Whiz Tools
sampleDataDescription

Kalkulačka T-Test

Úvod

t-test je základný štatistický nástroj používaný na určenie, či existuje významný rozdiel medzi priemermi skupín. Je široko aplikovaný v rôznych oblastiach, ako je psychológia, medicína a obchod, na testovanie hypotéz. Táto kalkulačka vám umožňuje vykonávať všetky druhy t-testov:

  • T-Test s jedným vzorkom: Testuje, či sa priemer jednej skupiny líši od známej hodnoty.
  • T-Test s dvoma vzorkami (nezávislé vzorky): Porovnáva priemery dvoch nezávislých skupín.
  • Párovaný T-Test: Porovnáva priemery z tej istej skupiny v rôznych časoch (napr. pred a po liečbe).

Typy T-Testov

Vzorkové dáta Priemerná populácia T-Test s jedným vzorkom Vzorka 1 Vzorka 2 Rozdiel priemerov T-Test s dvoma vzorkami Pred Po Rozdiely Párovaný T-Test

Ako používať túto kalkulačku

  1. Vyberte typ T-Testu:

    • T-Test s jedným vzorkom
    • T-Test s dvoma vzorkami
    • Párovaný T-Test

  2. Zadajte požadované vstupy:

    • Pre T-Test s jedným vzorkom:

      • Priemer vzorky (xˉ\bar{x})
      • Štandardná odchýlka vzorky (ss)
      • Veľkosť vzorky (nn)
      • Priemer populácie (μ0\mu_0)

    • Pre T-Test s dvoma vzorkami:

      • Priemer vzorky 1 (xˉ1\bar{x}_1)
      • Štandardná odchýlka vzorky 1 (s1s_1)
      • Veľkosť vzorky 1 (n1n_1)
      • Priemer vzorky 2 (xˉ2\bar{x}_2)
      • Štandardná odchýlka vzorky 2 (s2s_2)
      • Veľkosť vzorky 2 (n2n_2)
      • Predpoklad variancie: Vyberte, či sú variancie predpokladané ako rovnaké alebo rôzne.

    • Pre Párovaný T-Test:

      • Dáta rozdielov: Zadajte párové rozdiely.
      • Alternatívne, zadajte Priemer rozdielov (dˉ\bar{d}), Štandardná odchýlka rozdielov (sds_d) a Veľkosť vzorky (nn).

  3. Nastavte hladinu významnosti (α\alpha):

    • Bežné voľby sú 0.05 pre 95% hladinu dôvery alebo 0.01 pre 99% hladinu dôvery.

  4. Vyberte smer testu:

    • Dvojstranný test: Testuje akýkoľvek rozdiel.
    • Jednostranný test: Testuje smerový rozdiel (určte, či testujete na väčšie alebo menšie).

  5. Kliknite na tlačidlo "Vypočítať":

    • Kalkulačka zobrazí:

      • T-štatistika
      • Stupeň voľnosti
      • P-hodnota
      • Záver: Či zamietnúť alebo nezamietnúť nulovú hypotézu.

Predpoklady

Pred použitím t-testu sa uistite, že sú splnené nasledujúce predpoklady:

  • Normalita: Dáta by mali byť približne normálne rozdelené.
  • Nezávislosť: Pozorovania musia byť nezávislé od seba.
    • Pre T-Test s dvoma vzorkami by mali byť dve skupiny nezávislé.
    • Pre Párovaný T-Test by mali byť rozdiely nezávislé.
  • Rovnosť variancií:
    • Pre T-Test s dvoma vzorkami s rovnakými varianciami by mali byť variancie dvoch populácií rovnaké (homoskedasticita).
    • Ak tento predpoklad nie je splnený, použite Welchov T-Test (nerovnaké variancie).

Formuly

T-Test s jedným vzorkom

T-štatistika sa vypočíta ako:

t=xˉ−μ0snt = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
  • xˉ\bar{x}: Priemer vzorky
  • μ0\mu_0: Priemer populácie pod nulovou hypotézou
  • ss: Štandardná odchýlka vzorky
  • nn: Veľkosť vzorky

T-Test s dvoma vzorkami (nezávislé vzorky)

Predpokladané rovnaké variancie
t=xˉ1−xˉ2sp1n1+1n2t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

Zjednotená štandardná odchýlka (sps_p):

sp=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}
Nerovnaké variancie (Welchov T-Test)
t=xˉ1−xˉ2s12n1+s22n2t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}

Párovaný T-Test

t=dˉsdnt = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}
  • dˉ\bar{d}: Priemer rozdielov
  • sds_d: Štandardná odchýlka rozdielov
  • nn: Počet párov

Stupeň voľnosti

T-Test s jedným vzorkom a Párovaný T-Test:
df=n−1df = n - 1
T-Test s dvoma vzorkami s rovnakými varianciami:
df=n1+n2−2df = n_1 + n_2 - 2
Welchov T-Test:
df=(s12n1+s22n2)2(s12n1)2n1−1+(s22n2)2n2−1df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 -1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 -1}}

Výpočet

Kalkulačka vykonáva nasledujúce kroky:

  1. Vypočíta T-štatistiku pomocou príslušnej formuly na základe vybraného testu.
  2. Určí Stupeň voľnosti (df).
  3. Vypočíta P-hodnotu zodpovedajúcu t-štatistike a df:
    • Používa t-rozdelenie na nájdenie pravdepodobnosti.
  4. Porovná P-hodnotu s hladinou významnosti (α\alpha):
    • Ak p≤αp \leq \alpha, zamietnite nulovú hypotézu.
    • Ak p>αp > \alpha, nezamietnite nulovú hypotézu.
  5. Interpretácia výsledkov:
    • Poskytnite záver v kontexte testu.

Príklady použitia

T-Test s jedným vzorkom

  • Testovanie účinnosti nového lieku:
    • Určte, či sa priemerný čas zotavenia s novým liekom líši od známeho priemerného času zotavenia.
  • Kontrola kvality:
    • Skontrolujte, či sa priemerná dĺžka vyrobených dielov odchýli od stanoveného štandardu.

T-Test s dvoma vzorkami

  • A/B testovanie v marketingu:
    • Porovnajte konverzné pomery medzi dvoma rôznymi dizajnmi webových stránok.
  • Vzdelávací výskum:
    • Posúďte, či existuje rozdiel v testovacích výsledkoch medzi dvoma metódami vyučovania.

Párovaný T-Test

  • Pred a po štúdie:
    • Vyhodnoťte úbytok hmotnosti pred a po diétnom programe.
  • Zodpovedajúce subjekty:
    • Porovnajte merania krvného tlaku pred a po podaní lieku tým istým subjektom.

Alternatívy

Aj keď sú t-testy silné, majú predpoklady, ktoré nemusia byť vždy splnené. Alternatívy zahŕňajú:

  • Mann-Whitney U Test:
    • Neparametrická alternatíva k t-testu s dvoma vzorkami, keď dáta nesledujú normálne rozdelenie.
  • Wilcoxon Signed-Rank Test:
    • Neparametrická ekvivalentná verzia párovaného t-testu.
  • ANOVA (Analýza rozptylu):
    • Používa sa na porovnanie priemerov vo viac ako dvoch skupinách.

História

T-test bol vyvinutý Williamom Sealy Gossetom v roku 1908, ktorý publikoval pod pseudonymom "Student" počas práce v pivovare Guinness v Dubline. Test bol navrhnutý na monitorovanie kvality stoutu určením, či sú vzorky konzistentné so štandardmi pivovaru. Kvôli dohodám o dôvernosti použil Gosset pseudonym "Student", čo viedlo k termínu "Studentov t-test."

V priebehu času sa t-test stal základným kameňom v štatistickej analýze, široko vyučovaným a aplikovaným v rôznych vedeckých disciplínach. Otvoril cestu pre rozvoj komplexnejších štatistických metód a je základom v oblasti inferenciálnej štatistiky.

Príklady

Tu sú kódové príklady na vykonanie T-Testu s jedným vzorkom v rôznych programovacích jazykoch:

Excel

' T-Test s jedným vzorkom v Excel VBA
Sub OneSampleTTest()
    Dim sampleData As Range
    Set sampleData = Range("A1:A9") ' Nahraďte svojím rozsahom dát
    Dim hypothesizedMean As Double
    hypothesizedMean = 50 ' Nahraďte svojím hypotetickým priemerom

    Dim sampleMean As Double
    Dim sampleStdDev As Double
    Dim sampleSize As Integer
    Dim tStat As Double

    sampleMean = Application.WorksheetFunction.Average(sampleData)
    sampleStdDev = Application.WorksheetFunction.StDev_S(sampleData)
    sampleSize = sampleData.Count

    tStat = (sampleMean - hypothesizedMean) / (sampleStdDev / Sqr(sampleSize))

    MsgBox "T-štatistika: " & Format(tStat, "0.00")
End Sub

R

## T-Test s jedným vzorkom v R
sample_data <- c(51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51)
t_test_result <- t.test(sample_data, mu = 50)
print(t_test_result)

Python

import numpy as np
from scipy import stats

## T-Test s jedným vzorkom v Pythone
sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
t_statistic, p_value = stats.ttest_1samp(sample_data, 50)
print(f"T-štatistika: {t_statistic:.2f}, P-hodnota: {p_value:.4f}")

JavaScript

// T-Test s jedným vzorkom v JavaScripte
function oneSampleTTest(sample, mu0) {
  const n = sample.length;
  const mean = sample.reduce((a, b) => a + b) / n;
  const sd = Math.sqrt(sample.map(x => (x - mean) ** 2).reduce((a, b) => a + b) / (n - 1));
  const t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n));
  return t;
}

// Príklad použitia:
const sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
const tStatistic = oneSampleTTest(sampleData, 50);
console.log(`T-štatistika: ${tStatistic.toFixed(2)}`);

MATLAB

% T-Test s jedným vzorkom v MATLABe
sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
[h, p, ci, stats] = ttest(sampleData, 50);
disp(['T-štatistika: ', num2str(stats.tstat)]);
disp(['P-hodnota: ', num2str(p)]);

Java

import org.apache.commons.math3.stat.inference.TTest;

public class OneSampleTTest {
    public static void main(String[] args) {
        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
        TTest tTest = new TTest();
        double mu = 50;
        double tStatistic = tTest.t(mu, sampleData);
        double pValue = tTest.tTest(mu, sampleData);
        System.out.printf("T-štatistika: %.2f%n", tStatistic);
        System.out.printf("P-hodnota: %.4f%n", pValue);
    }
}

C#

using System;
using MathNet.Numerics.Statistics;

class OneSampleTTest
{
    static void Main()
    {
        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
        double mu0 = 50;
        int n = sampleData.Length;
        double mean = Statistics.Mean(sampleData);
        double stdDev = Statistics.StandardDeviation(sampleData);
        double tStatistic = (mean - mu0) / (stdDev / Math.Sqrt(n));
        Console.WriteLine($"T-štatistika: {tStatistic:F2}");
    }
}

Go

package main

import (
    "fmt"
    "math"
)

func oneSampleTTest(sample []float64, mu0 float64) float64 {
    n := float64(len(sample))
    var sum, mean, sd float64

    for _, v := range sample {
        sum += v
    }
    mean = sum / n

    for _, v := range sample {
        sd += math.Pow(v - mean, 2)
    }
    sd = math.Sqrt(sd / (n - 1))

    t := (mean - mu0) / (sd / math.Sqrt(n))
    return t
}

func main() {
    sample_data := []float64{51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51}
    t_statistic := oneSampleTTest(sample_data, 50.0)
    fmt.Printf("T-štatistika: %.2f\n", t_statistic)
}

Swift

import Foundation

func oneSampleTTest(sample: [Double], mu0: Double) -> Double {
    let n = Double(sample.count)
    let mean = sample.reduce(0, +) / n
    let sd = sqrt(sample.map { pow($0 - mean, 2) }.reduce(0, +) / (n - 1))
    let t = (mean - mu0) / (sd / sqrt(n))
    return t
}

let sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
let tStatistic = oneSampleTTest(sample: sampleData, mu0: 50)
print(String(format: "T-štatistika: %.2f", tStatistic))

PHP

<?php
function oneSampleTTest($sample, $mu0) {
    $n = count($sample);
    $mean = array_sum($sample) / $n;
    $sd = sqrt(array_sum(array_map(function($x) use ($mean) {
        return pow($x - $mean, 2);
    }, $sample)) / ($n - 1));
    $t = ($mean - $mu0) / ($sd / sqrt($n));
    return $t;
}

$sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
$tStatistic = oneSampleTTest($sampleData, 50);
echo "T-štatistika: " . number_format($tStatistic, 2);
?>

Ruby

## T-Test s jedným vzorkom v Ruby
def one_sample_t_test(sample, mu0)
  n = sample.size
  mean = sample.sum(0.0) / n
  sd = Math.sqrt(sample.map { |x| (x - mean)**2 }.sum / (n - 1))
  t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n))
  t
end

sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
t_statistic = one_sample_t_test(sample_data, 50)
puts format("T-štatistika: %.2f", t_statistic)

Rust

// T-Test s jedným vzorkom v Rust
fn one_sample_t_test(sample: &Vec<f64>, mu0: f64) -> f64 {
    let n = sample.len() as f64;
    let mean: f64 = sample.iter().sum::<f64>() / n;
    let sd = (sample.iter().map(|x| (x - mean).powi(2)).sum::<f64>() / (n - 1.0)).sqrt();
    let t = (mean - mu0) / (sd / n.sqrt());
    t
}

fn main() {
    let sample_data = vec![51.0, 49.0, 52.0, 48.0, 50.0, 47.0, 53.0, 49.0, 51.0];
    let t_statistic = one_sample_t_test(&sample_data, 50.0);
    println!("T-štatistika: {:.2}", t_statistic);
}

Číselný príklad

Problém: Výrobca tvrdí, že priemerná životnosť batérie je 50 hodín. Skupina spotrebiteľov testuje 9 batérií a zaznamenáva nasledujúce životnosti (v hodinách):

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 5151,\ 49,\ 52,\ 48,\ 50,\ 47,\ 53,\ 49,\ 51

Existuje dôkaz na hladine významnosti 0.05, že priemerná životnosť batérie sa líši od 50 hodín?

Riešenie:

  1. Uveďte hypotézy:

    • Nulová hypotéza (H0H_0): μ=50\mu = 50
    • Alternatívna hypotéza (HaH_a): μ≠50\mu \neq 50

  2. Vypočítajte priemer vzorky (xˉ\bar{x}):

    xˉ=51+49+52+48+50+47+53+49+519=50.00\bar{x} = \frac{51 + 49 + 52 + 48 + 50 + 47 + 53 + 49 + 51}{9} = 50.00

  3. Vypočítajte štandardnú odchýlku vzorky (ss):

    s=∑(xi−xˉ)2n−1=2.0s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = 2.0

  4. Vypočítajte T-štatistiku:

    t=xˉ−μ0sn=50.00−502.09=0.00t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{50.00 - 50}{\frac{2.0}{\sqrt{9}}} = 0.00

  5. Stupeň voľnosti:

    df=n−1=8df = n - 1 = 8

  6. Určte P-hodnotu:

    • Pre t=0.00t = 0.00 a df=8df = 8 je p-hodnota 1.00.

  7. Záver:

    • Keďže p-hodnota (1.00) > α\alpha (0.05), nezamietnite nulovú hypotézu.
    • Interpretácia: Nie je dostatok dôkazov na to, aby sa naznačilo, že priemerná životnosť batérie sa líši od 50 hodín.

Odkazy

  1. Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean". Biometrika, 6(1), 1–25. JSTOR.
  2. Student's t-test. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test
  3. GraphPad Statistics Guide: Pochopenie t-testov. Link
  4. Laerd Statistics: Nezávislý t-test. Link

Ďalšie zdroje

  • Kontroly predpokladov:
    • Použite Shapiro-Wilk test na normalitu.
    • Použite Leveneho test na rovnosť variancií.
  • Nástroje softvéru:
    • SPSS, SAS, Stata a R na pokročilú štatistickú analýzu.
  • Ďalšie čítanie:
    • "Úvod do štatistického učenia" od Gareth James, Daniela Witten, Trevora Hastieho a Roberta Tibshiraniho.
    • "Štatistické metódy" od Georgea W. Snedecora a Williama G. Cochrana.

Súvisiace nástroje

Z-Test Kalkulačka pre študentov a profesionálov v štatistike
Kalkulačka štatistickej významnosti pre A/B testy
Z-Score Calculator for Statistical Analysis and Standardization
Wetted Perimeter Calculator for Various Channel Shapes
Box Plot Calculator for Visual Data Analysis and Insights
Altman Z-Score Kalkulačka na hodnotenie kreditného rizika
Kalkulačka na výpočet surového skóre a jeho interpretáciu
Feedback