యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ పరిష్కర్త: వక్రమైన ఇంటర్‌ఫేస్‌లలో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి

పరిచయం

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ద్రవ యాంత్రికతలోని ప్రాథమిక ఫార్ములాగా ఉంది, ఇది రెండు ద్రవాల మధ్య వక్రమైన ఇంటర్‌ఫేస్ (ఉదాహరణకు, ద్రవ-వాయువు లేదా ద్రవ-ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్) లో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని వివరిస్తుంది. ఈ ఒత్తిడి వ్యత్యాసం ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు ఇంటర్‌ఫేస్ యొక్క వక్రత వల్ల కలుగుతుంది. మా యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ పరిష్కర్త ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు ప్రధాన వక్రత యొక్క వ్యాసాలను ఇన్‌పుట్ చేసి ఈ ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి సులభమైన, ఖచ్చితమైన మార్గాన్ని అందిస్తుంది. మీరు బిందువులు, బబుల్స్, కేపిలరీ చర్య లేదా ఇతర ఉపరితల పరిణామాలను అధ్యయనం చేస్తున్నారా, ఈ సాధనం సంక్లిష్ట ఉపరితల ఉద్రిక్తత సమస్యలకు త్వరితమైన పరిష్కారాలను అందిస్తుంది.

19వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో థామస్ యంగ్ మరియు పియేర్-సిమోన్ లాప్లాస్ అభివృద్ధి చేసిన ఈ సమీకరణ అనేక శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ అనువర్తనాలలో అత్యంత ముఖ్యమైనది, మైక్రోఫ్లూడిక్స్ మరియు పదార్థాల శాస్త్రం నుండి జీవ శ్రేణుల వ్యవస్థలు మరియు పారిశ్రామిక ప్రక్రియల వరకు. ఉపరితల ఉద్రిక్తత, వక్రత మరియు ఒత్తిడి వ్యత్యాసం మధ్య సంబంధాన్ని అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా పరిశోధకులు మరియు ఇంజనీర్లు ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌లను కలిగి ఉన్న వ్యవస్థలను మెరుగ్గా రూపొందించగలరు మరియు విశ్లేషించగలరు.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం వివరణ

ఫార్ములా

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌లో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు ప్రధాన వక్రతల వ్యాసాలకు సంబంధిస్తుంది:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

ఇక్కడ:

• $\Delta P$ ఇంటర్‌ఫేస్‌లో ఒత్తిడి వ్యత్యాసం (Pa)
• $\gamma$ ఉపరితల ఉద్రిక్తత (N/m)
• $R_1$ మరియు $R_2$ ప్రధాన వక్రతల వ్యాసాలు (m)

గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్ (ఉదాహరణకు, ఒక బిందువు లేదా బబుల్) కోసం, $R_1 = R_2 = R$ అని ఉన్నప్పుడు, సమీకరణం ఈ విధంగా సరళీకృతమవుతుంది:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

వేరియబుల్స్ వివరణ

1. ఉపరితల ఉద్రిక్తత ($\gamma$):

   • న్యూటన్‌లలో కొలుస్తారు (N/m) లేదా సమానంగా జౌల్స్/చదరపు మీటర్ (J/m²)
   • ఒక యూనిట్ ద్రవపు ఉపరితలాన్ని పెంచడానికి అవసరమైన శక్తిని సూచిస్తుంది
   • ఉష్ణోగ్రత మరియు ప్రత్యేక ద్రవాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది
   • సాధారణ విలువలు:
     • 20°C వద్ద నీరు: 0.072 N/m
     • 20°C వద్ద ఎథనాల్: 0.022 N/m
     • 20°C వద్ద పామీ: 0.485 N/m

2. ప్రధాన వక్రతల వ్యాసాలు ($R_1$ మరియు $R_2$):

   • మీటర్లలో కొలుస్తారు (m)
   • ఉపరితలంపై ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్తమంగా సరిపోతున్న రెండు అడ్డాల వక్రతల వ్యాసాలను సూచిస్తాయి
   • సానుకూల విలువలు నార్మల్ పాయింట్ చూపించిన వైపు వక్రత కేంద్రాలను సూచిస్తాయి
   • ప్రతికూల విలువలు వ్యతిరేక వైపుకు వక్రత కేంద్రాలను సూచిస్తాయి

3. ఒత్తిడి వ్యత్యాసం ($\Delta P$):

   • పాస్కల్స్‌లో కొలుస్తారు (Pa)
   • ఇంటర్‌ఫేస్ యొక్క కంకవ్ మరియు కవాలీ వైపుల మధ్య ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని సూచిస్తుంది
   • సంప్రదాయంగా, $\Delta P = P_{inside} - P_{outside}$ మూత బిందువులు లేదా బబుల్స్ వంటి మూతైన ఉపరితలాల కోసం

సైన్ కన్వెన్షన్

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణానికి సంబంధించిన సైన్ కన్వెన్షన్ ముఖ్యమైనది:

• ఒక కంకవ్ ఉపరితలానికి (ఉదాహరణకు, ఒక బబుల్ యొక్క లోపలి భాగం), వక్రతలు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి
• ఒక కవాలీ ఉపరితలానికి (ఉదాహరణకు, ఒక బిందువుకు బయట), వక్రతలు సానుకూలంగా ఉంటాయి
• కంకవ్ వైపున ఒత్తిడి ఎప్పుడూ ఎక్కువగా ఉంటుంది

ఎడ్జ్ కేసులు మరియు ప్రత్యేక పరిగణనలు

1. సమాన ఉపరితలము: ఒక వక్రత అనంతానికి చేరుకుంటే, దాని కృషి ఒత్తిడి వ్యత్యాసానికి చేరుకుంటుంది. పూర్తిగా సమాన ఉపరితలానికి ($R_1 = R_2 = \infty$), $\Delta P = 0$.

2. సిలిండ్రికల్ ఉపరితలము: ఒక సిలిండ్రికల్ ఉపరితలానికి (ఉదాహరణకు, ఒక కేపిలరీ ట్యూబ్ లో ద్రవం), ఒక వక్రత పరిమాణం ( $R_1$) మరియు మరొకది అనంతంగా ($R_2 = \infty$) ఉంటుంది, ఇది $\Delta P = \gamma/R_1$ ను ఇస్తుంది.

3. చిన్న వక్రతలు: సూక్ష్మ స్థాయిల వద్ద (ఉదాహరణకు, నానోబిందువులు), లైన్ టెన్షన్ వంటి అదనపు ప్రభావాలు ముఖ్యమైనవి అవుతాయి, మరియు క్లాసికల్ యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం సవరించాల్సి ఉంటుంది.

4. ఉష్ణోగ్రత ప్రభావాలు: ఉపరితల ఉద్రిక్తత సాధారణంగా ఉష్ణోగ్రత పెరిగే కొద్దీ తగ్గుతుంది, ఇది ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది. క్రిటికల్ పాయింట్ సమీపంలో, ఉపరితల ఉద్రిక్తత సున్నా దగ్గరగా వస్తుంది.

5. సర్ఫాక్టెంట్లు: సర్ఫాక్టెంట్ల ఉనికి ఉపరితల ఉద్రిక్తతను తగ్గిస్తుంది మరియు అందువల్ల ఇంటర్‌ఫేస్‌లో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని తగ్గిస్తుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ పరిష్కర్త ఎలా ఉపయోగించాలి

మా కేల్క్యులేటర్ వక్ర ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌లలో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని నిర్ణయించడానికి సులభమైన మార్గాన్ని అందిస్తుంది. ఖచ్చితమైన ఫలితాలను పొందడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

దశల వారీ మార్గదర్శకం

1. ఉపరితల ఉద్రిక్తత ($\gamma$) నమోదు చేయండి:

   • N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత విలువను నమోదు చేయండి
   • డిఫాల్ట్ విలువ 0.072 N/m (25°C వద్ద నీరు)
   • ఇతర ద్రవాల కోసం, ప్రమాణ పట్టికలు లేదా ప్రయోగాత్మక డేటాను చూడండి

2. మొదటి ప్రధాన వక్రత వ్యాసం ($R_1$) నమోదు చేయండి:

   • మీటర్లలో మొదటి వ్యాసాన్ని నమోదు చేయండి
   • గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు, ఇది గోళం యొక్క వ్యాసం అవుతుంది
   • సిలిండ్రికల్ ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు, ఇది సిలిండర్ యొక్క వ్యాసం అవుతుంది

3. రెండవ ప్రధాన వక్రత వ్యాసం ($R_2$) నమోదు చేయండి:

   • మీటర్లలో రెండవ వ్యాసాన్ని నమోదు చేయండి
   • గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు, ఇది $R_1$ కు సమానం అవుతుంది
   • సిలిండ్రికల్ ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు, చాలా పెద్ద విలువ లేదా అనంతాన్ని ఉపయోగించండి

4. ఫలితాన్ని చూడండి:

   • కేల్క్యులేటర్ ఆటోమేటిక్‌గా ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కిస్తుంది
   • ఫలితాలు పాస్కల్స్ (Pa) లో చూపబడతాయి
   • మీ ఇన్‌పుట్‌లను ప్రతిబింబించడానికి విజువలైజేషన్ నవీకరించబడుతుంది

5. ఫలితాలను కాపీ చేయండి లేదా పంచుకోండి:

   • కాపీ ఫలితం బటన్‌ను ఉపయోగించి లెక్కించిన విలువను మీ క్లిప్‌బోర్డుకు కాపీ చేయండి
   • నివేదికలు, పత్రాలు లేదా మరింత లెక్కింపులలో చేర్చడానికి ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది

ఖచ్చితమైన లెక్కింపుల కోసం చిట్కాలు

• సమాన యూనిట్లను ఉపయోగించండి: అన్ని కొలతలు SI యూనిట్లలో ఉండాలని నిర్ధారించండి (N/m కోసం ఉపరితల ఉద్రిక్తత, m కోసం వక్రతలు)
• ఉష్ణోగ్రతను పరిగణనలోకి తీసుకోండి: ఉపరితల ఉద్రిక్తత ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలతో మారుతుంది, కాబట్టి మీ పరిస్థితులకు అనుగుణంగా విలువలను ఉపయోగించండి
• మీ వక్రతలను తనిఖీ చేయండి: కంకవ్ ఉపరితలాలకు రెండవ వక్రత ప్రతికూలంగా ఉండాలి మరియు కవాలీ ఉపరితలాలకు సానుకూలంగా ఉండాలి
• గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు: రెండు వక్రతలను ఒకే విలువగా ఉంచండి
• సిలిండ్రికల్ ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు: ఒక వక్రతను సిలిండర్ యొక్క వ్యాసంగా మరియు మరొకదాన్ని చాలా పెద్ద విలువగా ఉంచండి

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కోసం ఉపయోగాలు

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం అనేక శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ రంగాలలో అనేక అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది:

1. బిందువుల మరియు బబుల్స్ విశ్లేషణ

ఈ సమీకరణం బిందువులు మరియు బబుల్స్ యొక్క ప్రవర్తనను అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రాథమికమైనది. ఇది చిన్న బిందువులు అధిక అంతర్గత ఒత్తిడిని కలిగి ఉంటాయని ఎందుకు వివరిస్తుంది, ఇది క్రింది ప్రక్రియలను నడిపిస్తుంది:

• ఒస్ట్వాల్డ్ రిపెనింగ్: ఒక ఎమల్షన్‌లో చిన్న బిందువులు తగ్గుతాయి, అయితే పెద్దవి పెరుగుతాయి ఒత్తిడి వ్యత్యాసాల కారణంగా
• బబుల్ స్థిరత్వం: ఫోమ్ మరియు బబుల్ వ్యవస్థల స్థిరత్వాన్ని అంచనా వేయడం
• ఇంక్‌జెట్ ముద్రణ: ఖచ్చితమైన ముద్రణలో బిందువుల ఏర్పాటును మరియు ఉంచడాన్ని నియంత్రించడం

2. కేపిలరీ చర్య

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కేపిలరీ రైజ్ లేదా డిప్రెషన్‌ను అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు అంచనా వేయడానికి సహాయపడుతుంది:

• పోరస్ పదార్థాలలో వికింగ్: పునరుత్పత్తి, కాగితం మరియు నేలలో ద్రవ రవాణాను అంచనా వేయడం
• మైక్రోఫ్లూడిక్ పరికరాలు: ఖచ్చితమైన ద్రవ నియంత్రణ కోసం చానల్స్ మరియు జంక్షన్లను రూపొందించడం
• చెట్టు జీవశాస్త్రం: మొక్కల కండరాలలో నీటి రవాణాను అర్థం చేసుకోవడం

3. బయోమెడికల్ అనువర్తనాలు

వైద్య మరియు జీవశాస్త్రంలో, ఈ సమీకరణం:

• పల్మోనరీ సర్ఫాక్టెంట్ ఫంక్షన్: అల్వియోలర్ ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు శ్వాస యాంత్రికతను విశ్లేషించడం
• కోశ మాంద్యం యాంత్రికత: కోశ ఆకారం మరియు వికృతిని అధ్యయనం చేయడం
• మందుల రవాణా వ్యవస్థలు: నియంత్రిత విడుదల కోసం మైక్రోకాప్సుల్స్ మరియు వెసికల్స్ రూపకల్పన

4. పదార్థాల శాస్త్రం

పదార్థాల అభివృద్ధిలో అనువర్తనాలు:

• సంప్రదాయ కోణ కొలతలు: ఉపరితల లక్షణాలు మరియు వెట్టబిలిటీని నిర్ణయించడం
• తక్కువ చిత్రం స్థిరత్వం: ద్రవ చిత్రాలను పగులగొట్టడం మరియు నమూనా ఏర్పాటులో అంచనా వేయడం
• నానోబబుల్ టెక్నాలజీ: ఉపరితలానికి అనుసంధానిత నానోబబుల్స్ కోసం అనువర్తనాలను అభివృద్ధి చేయడం

5. పారిశ్రామిక ప్రక్రియలు

అనేక పారిశ్రామిక అనువర్తనాలు ఇంటర్‌ఫేస్‌లలో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాలను అర్థం చేసుకోవడానికి ఆధారపడి ఉంటాయి:

• ఎన్హాన్స్‌డ్ ఆయిల్ రికవరీ: ఆయిల్ నిష్క్రమణ కోసం సర్ఫాక్టెంట్ ఫార్ములేషన్లను ఆప్టిమైజ్ చేయడం
• ఫోమ్ ఉత్పత్తి: ఫోమ్‌లలో బబుల్ పరిమాణం పంపిణీని నియంత్రించడం
• కోట్ చేయు సాంకేతికతలు: సమాన ద్రవ చిత్రాల ఉంచడాన్ని నిర్ధారించడం

ప్రాక్టికల్ ఉదాహరణ: నీటి బిందువులో లాప్లాస్ ఒత్తిడి లెక్కించడం

20°C వద్ద 1 mm వ్యాసం కలిగిన గోళాకార నీటి బిందువును పరిగణనలోకి తీసుకోండి:

• నీటి ఉపరితల ఉద్రిక్తత: $\gamma = 0.072$ N/m
• వ్యాసం: $R = 0.001$ m
• గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు సరళీకృత సమీకరణను ఉపయోగించడం: $\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$
• $\Delta P = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144$ Pa

ఈ అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా బిందువులో ఒత్తిడి 144 Pa కంటే ఎక్కువగా బయట ఉన్న గాలి ఒత్తిడి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణానికి ప్రత్యామ్నాయాలు

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ప్రాథమికమైనది, కానీ కొన్ని ప్రత్యేక పరిస్థితుల కోసం ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతులు మరియు విస్తరణలు ఉన్నాయి:

1. కెల్విన్ సమీకరణం: ఒక వక్ర ద్రవ ఉపరితలంపై వాయు ఒత్తిడి మరియు సమాన ఉపరితలంపై ఉన్న ఒత్తిడిని సంబంధం కలిగి ఉంది, ఇది కండెన్సేషన్ మరియు ఆవిరీభవనాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

2. గిబ్స్-థామ్సన్ ప్రభావం: కణ పరిమాణం కరిగే సామర్థ్యం, కరిగే పాయింట్ మరియు ఇతర థర్మోడైనమిక్ లక్షణాలను ప్రభావితం చేస్తుంది.

3. హెల్ఫ్రిచ్ మోడల్: జీవ మాంద్యాల వంటి ఇలాస్టిక్ ఉపరితలాలకు విశ్లేషణను విస్తరించి, వక్రత కఠినతను కలిగి ఉంటుంది.

4. సంఖ్యాత్మక సిమ్యులేషన్స్: సంక్లిష్ట ఆకారాల కోసం, వాల్యూమ్ ఆఫ్ ఫ్లూయిడ్ (VOF) లేదా లెవల్ సెట్స్ పద్ధతుల వంటి కంప్యూటేషనల్ పద్ధతులు విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాలకు కంటే అనుకూలంగా ఉంటాయి.

5. మొలిక్యులర్ డైనామిక్స్: చాలా చిన్న స్థాయిల (నానోమీటర్లు) వద్ద, నిరంతర అంచనాలు విరుగుడుతాయి, మరియు మొలిక్యులర్ డైనామిక్స్ సిమ్యులేషన్స్ మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాలను అందిస్తాయి.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ చరిత్ర

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపరితల పరిణామాలు మరియు కేపిలారిటీ యొక్క అర్థం చేసుకోవడంలో ముఖ్యమైన మైలురాయిగా ఉంది.

ప్రారంభ పరిశీలనల మరియు సిద్ధాంతాలు

కేపిలరీ చర్యపై అధ్యయనం పురాతన కాలం నుండి ప్రారంభమైంది, కానీ వ్యవస్థీకృత శాస్త్రీయ పరిశోధన పునరుత్పత్తి కాలంలో ప్రారంభమైంది:

• లియోనార్డో దా విన్చి (15వ శతాబ్దం): కేపిలరీ రైజ్ గురించి సమగ్ర పరిశీలనలు నిర్వహించారు
• ఫ్రాన్సిస్ హాక్స్‌బీ (18వ శతాబ్దం ప్రారంభం): కేపిలరీ రైజ్‌పై పరిమాణాత్మక ప్రయోగాలు నిర్వహించారు
• జేమ్స్ జ్యూరిన్ (1718): కేపిలరీ రైజ్ ఎత్తును ట్యూబ్ వ్యాసానికి సంబంధం కలిగి ఉన్న "జ్యూరిన్ యొక్క చట్టం"ను రూపొందించారు

సమీకరణ అభివృద్ధి

ఈ సమీకరణం మనకు తెలిసిన విధంగా రెండు శాస్త్రవేత్తలు స్వతంత్రంగా పనిచేసి అభివృద్ధి చేశారు:

• థామస్ యంగ్ (1805): "ద్రవాల సమీకరణంపై వ్యాసం"ని రాయడం ద్వారా ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు వక్రతల మధ్య సంబంధాన్ని పరిచయం చేశారు.

• పియేర్-సిమోన్ లాప్లాస్ (1806): తన ప్రాముఖ్యమైన రచన "మెకానిక్ సెలెస్టే"లో కేపిలరీ చర్యపై గణితమైన మౌలిక నిర్మాణాన్ని అభివృద్ధి చేసి, వక్రతకు సంబంధించి ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని సంబంధం కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని పొందారు.

యంగ్ యొక్క శారీరక అవగాహన మరియు లాప్లాస్ యొక్క గణిత శాస్త్రం కాంబినేషన్ యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణానికి దారితీసింది.

సవరించిన మరియు విస్తరించిన

తరువాతి శతాబ్దాలలో, ఈ సమీకరణం సవరించబడింది మరియు విస్తరించబడింది:

• కార్ల్ ఫ్రిడ్రిచ్ గౌస్ (1830): కేపిలారిటీకి వేరియేషనల్ పద్ధతిని అందించి, ద్రవ ఉపరితలాలు మొత్తం శక్తిని తగ్గించడానికి ఆకారాలను స్వీకరించాయని చూపించారు
• జోసెఫ్ ప్లేటో (19వ శతాబ్దం మధ్య): సోప్ చిత్రాలపై విస్తృత ప్రయోగాలు నిర్వహించి, యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం యొక్క అంచనాలను నిర్ధారించారు
• లార్డ్ రాయ్లీ (19వ శతాబ్దం చివర): ద్రవ జెట్‌ల స్థిరత్వాన్ని మరియు బిందువుల ఏర్పాటును అధ్యయనం చేయడానికి ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించారు
• ఆధునిక యుగం (20-21 శతాబ్దాలు): సంక్లిష్ట ఆకారాలకు సమీకరణం పరిష్కరించడానికి కంప్యూటేషనల్ పద్ధతుల అభివృద్ధి మరియు అదనపు ప్రభావాలను కలిగి ఉండటం

ఈరోజు, యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఇంటర్‌ఫేసియల్ శాస్త్రానికి ఒక మూలాధారం గా ఉంది, సాంకేతికత మైక్రో మరియు నానో స్థాయిలలో అభివృద్ధి చెందుతున్న కొద్దీ కొత్త అనువర్తనాలను కనుగొంటుంది.

కోడ్ ఉదాహరణలు

ఇక్కడ వివిధ ప్రోగ్రామింగ్ భాషలలో యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం యొక్క అమలు ఉన్నాయి:

1' యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కోసం ఎక్సెల్ ఫార్ములా (గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్)
2=2*B2/C2
3
4' ఇక్కడ:
5' B2 లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత N/m లో ఉంది
6' C2 లో వ్యాసం m లో ఉంది
7' ఫలితం Pa లో ఉంటుంది
8
9' రెండు ప్రధాన వక్రతలతో సాధారణ కేసు కోసం:
10=B2*(1/C2+1/D2)
11
12' ఇక్కడ:
13' B2 లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత N/m లో ఉంది
14' C2 లో మొదటి వ్యాసం m లో ఉంది
15' D2 లో రెండవ వ్యాసం m లో ఉంది
16

1def young_laplace_pressure(surface_tension, radius1, radius2):
2    """
3    యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి.
4    
5    ప్యారామీటర్లు:
6    ఉపరితల ఉద్రిక్తత (float): N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
7    radius1 (float): m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
8    radius2 (float): m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
9    
10    ఫలితం:
11    float: Pa లో ఒత్తిడి వ్యత్యాసం
12    """
13    if radius1 == 0 or radius2 == 0:
14        raise ValueError("వక్రతలు సున్నా కాకూడదు")
15    
16    return surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2)
17
18# 1 mm వ్యాసం గల గోళాకార నీటి బిందువుకు ఉదాహరణ
19surface_tension_water = 0.072  # N/m 20°C వద్ద
20droplet_radius = 0.001  # మీటర్లలో 1 mm
21
22# గోళాకారానికి, రెండు వక్రతలు సమానంగా ఉంటాయి
23pressure_diff = young_laplace_pressure(surface_tension_water, droplet_radius, droplet_radius)
24print(f"ఒత్తిడి వ్యత్యాసం: {pressure_diff:.2f} Pa")
25

1/**
2 * యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి
3 * @param {number} surfaceTension - N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
4 * @param {number} radius1 - m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
5 * @param {number} radius2 - m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
6 * @returns {number} Pa లో ఒత్తిడి వ్యత్యాసం
7 */
8function youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2) {
9  if (radius1 === 0 || radius2 === 0) {
10    throw new Error("వక్రతలు సున్నా కాకూడదు");
11  }
12  
13  return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
14}
15
16// నీటి-వాయువు ఇంటర్‌ఫేస్ కోసం ఉదాహరణ
17const surfaceTensionWater = 0.072; // 20°C వద్ద N/m
18const tubeRadius = 0.0005; // 0.5 mm లో మీటర్లలో
19// సిలిండ్రికల్ ఉపరితలానికి, ఒక వక్రత సిలిండర్ వ్యాసం, మరొకది అనంతం
20const infiniteRadius = Number.MAX_VALUE;
21
22const pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionWater, tubeRadius, infiniteRadius);
23console.log(`ఒత్తిడి వ్యత్యాసం: ${pressureDiff.toFixed(2)} Pa`);
24

1public class YoungLaplaceCalculator {
2    /**
3     * యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి
4     * 
5     * @param surfaceTension N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
6     * @param radius1 m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
7     * @param radius2 m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
8     * @return Pa లో ఒత్తడి వ్యత్యాసం
9     */
10    public static double calculatePressureDifference(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
11        if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
12            throw new IllegalArgumentException("వక్రతలు సున్నా కాకూడదు");
13        }
14        
15        return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
16    }
17    
18    public static void main(String[] args) {
19        // సోప్ బబుల్ కోసం ఉదాహరణ
20        double surfaceTensionSoap = 0.025; // N/m
21        double bubbleRadius = 0.01; // 1 cm లో మీటర్లలో
22        
23        // గోళాకార బబుల్ కోసం, రెండు వక్రతలు సమానంగా ఉంటాయి
24        // గమనించండి: సోప్ బబుల్ కోసం, రెండు ఇంటర్‌ఫేస్‌లు (లోపలి మరియు బాహ్య) ఉన్నాయి,
25        // కాబట్టి మేము 2 తో గుణిస్తాము
26        double pressureDiff = 2 * calculatePressureDifference(surfaceTensionSoap, bubbleRadius, bubbleRadius);
27        
28        System.out.printf("సోప్ బబుల్ వ్యాసం ద్వారా ఒత్తిడి వ్యత్యాసం: %.2f Pa%n", pressureDiff);
29    }
30}
31

1function deltaP = youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2)
2    % యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి
3    %
4    % ఇన్‌పుట్‌లు:
5    %   surfaceTension - N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
6    %   radius1 - m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
7    %   radius2 - m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
8    %
9    % అవుట్‌పుట్:
10    %   deltaP - Pa లో ఒత్తడి వ్యత్యాసం
11    
12    if radius1 == 0 || radius2 == 0
13        error('వక్రతలు సున్నా కాకూడదు');
14    end
15    
16    deltaP = surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
17end
18
19% వివిధ ద్రవాల కోసం ఒకే 1 mm వ్యాసం గల బిందువుల కోసం ఒత్తిడి లెక్కించడం మరియు చిత్రీకరించడం
20surfaceTension = 0.072; % 20°C వద్ద N/m
21radii = logspace(-6, -2, 100); % 1 µm నుండి 1 cm వరకు వ్యాసాలు
22pressures = zeros(size(radii));
23
24for i = 1:length(radii)
25    % గోళాకార బిందువుల కోసం, రెండు ప్రధాన వక్రతలు సమానంగా ఉంటాయి
26    pressures(i) = youngLaplacePressure(surfaceTension, radii(i), radii(i));
27end
28
29% లాగ్-లాగ్ ప్లాట్ సృష్టించండి
30loglog(radii, pressures, 'LineWidth', 2);
31grid on;
32xlabel('బిందువు వ్యాసం (m)');
33ylabel('ఒత్తిడి వ్యత్యాసం (Pa)');
34title('నీటి బిందువుల కోసం యంగ్-లాప్లాస్ ఒత్తిడి మరియు బిందువు పరిమాణం');
35

1#include <iostream>
2#include <stdexcept>
3#include <cmath>
4#include <iomanip>
5
6/**
7 * యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి
8 * 
9 * @param surfaceTension N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
10 * @param radius1 m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
11 * @param radius2 m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
12 * @return Pa లో ఒత్తడి వ్యత్యాసం
13 */
14double youngLaplacePressure(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
15    if (radius1 == 0.0 || radius2 == 0.0) {
16        throw std::invalid_argument("వక్రతలు సున్నా కాకూడదు");
17    }
18    
19    return surfaceTension * (1.0/radius1 + 1.0/radius2);
20}
21
22int main() {
23    try {
24        // పామీ బిందువుకు ఉదాహరణ
25        double surfaceTensionMercury = 0.485; // 20°C వద్ద N/m
26        double dropletRadius = 0.002; // 2 mm లో మీటర్లలో
27        
28        // గోళాకార బిందువుకు, రెండు వక్రతలు సమానంగా ఉంటాయి
29        double pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, dropletRadius, dropletRadius);
30        
31        std::cout << "పామీ బిందువులో ఒత్తిడి వ్యత్యాసం: " 
32                  << std::fixed << std::setprecision(2) << pressureDiff 
33                  << " Pa" << std::endl;
34                  
35        // సిలిండ్రికల్ ఇంటర్‌ఫేస్ (కేపిలరీ ట్యూబ్‌లో) ఉదాహరణ
36        double tubeRadius = 0.0001; // 0.1 mm
37        double infiniteRadius = std::numeric_limits<double>::max();
38        
39        double capillaryPressure = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, tubeRadius, infiniteRadius);
40        
41        std::cout << "పామీ కేపిలరీలో ఒత్తిడి వ్యత్యాసం: " 
42                  << std::fixed << std::setprecision(2) << capillaryPressure 
43                  << " Pa" << std::endl;
44    }
45    catch (const std::exception& e) {
46        std::cerr << "లోపం: " << e.what() << std::endl;
47        return 1;
48    }
49    
50    return 0;
51}
52

1#' యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి
2#'
3#' @param surface_tension N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
4#' @param radius1 m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
5#' @param radius2 m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత వ్యాసం
6#' @return Pa లో ఒత్తడి వ్యత్యాసం
7#' @examples
8#' young_laplace_pressure(0.072, 0.001, 0.001)
9young_laplace_pressure <- function(surface_tension, radius1, radius2) {
10  if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
11    stop("వక్రతలు సున్నా కాకూడదు")
12  }
13  
14  return(surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2))
15}
16
17# వివిధ ద్రవాల కోసం ఒకే 1 mm వ్యాసం గల బిందువుల ఒత్తిడి పోల్చడం
18liquids <- data.frame(
19  name = c("నీరు", "ఎథనాల్", "పామీ", "బెంజీన్", "రక్త ప్లాస్మా"),
20  surface_tension = c(0.072, 0.022, 0.485, 0.029, 0.058)
21)
22
23# 1 mm వ్యాసం గల గోళాకార బిందువుకు ఒత్తిడి లెక్కించడం
24droplet_radius <- 0.001 # m
25liquids$pressure <- sapply(liquids$surface_tension, function(st) {
26  young_laplace_pressure(st, droplet_radius, droplet_radius)
27})
28
29# బార్ ప్లాట్ సృష్టించండి
30barplot(liquids$pressure, names.arg = liquids$name, 
31        ylab = "ఒత్తిడి వ్యత్యాసం (Pa)",
32        main = "1 mm వ్యాసం గల వివిధ ద్రవాల బిందువుల కోసం లాప్లాస్ ఒత్తిడి",
33        col = "lightblue")
34
35# ఫలితాలను ముద్రించండి
36print(liquids[, c("name", "surface_tension", "pressure")])
37

తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలు

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఎందుకు ఉపయోగిస్తారు?

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపరితల ఉద్రిక్తత వల్ల వక్ర ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌లో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది కేపిలరీ చర్య, బిందువుల ఏర్పాట్లు, బబుల్ స్థిరత్వం మరియు వివిధ మైక్రోఫ్లూడిక్ అనువర్తనాలను అర్థం చేసుకోవడానికి ముఖ్యమైనది. ఈ సమీకరణం ఇంజనీర్లు మరియు శాస్త్రవేత్తలు ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌లను కలిగి ఉన్న వ్యవస్థలను రూపొందించడానికి మరియు అవి వివిధ పరిస్థితులలో ఎలా ప్రవర్తిస్తాయో అంచనా వేయడంలో సహాయపడుతుంది.

చిన్న బిందువులలో ఒత్తిడి ఎందుకు ఎక్కువగా ఉంటుంది?

చిన్న బిందువులు అధిక అంతర్గత ఒత్తిడిని కలిగి ఉంటాయి, ఎందుకంటే వాటి వక్రత ఎక్కువగా ఉంటుంది. యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ప్రకారం, ఒత్తిడి వ్యత్యాసం వక్రత యొక్క వ్యాసానికి వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది. వ్యాసం తగ్గినప్పుడు, వక్రత (1/R) పెరుగుతుంది, ఇది అధిక ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇది చిన్న నీటి బిందువులు పెద్దవి కంటే వేగంగా ఆవిరీభవిస్తాయని వివరిస్తుంది మరియు ఫోమ్‌లో చిన్న బబుల్స్ తగ్గి పెద్దవి పెరుగుతాయి.

ఉష్ణోగ్రత యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది?

ఉష్ణోగ్రత ప్రధానంగా ఉపరితల ఉద్రిక్తతపై ప్రభావం చూపిస్తుంది. చాలా ద్రవాల కోసం, ఉపరితల ఉద్రిక్తత ఉష్ణోగ్రత పెరిగే కొద్దీ సుమారు రేఖీయంగా తగ్గుతుంది. ఇది వక్రత ఉంచినప్పుడు ఒత్తిడి వ్యత్యాసం కూడా తగ్గుతుంది. క్రిటికల్ పాయింట్ సమీపంలో, ఉపరితల ఉద్రిక్తత సున్నా దగ్గరగా వస్తుంది, మరియు యంగ్-లాప్లాస్ ప్రభావం విరుగుడుతుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం గోళాకార ఉపరితలాలకు మాత్రమే వర్తించనా?

లేదు, యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం వక్ర ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు మాత్రమే కాదు, అన్ని వక్ర ఉపరితలాలకు వర్తిస్తుంది. ఈ సమీకరణం రెండు ప్రధాన వక్రతలను ఉపయోగిస్తుంది, ఇవి గోళాకార ఉపరితలాలకు సమానంగా ఉండవచ్చు. సంక్లిష్ట ఆకారాల కోసం, ఈ వక్రతలు ఉపరితలంపై పాయింట్ నుండి పాయింట్ వరకు మారవచ్చు, ఇది మరింత కఠినమైన గణితీయ చికిత్స లేదా సంఖ్యాత్మక పద్ధతులను అవసరం చేస్తుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం మరియు కేపిలరీ రైజ్ మధ్య సంబంధం ఏమిటి?

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కేపిలరీ రైజ్‌ను నేరుగా వివరిస్తుంది. ఒక నారROW ట్యూబ్‌లో, వక్రమైన మెనిస్కస్ ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని సృష్టిస్తుంది. ఈ ఒత్తిడి వ్యత్యాసం గ్రావిటీకి వ్యతిరేకంగా ద్రవాన్ని పైకి నడిపిస్తుంది. కేపిలరీ రైజ్ ఎత్తు యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ద్వారా సృష్టించబడిన ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని హైడ్రోస్టాటిక్ ఒత్తిడి (ρgh) కు సమానంగా ఉంచడం ద్వారా పొందవచ్చు, ఇది h = 2γcosθ/(ρgr) అనే ప్రసిద్ధ ఫార్ములాను అందిస్తుంది.

చాలా చిన్న స్థాయిల వద్ద యంగ్-లాప్స్ సమీకరణం ఎంత ఖచ్చితంగా ఉంటుంది?

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం సాధారణంగా సూక్ష్మ స్థాయిల (మైక్రోమీటర్లు) వరకు ఖచ్చితమైనది, కానీ నానోస్థాయిల వద్ద అదనపు ప్రభావాలు ముఖ్యమైనవి అవుతాయి. ఇవి మూడు దశల సంప్రదాయ వక్రత వద్ద లైన్ టెన్షన్, పొడవు ఒత్తిడి (సన్నని చిత్రాలలో) మరియు అణు పరస్పర చర్యలను కలిగి ఉంటాయి. ఈ స్థాయిల వద్ద, నిరంతర అంచనాలు విరుగుడుతాయి మరియు క్లాసికల్ యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం సవరించాల్సి ఉంటుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం మరియు యంగ్ సమీకరణం మధ్య తేడా ఏమిటి?

యంగ్-లాప్లాస్ మరియు యంగ్ సమీకరణాలు ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌ల యొక్క వివిధ అంశాలను వివరిస్తాయి. యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని ఉపరితల వక్రత మరియు ఉద్రిక్తతకు సంబంధిస్తుంది. యంగ్ సమీకరణం (ఎప్పుడు యంగ్ సంబంధం అని పిలవబడుతుంది) ఒక ద్రవ-వాయువు ఇంటర్‌ఫేస్ ఒక ఘన ఉపరితలాన్ని కలిసినప్పుడు ఏర్పడే సంప్రదాయ కోణాన్ని వివరిస్తుంది, ఇది మూడు దశల మధ్య (ఘన-వాయువు, ఘన-ద్రవ మరియు ద్రవ-వాయువు) మధ్య ఉన్న ఇంటర్‌ఫేసియల్ ఉద్రిక్తతలను సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. రెండు సమీకరణాలు థామస్ యంగ్ ద్వారా అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి మరియు ఇంటర్‌ఫేసియల్ పరిణామాలను అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రాథమికమైనవి.

సర్ఫాక్టెంట్లు యంగ్-లాప్లాస్ ఒత్తిడిని ఎలా ప్రభావితం చేస్తాయి?

సర్ఫాక్టెంట్లు ఉపరితల ఉద్రిక్తతను తగ్గిస్తాయి, ఇది ఇంటర్‌ఫేస్‌లో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాన్ని నేరుగా తగ్గిస్తుంది. అదనంగా, సర్ఫాక్టెంట్లు అసమానంగా పంపిణీచేస్తే ఉపరితల ఉద్రిక్తత గ్రాడియెంట్లను (మారాంగోని ప్రభావాలు) సృష్టిస్తాయి, ఇది స్థిరమైన ప్రవాహాలను మరియు డైనమిక్ ప్రవర్తనను కలిగిస్తుంది, ఇది స్థిరమైన యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ద్వారా పట్టించుకోబడదు. ఇది ఫోమ్‌లు మరియు ఎమల్షన్లను స్థిరంగా ఉంచడానికి సర్ఫాక్టెంట్లు ఎందుకు ముఖ్యమైనవో వివరిస్తుంది - అవి కవాలీ అనుసంధానాలను తగ్గిస్తాయి.

పెండెంట్ డ్రాప్ యొక్క ఆకారాన్ని యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం అంచనా వేయగలనా?

అవును, యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం మరియు గ్రావిటీ ప్రభావాలు కలిపి పెండెంట్ డ్రాప్ యొక్క ఆకారాన్ని అంచనా వేయగలవు. ఇలాంటి సందర్భాలలో, సమీకరణ సాధారణంగా సగటు వక్రతను ఉపయోగించి రాసి, సంఖ్యాత్మకంగా పరిష్కరించబడుతుంది. ఇది ఉపరితల ఉద్రిక్తతను కొలిచే పెండెంట్ డ్రాప్ పద్ధతికి ఆధారం, అక్కడ గమనించిన బిందువు ఆకారం యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ద్వారా లెక్కించిన సిద్దాంతిక ప్రొఫైల్‌లతో సరిపోల్చబడుతుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కోసం మీరు ఉపయోగించే యూనిట్లు ఏమిటి?

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కోసం సమానమైన ఫలితాలను పొందడానికి SI యూనిట్లను ఉపయోగించండి:

• ఉపరితల ఉద్రిక్తత (γ): న్యూటన్‌లలో (N/m)
• వక్రతల వ్యాసాలు (R₁, R₂): మీటర్లలో (m)
• ఫలిత ఒత్తిడి వ్యత్యాసం (ΔP): పాస్కల్స్ (Pa)

మీరు ఇతర యూనిట్ వ్యవస్థలను ఉపయోగిస్తున్నట్లయితే, సమానత్వాన్ని నిర్ధారించండి. ఉదాహరణకు, CGS యూనిట్లలో, ఉపరితల ఉద్రిక్తత కోసం డైన్/సెం, వక్రతల కోసం సెం మరియు ఒత్తిడికి డైన్/సెం² ఉపయోగించండి.

సూచనలు

1. డి గెన్స్, పి.జి., బ్రోచార్డ్-వాయర్ట్, ఎఫ్., & క్వెరే, డి. (2004). కేపిలారిటీ మరియు వెట్టింగ్ ఫెనోమినా: డ్రాప్‌లు, బబుల్స్, పెర్ల్స్, వేవ్స్. స్ప్రింగర్.

2. అడమ్సన్, ఎ.వె., & గ్యాస్ట్, ఎ.పీ. (1997). ఫిజికల్ కెమిస్ట్రి ఆఫ్ సర్ఫేసెస్ (6వ ఎడిషన్). వైలీ-ఇంటర్సైన్స్.

3. ఇజ్రాయెలాచ్విలి, జే.ఎన్. (2011). ఇంటర్మోలిక్యులర్ మరియు ఉపరితల బలాలు (3వ ఎడిషన్). అకాడమిక్ ప్రెస్.

4. రోల్‌విన్సన్, జే.ఎస్., & విడమ్, బి. (2002). మాలిక్యులర్ థియరీ ఆఫ్ కేపిలారిటీ. డోవర్ ప్రచురణలు.

5. యంగ్, టి. (1805). "ద్రవాల సమీకరణంపై వ్యాసం". ఫిలాసోఫికల్ ట్రాన్సాక్షన్స్ ఆఫ్ ది రాయల్ సొసైటీ ఆఫ్ లండన్, 95, 65-87.

6. లాప్లాస్, పి.ఎస్. (1806). త్రైటే డి మెకానిక్ సెలెస్టే, పుస్తకం 10 కు అనుబంధం.

7. డెఫాయ్, ఆర్., & ప్రిగొగిన్, ఐ. (1966). సర్ఫేస్ ఫోర్సెస్. లాంగ్‌మన్స్.

8. ఫిన్, ఆర్. (1986). ఇక్విలిబ్రియం కేపిలరీ సర్ఫేసెస్. స్ప్రింగర్-వర్లాగ్.

9. డెర్జాగిన్, బి.వి., చురావ్, ఎన్.వి., & ముల్లర్, వి.ఎం. (1987). సర్ఫేస్ ఫోర్సెస్. కన్సల్టెంట్స్ బ్యూరో.

10. లాట్రప్, బి. (2011). ఫిజిక్స్ ఆఫ్ కంటిన్యూయస్ మేటర్: ఎక్జాటిక్ మరియు ఎవర్డే ఫెనోమినా ఇన్ ది మాక్రోస్కోపిక్ వరల్డ్ (2వ ఎడిషన్). CRC ప్రెస్.

వక్ర ఇంటర్‌ఫేస్‌లలో ఒత్తిడి వ్యత్యాసాలను లెక్కించడానికి సిద్ధమా? ఇప్పుడు మా యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ పరిష్కర్తను ప్రయత్నించండి మరియు ఉపరితల ఉద్రిక్తత పరిణామాలను అర్థం చేసుకోండి. మరింత ద్రవ యాంత్రికత సాధనాలు మరియు కేల్క్యులేటర్ల కోసం, మా ఇతర వనరులను అన్వేషించండి.