टी-टेस्ट कैलकुलेटर: एक-नमूना, दो-नमूना और जोड़े गए

सभी प्रकार के टी-टेस्ट करें: एक-नमूना, दो-नमूना, और जोड़े गए टी-टेस्ट। यह कैलकुलेटर आपको औसत के लिए सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण करने की अनुमति देता है, डेटा विश्लेषण और परिणामों की व्याख्या में सहायता करता है।

टी-टेस्ट कैलकुलेटर

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दस्तावेज़ीकरण

टी-टेस्ट कैलकुलेटर

परिचय

टी-टेस्ट एक मौलिक सांख्यिकी उपकरण है जिसका उपयोग समूहों के औसत के बीच महत्वपूर्ण अंतर निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इसका व्यापक रूप से मनोविज्ञान, चिकित्सा और व्यवसाय जैसे विभिन्न क्षेत्रों में परिकल्पना परीक्षण के लिए उपयोग किया जाता है। यह कैलकुलेटर आपको सभी प्रकार के टी-टेस्ट करने की अनुमति देता है:

एक-नमूना टी-टेस्ट: यह परीक्षण करता है कि एकल समूह का औसत ज्ञात मान से भिन्न है या नहीं।
दो-नमूना टी-टेस्ट (स्वतंत्र नमूने): यह दो स्वतंत्र समूहों के औसत की तुलना करता है।
जुड़ा हुआ टी-टेस्ट: यह एक ही समूह के विभिन्न समय पर (जैसे, उपचार से पहले और बाद में) औसत की तुलना करता है।

टी-टेस्ट के प्रकार

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

टी-टेस्ट का प्रकार चुनें:
- एक-नमूना टी-टेस्ट
- दो-नमूना टी-टेस्ट
- जुड़ा हुआ टी-टेस्ट
आवश्यक इनपुट दर्ज करें:
- एक-नमूना टी-टेस्ट के लिए:
  - नमूना औसत ( $\bar{x}$ )
  - नमूना मानक विचलन ( $s$ )
  - नमूना आकार ( $n$ )
  - जनसंख्या औसत ( $\mu_0$ )
- दो-नमूना टी-टेस्ट के लिए:
  - नमूना 1 का औसत ( $\bar{x}_1$ )
  - नमूना 1 का मानक विचलन ( $s_1$ )
  - नमूना 1 का आकार ( $n_1$ )
  - नमूना 2 का औसत ( $\bar{x}_2$ )
  - नमूना 2 का मानक विचलन ( $s_2$ )
  - नमूना 2 का आकार ( $n_2$ )
  - वैरिएंस मान्यता: चुनें कि क्या वैरिएंस समान या असमान माना गया है।
- जुड़ा हुआ टी-टेस्ट के लिए:
  - अंतर डेटा: जोड़े गए अंतर दर्ज करें।
  - वैकल्पिक रूप से, अंतर का औसत ( $\bar{d}$ ), अंतर का मानक विचलन ( $s_d$ ), और नमूना आकार ( $n$ ) दर्ज करें।
महत्व स्तर ( $\alpha$ ) सेट करें:
- सामान्य विकल्प 0.05 है जो 95% विश्वास स्तर के लिए है या 0.01 जो 99% विश्वास स्तर के लिए है।
परीक्षण दिशा चुनें:
- दो-तरफा परीक्षण: किसी भी अंतर के लिए परीक्षण करता है।
- एक-तरफा परीक्षण: एक दिशा में अंतर के लिए परीक्षण करता है (यह निर्दिष्ट करें कि क्या अधिक या कम के लिए परीक्षण कर रहे हैं)।
"गणना करें" बटन पर क्लिक करें:
- कैलकुलेटर निम्नलिखित प्रदर्शित करेगा:
  - टी-आंकड़ा
  - स्वतंत्रता की डिग्री
  - पी-मान
  - निष्कर्ष: क्या शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना है या अस्वीकार नहीं करना है।

मान्यताएँ

टी-टेस्ट का उपयोग करने से पहले सुनिश्चित करें कि निम्नलिखित मान्यताएँ पूरी होती हैं:

सामान्यता: डेटा को लगभग सामान्य रूप से वितरित होना चाहिए।
स्वतंत्रता: अवलोकन एक-दूसरे से स्वतंत्र होने चाहिए।
- दो-नमूना टी-टेस्ट के लिए, दोनों समूह स्वतंत्र होने चाहिए।
- जुड़ा हुआ टी-टेस्ट के लिए, अंतर स्वतंत्र होने चाहिए।
वैरिएंस की समानता:
- समान वैरिएंस के साथ दो-नमूना टी-टेस्ट के लिए, दोनों जनसंख्याओं के वैरिएंस समान होने चाहिए (हॉमोस्सेडैस्टिसिटी)।
- यदि यह मान्यता पूरी नहीं होती है, तो वेल्च का टी-टेस्ट (असमान वैरिएंस) का उपयोग करें।

सूत्र

एक-नमूना टी-टेस्ट

टी-आंकड़ा निम्नलिखित के रूप में गणना किया जाता है:

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}

$\bar{x}$ : नमूना औसत
$\mu_0$ : शून्य परिकल्पना के तहत जनसंख्या औसत
$s$ : नमूना मानक विचलन
$n$ : नमूना आकार

दो-नमूना टी-टेस्ट (स्वतंत्र नमूने)

समान वैरिएंस माना गया

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

संयुक्त मानक विचलन ( $s_p$ ):

s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}

असमान वैरिएंस (वेल्च का टी-टेस्ट)

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}

जुड़ा हुआ टी-टेस्ट

t = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}

$\bar{d}$ : अंतर का औसत
$s_d$ : अंतर का मानक विचलन
$n$ : जोड़ों की संख्या

स्वतंत्रता की डिग्री

एक-नमूना और जुड़ा हुआ टी-टेस्ट:

df = n - 1

समान वैरिएंस के साथ दो-नमूना टी-टेस्ट:

df = n_1 + n_2 - 2

वेल्च का टी-टेस्ट:

df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 -1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 -1}}

गणना

कैलकुलेटर निम्नलिखित कदम उठाता है:

चुने गए परीक्षण के आधार पर उपयुक्त सूत्र का उपयोग करके टी-आंकड़ा गणना करें।
स्वतंत्रता की डिग्री (df) निर्धारित करें।
टी-आंकड़ा और df के अनुसार पी-मान की गणना करें:
- संभावना खोजने के लिए टी-वितरण का उपयोग करें।
पी-मान की तुलना महत्व स्तर ( $\alpha$ ) से करें:
- यदि $p \leq \alpha$ , तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करें।
- यदि $p > \alpha$ , तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करें।
परिणामों की व्याख्या करें:
- परीक्षण के संदर्भ में निष्कर्ष प्रदान करें।

उपयोग के मामले

एक-नमूना टी-टेस्ट

नई दवा की प्रभावशीलता का परीक्षण:
- यह निर्धारित करें कि एक नई दवा के साथ औसत रिकवरी समय ज्ञात औसत रिकवरी समय से भिन्न है या नहीं।
गुणवत्ता नियंत्रण:
- यह जांचें कि निर्मित भागों की औसत लंबाई निर्दिष्ट मानक से भिन्न है या नहीं।

दो-नमूना टी-टेस्ट

मार्केटिंग में ए/बी परीक्षण:
- दो विभिन्न वेब पृष्ठ डिज़ाइन के बीच रूपांतरण दरों की तुलना करें।
शैक्षिक अनुसंधान:
- यह मूल्यांकन करें कि क्या दो शिक्षण विधियों के बीच परीक्षा के स्कोर में कोई अंतर है।

जुड़ा हुआ टी-टेस्ट

पहले और बाद के अध्ययन:
- एक आहार कार्यक्रम के पहले और बाद में वजन घटाने का मूल्यांकन करें।
मेल खाती विषय:
- एक ही विषयों पर दवा देने के पहले और बाद में रक्तचाप मापों की तुलना करें।

विकल्प

हालांकि टी-टेस्ट शक्तिशाली हैं, लेकिन उनकी मान्यताएँ हमेशा पूरी नहीं होती हैं। विकल्पों में शामिल हैं:

मैन-व्हिटनी यू टेस्ट:
- जब डेटा सामान्य वितरण का पालन नहीं करता है तो दो-नमूना टी-टेस्ट का गैर-पैरामीट्रिक विकल्प।
विल्कॉक्सन साइन-रैंक टेस्ट:
- जुड़ा हुआ टी-टेस्ट का गैर-पैरामीट्रिक समकक्ष।
एएनओवीए (विविधता का विश्लेषण):
- जब दो से अधिक समूहों के बीच औसत की तुलना की जाती है।

इतिहास

टी-टेस्ट को विलियम सीली गॉसेट द्वारा 1908 में विकसित किया गया था, जिन्होंने डबलिन के गिनीज़ ब्रेवरी में काम करते समय उपनाम "स्टूडेंट" के तहत प्रकाशित किया। यह परीक्षण गुणवत्ता की निगरानी करने के लिए डिज़ाइन किया गया था ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि नमूना बैच ब्रेवरी के मानकों के साथ संगत हैं या नहीं। गोसेट ने गोपनीयता समझौतों के कारण उपनाम "स्टूडेंट" का उपयोग किया, जिसके कारण "स्टूडेंट का टी-टेस्ट" शब्द आया।

समय के साथ, टी-टेस्ट सांख्यिकी विश्लेषण में एक आधारशिला बन गया है, जिसे विभिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों में व्यापक रूप से पढ़ाया और लागू किया जाता है। इसने अधिक जटिल सांख्यिकी विधियों के विकास के लिए मार्ग प्रशस्त किया और यह अनुमानात्मक सांख्यिकी के क्षेत्र में मौलिक है।

उदाहरण

यहां विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक-नमूना टी-टेस्ट करने के लिए कोड उदाहरण दिए गए हैं:

एक्सेल

1' एक्सेल VBA में एक-नमूना टी-टेस्ट
2Sub OneSampleTTest()
3    Dim sampleData As Range
4    Set sampleData = Range("A1:A9") ' अपने डेटा रेंज के साथ बदलें
5    Dim hypothesizedMean As Double
6    hypothesizedMean = 50 ' अपने परिकल्पित औसत के साथ बदलें
7
8    Dim sampleMean As Double
9    Dim sampleStdDev As Double
10    Dim sampleSize As Integer
11    Dim tStat As Double
12
13    sampleMean = Application.WorksheetFunction.Average(sampleData)
14    sampleStdDev = Application.WorksheetFunction.StDev_S(sampleData)
15    sampleSize = sampleData.Count
16
17    tStat = (sampleMean - hypothesizedMean) / (sampleStdDev / Sqr(sampleSize))
18
19    MsgBox "टी-आंकड़ा: " & Format(tStat, "0.00")
20End Sub
21

आर

1## आर में एक-नमूना टी-टेस्ट
2sample_data <- c(51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51)
3t_test_result <- t.test(sample_data, mu = 50)
4print(t_test_result)
5

पायथन

1import numpy as np
2from scipy import stats
3
4## पायथन में एक-नमूना टी-टेस्ट
5sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
6t_statistic, p_value = stats.ttest_1samp(sample_data, 50)
7print(f"टी-आंकड़ा: {t_statistic:.2f}, पी-मान: {p_value:.4f}")
8

जावास्क्रिप्ट

1// जावास्क्रिप्ट में एक-नमूना टी-टेस्ट
2function oneSampleTTest(sample, mu0) {
3  const n = sample.length;
4  const mean = sample.reduce((a, b) => a + b) / n;
5  const sd = Math.sqrt(sample.map(x => (x - mean) ** 2).reduce((a, b) => a + b) / (n - 1));
6  const t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n));
7  return t;
8}
9
10// उदाहरण उपयोग:
11const sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
12const tStatistic = oneSampleTTest(sampleData, 50);
13console.log(`टी-आंकड़ा: ${tStatistic.toFixed(2)}`);
14

MATLAB

1% MATLAB में एक-नमूना टी-टेस्ट
2sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
3[h, p, ci, stats] = ttest(sampleData, 50);
4disp(['टी-आंकड़ा: ', num2str(stats.tstat)]);
5disp(['पी-मान: ', num2str(p)]);
6

जावा

1import org.apache.commons.math3.stat.inference.TTest;
2
3public class OneSampleTTest {
4    public static void main(String[] args) {
5        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
6        TTest tTest = new TTest();
7        double mu = 50;
8        double tStatistic = tTest.t(mu, sampleData);
9        double pValue = tTest.tTest(mu, sampleData);
10        System.out.printf("टी-आंकड़ा: %.2f%n", tStatistic);
11        System.out.printf("पी-मान: %.4f%n", pValue);
12    }
13}
14

C#

1using System;
2using MathNet.Numerics.Statistics;
3
4class OneSampleTTest
5{
6    static void Main()
7    {
8        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
9        double mu0 = 50;
10        int n = sampleData.Length;
11        double mean = Statistics.Mean(sampleData);
12        double stdDev = Statistics.StandardDeviation(sampleData);
13        double tStatistic = (mean - mu0) / (stdDev / Math.Sqrt(n));
14        Console.WriteLine($"टी-आंकड़ा: {tStatistic:F2}");
15    }
16}
17

गो

1package main
2
3import (
4    "fmt"
5    "math"
6)
7
8func oneSampleTTest(sample []float64, mu0 float64) float64 {
9    n := float64(len(sample))
10    var sum, mean, sd float64
11
12    for _, v := range sample {
13        sum += v
14    }
15    mean = sum / n
16
17    for _, v := range sample {
18        sd += math.Pow(v - mean, 2)
19    }
20    sd = math.Sqrt(sd / (n - 1))
21    
22    t := (mean - mu0) / (sd / math.Sqrt(n))
23    return t
24}
25
26func main() {
27    sampleData := []float64{51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51}
28    tStatistic := oneSampleTTest(sampleData, 50)
29    fmt.Printf("टी-आंकड़ा: %.2f\n", tStatistic)
30}
31

स्विफ्ट

1import Foundation
2
3func oneSampleTTest(sample: [Double], mu0: Double) -> Double {
4    let n = Double(sample.count)
5    let mean = sample.reduce(0, +) / n
6    let sd = sqrt(sample.map { pow($0 - mean, 2) }.reduce(0, +) / (n - 1))
7    let t = (mean - mu0) / (sd / sqrt(n))
8    return t
9}
10
11let sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
12let tStatistic = oneSampleTTest(sample: sampleData, mu0: 50)
13print(String(format: "टी-आंकड़ा: %.2f", tStatistic))
14

PHP

1<?php
2function oneSampleTTest($sample, $mu0) {
3    $n = count($sample);
4    $mean = array_sum($sample) / $n;
5    $sd = sqrt(array_sum(array_map(function($x) use ($mean) {
6        return pow($x - $mean, 2);
7    }, $sample)) / ($n - 1));
8    $t = ($mean - $mu0) / ($sd / sqrt($n));
9    return $t;
10}
11
12$sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
13$tStatistic = oneSampleTTest($sampleData, 50);
14echo "टी-आंकड़ा: " . number_format($tStatistic, 2);
15?>
16

रूबी

1## रूबी में एक-नमूना टी-टेस्ट
2def one_sample_t_test(sample, mu0)
3  n = sample.size
4  mean = sample.sum(0.0) / n
5  sd = Math.sqrt(sample.map { |x| (x - mean)**2 }.sum / (n - 1))
6  t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n))
7  t
8end
9
10sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
11t_statistic = one_sample_t_test(sample_data, 50)
12puts format("टी-आंकड़ा: %.2f", t_statistic)
13

रस्ट

1// रस्ट में एक-नमूना टी-टेस्ट
2fn one_sample_t_test(sample: &Vec<f64>, mu0: f64) -> f64 {
3    let n = sample.len() as f64;
4    let mean: f64 = sample.iter().sum::<f64>() / n;
5    let sd = (sample.iter().map(|x| (x - mean).powi(2)).sum::<f64>() / (n - 1.0)).sqrt();
6    let t = (mean - mu0) / (sd / n.sqrt());
7    t
8}
9
10fn main() {
11    let sample_data = vec![51.0, 49.0, 52.0, 48.0, 50.0, 47.0, 53.0, 49.0, 51.0];
12    let t_statistic = one_sample_t_test(&sample_data, 50.0);
13    println!("टी-आंकड़ा: {:.2}", t_statistic);
14}
15

संख्यात्मक उदाहरण

समस्या: एक निर्माता का दावा है कि एक बैटरी का औसत जीवन 50 घंटे है। एक उपभोक्ता समूह 9 बैटरियों का परीक्षण करता है और निम्नलिखित जीवनकाल (घंटों में) रिकॉर्ड करता है:

51,\ 49,\ 52,\ 48,\ 50,\ 47,\ 53,\ 49,\ 51

क्या यह 0.05 महत्व स्तर पर सुझाव देने के लिए पर्याप्त सबूत है कि औसत बैटरी जीवन 50 घंटे से भिन्न है?

हल:

परिकल्पनाएँ स्थापित करें:
- शून्य परिकल्पना ( $H_0$ ): $\mu = 50$
- वैकल्पिक परिकल्पना ( $H_a$ ): $\mu \neq 50$
नमूना औसत ( $\bar{x}$ ) की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{51 + 49 + 52 + 48 + 50 + 47 + 53 + 49 + 51}{9} = 50.00$
नमूना मानक विचलन ( $s$ ) की गणना करें:
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = 2.0$
टी-आंकड़ा गणना करें:
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{50.00 - 50}{\frac{2.0}{\sqrt{9}}} = 0.00$
स्वतंत्रता की डिग्री:
$df = n - 1 = 8$
पी-मान निर्धारित करें:
- $t = 0.00$ और $df = 8$ के लिए, पी-मान 1.00 है।
निष्कर्ष:
- चूंकि पी-मान (1.00) > $\alpha$ (0.05), हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करते।
- व्याख्या: यह सुझाव देने के लिए पर्याप्त सबूत नहीं हैं कि औसत बैटरी जीवन 50 घंटे से भिन्न है।

संदर्भ

गॉसेट, W. S. (1908). "एक औसत की संभावित त्रुटि". बायोमेट्रिका, 6(1), 1–25. JSTOR.
स्टूडेंट का टी-टेस्ट. विकिपीडिया. https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test
ग्राफपैड सांख्यिकी गाइड: टी-टेस्ट को समझना। लिंक
लेर्ड सांख्यिकी: स्वतंत्र टी-टेस्ट। लिंक

अतिरिक्त संसाधन

मान्यता जांचें:
- शापिरो-विल्क परीक्षण का उपयोग करें सामान्यता के लिए।
- लेवेन्स परीक्षण का उपयोग करें वैरिएंस की समानता के लिए।
सॉफ़्टवेयर उपकरण:
- SPSS, SAS, स्टेटा, और आर उन्नत सांख्यिकी विश्लेषण के लिए।
अधिक पढ़ाई:
- "सांख्यिकी सीखने का परिचय" गारथ जेम्स, डेनिएला विटेन, ट्रेवर हेस्टे और रॉबर्ट तिब्शिरानी द्वारा।
- "सांख्यिकी विधियाँ" जॉर्ज W. स्नेडकोर और विलियम G. कॉक्रान द्वारा।

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टी-टेस्ट कैलकुलेटर: एक-नमूना, दो-नमूना और जोड़े गए

टी-टेस्ट कैलकुलेटर

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टी-टेस्ट कैलकुलेटर

परिचय

टी-टेस्ट के प्रकार

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

मान्यताएँ

सूत्र

एक-नमूना टी-टेस्ट

दो-नमूना टी-टेस्ट (स्वतंत्र नमूने)

समान वैरिएंस माना गया

असमान वैरिएंस (वेल्च का टी-टेस्ट)

जुड़ा हुआ टी-टेस्ट

स्वतंत्रता की डिग्री

एक-नमूना और जुड़ा हुआ टी-टेस्ट:

समान वैरिएंस के साथ दो-नमूना टी-टेस्ट:

वेल्च का टी-टेस्ट:

गणना

उपयोग के मामले

एक-नमूना टी-टेस्ट

दो-नमूना टी-टेस्ट

जुड़ा हुआ टी-टेस्ट

विकल्प

इतिहास

उदाहरण

एक्सेल

आर

पायथन

जावास्क्रिप्ट

MATLAB

जावा

C#

गो

स्विफ्ट

PHP

रूबी

रस्ट

संख्यात्मक उदाहरण

संदर्भ

अतिरिक्त संसाधन

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