వాడుకదారు అందించిన ఆకారం మరియు స్కేల్ పారామీటర్ల ఆధారంగా గమ్మా పంపిణీని లెక్కించండి మరియు దృశ్యీకరించండి. గణాంక విశ్లేషణ, సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు వివిధ శాస్త్రీయ అనువర్తనాలకు అవసరం.
గమ్మా పంపిణీ అనేది నిరంతర ప్రాబబిలిటీ పంపిణీ, ఇది వివిధ శాస్త్ర, ఇంజనీరింగ్ మరియు ఆర్థిక రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది రెండు పరామితుల ద్వారా లక్షణీకరించబడుతుంది: ఆకార పరామితి (k లేదా α) మరియు స్కేల్ పరామితి (θ లేదా β). ఈ గణనాకారుడు ఈ ఇన్‌పుట్ పరామితుల ఆధారంగా గమ్మా పంపిణీ యొక్క వివిధ లక్షణాలను గణించడానికి మీకు అనుమతిస్తుంది.
గమ్మా పంపిణీ యొక్క ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ ఫంక్షన్ (PDF) ఈ క్రింది విధంగా ఉంది:
అక్కడ:
సంకలిత పంపిణీ ఫంక్షన్ (CDF) ఈ విధంగా ఉంది:
అక్కడ γ(k, x/θ) అనేది తక్కువ అసంపూర్తి గమ్మా ఫంక్షన్.
గమ్మా పంపిణీ యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలు:
ఈ గణనాకారుడు పై పేర్కొన్న ఫార్ములాలను ఉపయోగించి గమ్మా పంపిణీ యొక్క వివిధ లక్షణాలను గణించడానికి ఉపయోగిస్తుంది. ఇక్కడ ఒక దశల వారీ వివరణ ఉంది:
గమ్మా పంపిణీ గణనలను అమలు చేయేటప్పుడు, కొన్ని సంఖ్యాత్మక పరిగణనలు తీసుకోవాలి:
గమ్మా పంపిణీ వివిధ రంగాలలో అనేక అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది:
గమ్మా పంపిణీ అనేక విధాలుగా ఉపయోగకరమైనప్పటికీ, కొన్ని సందర్భాలలో మరింత అనుకూలమైన సంబంధిత పంపిణీలు ఉంటాయి:
వాస్తవ ప్రపంచ డేటాతో పని చేస్తున్నప్పుడు, గమ్మా పంపిణీ యొక్క పరామితులను అంచనా వేయడం తరచుగా అవసరం. సాధారణ పద్ధతులు:
గమ్మా పంపిణీ వివిధ హిపోథిసిస్ టెస్టుల్లో ఉపయోగించబడవచ్చు, అందులో:
గమ్మా పంపిణీ గణిత మరియు గణాంకాలలో సమృద్ధమైన చరిత్రను కలిగి ఉంది:
గమ్మా పంపిణీ యొక్క లక్షణాలను గణించడానికి కొన్ని కోడ్ ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:
1' Excel VBA ఫంక్షన్ గమ్మా పంపిణీ PDF కోసం
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3 If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4 GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5 Else
6 GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7 End If
8End Function
9' ఉపయోగం:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
111import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6 x = np.linspace(0, 20, 1000)
7 y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8
9 plt.figure(figsize=(10, 6))
10 plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11 plt.title(f'గమ్మా పంపిణీ (k={k}, θ={theta})')
12 plt.xlabel('x')
13 plt.ylabel('ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ')
14 plt.legend()
15 plt.grid(True)
16 plt.show()
17
18## ఉదాహరణ ఉపయోగం:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## లక్షణాలను గణించండి
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"సగటు: {mean}")
29print(f"చలనశీలత: {variance}")
30print(f"వక్రత: {skewness}")
31print(f"కర్టోసిస్: {kurtosis}")
321function gammaFunction(n) {
2 if (n === 1) return 1;
3 if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4 return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8 if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9 return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13 const mean = k * theta;
14 const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15 const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16 const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18 console.log(`సగటు: ${mean}`);
19 console.log(`చలనశీలత: ${variance}`);
20 console.log(`వక్రత: ${skewness}`);
21 console.log(`కర్టోసిస్: ${kurtosis}`);
22}
23
24// ఉదాహరణ ఉపయోగం:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDFని ప్లాట్ చేయండి (ఒక హైపోథిటికల్ ప్లాటింగ్ లైబ్రరీని ఉపయోగించడం)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32ఈ ఉదాహరణలు గమ్మా పంపిణీ యొక్క లక్షణాలను గణించడానికి మరియు వివిధ ప్రోగ్రామింగ్ భాషలను ఉపయోగించి దాని ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ ఫంక్షన్‌ను దృశ్యీకరించడానికి ఎలా చేయాలో చూపిస్తాయి. మీరు ఈ ఫంక్షన్‌లను మీ ప్రత్యేక అవసరాలకు అనుగుణంగా అనుకూలీకరించవచ్చు లేదా వాటిని పెద్ద గణాంక విశ్లేషణ వ్యవస్థలలో సమీకరించవచ్చు.
మీ వర్క్‌ఫ్లో కోసం ఉపయోగపడవచ్చే ఇతర సాధనాలను కనుగొనండి