Máy tính Mặt Cắt Nón - Hình Tròn, Ellipse, Parabol

Máy tính thiết diện conic là gì?

Máy tính thiết diện conic xác định độ lệch tâm và phương trình chính tắc của đường tròn, elip, parabol hoặc hyperbol từ một vài số đo. Bốn đường cong này xuất hiện khi một mặt phẳng cắt qua hình nón ở các góc khác nhau.

Bốn thiết diện conic

Cắt ngang thẳng qua hình nón tạo ra một đường tròn. Nghiêng mặt phẳng cắt tạo ra một elip. Cắt song song với đường sinh của hình nón tạo ra một parabol. Cắt qua cả hai nửa của hình nón kép tạo ra một hyperbol.

Mỗi đường cong có một độ lệch tâm, là một số cho biết nó khác đường tròn hoàn hảo đến mức nào.

• Đường tròn: $e = 0$
• Elip: $0 < e < 1$
• Parabol: $e = 1$
• Hyperbol: $e > 1$

Cách sử dụng công cụ tính này

1. Chọn loại thiết diện conic: đường tròn, elip, parabol hoặc hyperbol.
2. Nhập các số đo cần thiết.
   • Đường tròn: bán kính ($r$)
   • Elip: bán trục lớn ($a$) và bán trục nhỏ ($b$)
   • Parabol: tiêu cự ($f$)
   • Hyperbol: bán trục thực ($a$) và bán trục ảo ($b$)
3. Độ lệch tâm và phương trình chính tắc tự động xuất hiện ngay khi nhập các giá trị dương hợp lệ cho loại thiết diện conic đã chọn; không có nút Calculate để nhấp vào.
4. Đồ thị của đường cong được vẽ bên dưới các kết quả.

Máy tính hiển thị phương trình với các số đã nhập được thay trực tiếp vào, vì vậy một elip có $a = 5$ và $b = 3$ được hiển thị là $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Đây là cùng phương trình với $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Độ lệch tâm được hiển thị với bốn chữ số thập phân.

Tất cả các giá trị nhập vào phải là số dương. Đối với elip, bán trục lớn phải dài ít nhất bằng bán trục nhỏ, vì bán trục lớn được định nghĩa là trục dài hơn. Hyperbol không có quy tắc như vậy: bán trục thực và bán trục ảo có thể là bất kỳ độ dài dương nào, kể cả bằng nhau.

Công thức đường tròn

Với đường tròn bán kính $r$ có tâm tại gốc tọa độ:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Độ lệch tâm: $e = 0$.

Đường tròn là một trường hợp đặc biệt của elip, trong đó hai trục có độ dài bằng nhau và cả hai tiêu điểm đều nằm tại tâm.

Công thức elip

Với elip có tâm tại gốc tọa độ, bán trục lớn $a$ và bán trục nhỏ $b$, trong đó $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Ví dụ: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Phương trình: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Khi $a = b$, elip trở thành đường tròn và $e = 0$.

Công thức parabol

Với parabol mở sang phải, có tiêu cự $f$ (khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm):

$$y^2 = 4fx$$

Độ lệch tâm: $e = 1$, luôn luôn.

Ví dụ: $f = 2$. Phương trình: $y^2 = 8x$.

Công thức hyperbol

Với hyperbol có tâm tại gốc tọa độ, bán trục thực $a$ và bán trục ảo $b$, trong đó $a$ và $b$ là các số dương bất kỳ:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Bán trục thực $a$ là một nửa khoảng cách giữa hai đỉnh, tức các điểm mà tại đó đường cong đổi hướng. Bán trục ảo $b$ là một nửa độ dài của trục ảo, là đoạn thẳng được vẽ vuông góc với trục thực qua tâm. Nó quyết định tốc độ các nhánh mở ra.

Không giống elip, hyperbol không yêu cầu $a$ lớn hơn $b$. Hai độ dài này độc lập, vì vậy $b$ có thể nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn $a$. Khi $a = b$, đường cong được gọi là hyperbol vuông, với độ lệch tâm $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Ví dụ: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Phương trình: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Ứng dụng thực tế của các thiết diện conic

Các hành tinh và sao chổi chuyển động theo những quỹ đạo có dạng thiết diện conic. Định luật thứ nhất của Kepler phát biểu rằng quỹ đạo của một hành tinh là một elip, trong đó Mặt Trời nằm tại một tiêu điểm. Một số sao chổi đi theo quỹ đạo parabol hoặc hyperbol và không bao giờ quay trở lại.

Parabol hội tụ các tia song song vào một điểm duy nhất, nên các kỹ sư sử dụng hình dạng parabol trong chảo vệ tinh, gương kính thiên văn và đèn pha ô tô. Các đường cong hyperbol xuất hiện trong thành tháp giải nhiệt, nơi hình dạng này tạo độ bền mà sử dụng ít vật liệu hơn. Elip được sử dụng trong mái vòm, trần phòng thì thầm và thiết kế bánh răng.

Lược sử ngắn về các thiết diện conic

Nhà toán học Hy Lạp Menaechmus nghiên cứu các thiết diện conic vào khoảng 350 TCN trong khi cố gắng giải bài toán nhân đôi hình lập phương. Apollonius xứ Perga đã viết một chuyên luận chi tiết có tên Conics vào khoảng 200 TCN. Ông đặt tên cho elip, parabol và hyperbol, đồng thời mô tả các tính chất của chúng. Nhiều thế kỷ sau, Johannes Kepler sử dụng elip để mô tả chuyển động của các hành tinh, còn Isaac Newton sử dụng các thiết diện conic để giải thích lực hấp dẫn.

Các câu hỏi thường gặp

Bốn loại thiết diện conic là gì?

Đường tròn, elip, parabol và hyperbol. Mỗi loại hình thành khi một mặt phẳng cắt qua hình nón ở một góc khác nhau, và mỗi loại có một khoảng độ lệch tâm khác nhau.

Tính độ lệch tâm như thế nào?

Độ lệch tâm cố định đối với đường tròn ($e = 0$) và parabol ($e = 1$). Đối với elip, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, sử dụng bán trục lớn $a$ và bán trục nhỏ $b$. Đối với hyperbol, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, sử dụng bán trục thực $a$ và bán trục ảo $b$.

Bán trục thực của hyperbol có phải dài hơn bán trục ảo không?

Không. Không giống bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip, bán trục thực ($a$) và bán trục ảo ($b$) của hyperbol là các số đo độc lập. Cả hai đều phải dương, nhưng bên nào cũng có thể dài hơn.

Elip có thể trở thành đường tròn không?

Có. Khi bán trục lớn bằng bán trục nhỏ, elip là một đường tròn và độ lệch tâm của nó là 0.

Vì sao chảo vệ tinh sử dụng hình dạng parabol?

Parabol phản xạ các tia truyền song song với trục của nó vào một tiêu điểm duy nhất. Chảo vệ tinh và gương kính thiên văn sử dụng tính chất này để tập trung tín hiệu hoặc ánh sáng vào một điểm.

Hyperbol vuông là gì?

Hyperbol vuông là hyperbol có bán trục thực bằng bán trục ảo ($a = b$). Các đường tiệm cận của nó vuông góc với nhau, và độ lệch tâm là $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Tài liệu tham khảo

1. Thiết diện conic - Wikipedia
2. Độ lệch tâm của các thiết diện conic - Khan Academy
3. Các thiết diện conic - OpenStax