி நிகழ்வு வீதம் மற்றும் k என்பது நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை. எங்கள் கணக்கீட்டாளர் இந்த சிக்கலான கணக்கீட்டை உடனடி, சரியான முடிவுகளுக்காக தானாகவே செய்கிறது.

பொய்சான் விநியோகம் பயன்படுத்துவதற்கான தேவைகள் என்ன?

பொய்சான் விநியோகம் தேவைகள் உள்ளன: நிகழ்வுகள் சுதந்திரமாக நிகழ வேண்டும், நிலையான சராசரி வீதத்தில், மற்றும் ஒரே நேரத்தில் மாறுபட்ட இடைவெளிகளில். மிகவும் சிறிய இடைவெளிகளில் பல நிகழ்வுகளின் வாய்ப்பு குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

பொய்சான் விநியோகம் மற்றும் சாதாரண விநியோகம் எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?

பொய்சான் விநியோகம் அரிதான நிகழ்வுகளுடன் கூடிய தனிமை எண்ணிக்கை தரவுகளுக்காக (λ < 30) பயன்படுத்தவும். λ > 30 என்றால், தொடர்ச்சியான தரவுகளுக்காக அல்லது சாதாரண விநியோகம் பயன்படுத்தவும், ஏனெனில் பொய்சான் விநியோகம் பெரிய λ மதிப்புகளுக்கு சாதாரண விநியோகம் போலவே இருக்கிறது.

பொய்சான் விநியோகம் உள்ள λ (λ) என்ன?

பொய்சான் விநியோகம் உள்ள λ (λ) என்பது கொடுக்கப்பட்ட கால அல்லது இட இடைவெளியில் எதிர்பார்க்கப்படும் நிகழ்வுகளின் சராசரி எண்ணிக்கையை குறிக்கிறது. இது விநியோகத்தின் சராசரி மற்றும் பரவலாகும், வாய்ப்பு கணக்கீடுகளுக்கான முக்கியமான அளவீடாகும்.

பொய்சான் விநியோகம் எதிர்மறை மதிப்புகளை கொண்டிருக்க முடியுமா?

இல்லை, பொய்சான் விநியோகம் எதிர்மறை மதிப்புகளை கொண்டிருக்க முடியாது. λ (λ) மற்றும் k இரண்டும் நேர்மறை இருக்க வேண்டும், k முழு எண் (0, 1, 2, 3...) ஆக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் இது எண்ணிக்கை தரவுகளை குறிக்கிறது.

பொய்சான் மற்றும் பினாமியல் விநியோகம் இட