Калкулатор за Z-оценка и статистически анализ на данни

Z-Score Калькулатор

Въведение

z-скор (или стандартен резултат) е статистическо измерване, което описва връзката на стойността с средната стойност на група стойности. Той показва колко стандартни отклонения е един елемент от средната стойност. Z-скорът е важен инструмент в статистиката, позволяващ стандартизация на различни набори от данни и идентификация на аутлайъри.

Формула

Z-скорът се изчислява с помощта на следната формула:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Където:

$z$ = z-скор
$x$ = индивидуална данна точка
$\mu$ = средна стойност на набора от данни
$\sigma$ = стандартно отклонение на набора от данни

Тази формула изчислява броя на стандартните отклонения, на които една данна точка е от средната стойност.

Изчисление

За да изчислите z-скора на една данна точка:

Изчислете Средната ( $\mu$ ):

Сумаризирайте всички данни точки и разделете на броя на данните точки.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Изчислете Стандартното Отклонение ( $\sigma$ ):
- Дисперсия ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Стандартно Отклонение:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Изчислете Z-скора:

Заместете стойностите в формулата за z-скор.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Гранични Случаи

Нулево Стандартно Отклонение ( $\sigma = 0$ ):

Когато всички данни точки са идентични, стандартното отклонение е нула, което прави z-скора неопределен, тъй като не можете да делите на нула. В този случай концепцията за z-скор не важи.
Данна Точка Равна на Средната ( $x = \mu$ ):

Ако данната точка е равна на средната, z-скорът е нула, което показва, че е точно средна.
Ненумерични Входове:

Уверете се, че всички входове са числови. Ненумеричните входове ще доведат до грешки при изчисленията.

Кумулативна Вероятност

Кумулативната вероятност, свързана с z-скора, представлява вероятността, че случайна променлива от стандартното нормално разпределение ще бъде по-малка или равна на зададената стойност. Това е площта под кривата на нормалното разпределение вляво от зададения z-скор.

Математически, кумулативната вероятност $P$ се изчислява с помощта на кумулативната функция на разпределението (CDF) на стандартното нормално разпределение:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Където:

$\Phi(z)$ = CDF на стандартното нормално разпределение при $z$

Кумулативната вероятност е важна в статистиката за определяне на вероятността за възникване на стойност в определен диапазон. Тя се използва широко в области като контрол на качеството, финанси и социални науки.

SVG Диаграма

По-долу е SVG диаграма, илюстрираща кривата на стандартното нормално разпределение и z-скора:

μ x z

Стандартно Нормално Разпределение

Фигура: Крива на Стандартното Нормално Разпределение с Затенен Z-скор

Тази диаграма показва кривата на нормалното разпределение със средната стойност $\mu$ в центъра. Затенената област представлява кумулативната вероятност до данната точка $x$ , съответстваща на z-скора.

Приложения

Стандартизация на Различни Скали:

Z-скоровете позволяват сравнение между данни от различни скали чрез стандартизиране на наборите от данни.
Идентификация на Аутлайъри:

Идентифициране на данни точки, които са значително далеч от средната стойност (например, z-скорове по-малко от -3 или по-големи от 3).
Статистическо Тестуване:

Използва се в хипотетичното тестване, включително z-тестове, за определяне дали средната стойност на пробата значително се различава от известната средна стойност на популацията.
Контрол на Качеството:

В производството z-скоровете помагат за наблюдение на процесите, за да се уверят, че резултатите остават в допустимите граници.
Финанси и Инвестиции:

Оценка на представянето на акции чрез сравняване на доходите спрямо средното представяне на пазара.

Алтернативи

T-скор:

Подобен на z-скора, но се използва, когато размерът на пробата е малък и стандартното отклонение на популацията е неизвестно.
Процентилна Ранг:

Показва процента на резултатите в неговото разпределение на честотата, които са равни или по-ниски от него.
Стандартни Отклонения:

Използване на суровите стойности на стандартното отклонение без стандартизиране като z-скорове.

История

Концепцията за z-скор произлиза от работата върху нормалното разпределение от Карл Фридрих Гаус в началото на 19-ти век. Стандартното нормално разпределение, основополагающе за z-скоровете, е допълнително разработено от статистици като Абрахам де Мойвър и Пиер-Симон Лаплас. Използването на z-скорове стана широко разпространено с напредъка на статистическите методи през 20-ти век, особено в психологическото тестване и контрола на качеството.

Примери

Excel

## Изчислете z-скор в Excel
## Предполага се, че данната точка е в клетка A2, средната стойност в клетка B2, стандартното отклонение в клетка C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Изчислете z-скор в R
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Стандартното отклонение не може да бъде нула.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Пример за употреба:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-скор:", z_score))

MATLAB

% Изчислете z-скор в MATLAB
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Стандартното отклонение не може да бъде нула.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Пример за употреба:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-скор: %.2f\n', z);

JavaScript

// Изчислете z-скор в JavaScript
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Стандартното отклонение не може да бъде нула.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Пример за употреба:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-скор: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Изчислете z-скор в Python
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Стандартното отклонение не може да бъде нула.")
    return (x - mu) / sigma

## Пример за употреба:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-скор:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Изчислете z-скор в Java
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Стандартното отклонение не може да бъде нула.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-скор: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Изчислете z-скор в C++
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Стандартното отклонение не може да бъде нула.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-скор: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Изчислете z-скор в Ruby
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Стандартното отклонение не може да бъде нула." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Пример за употреба:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-скор: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Изчислете z-скор в PHP
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Стандартното отклонение не може да бъде нула.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Пример за употреба:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-скор: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Изчислете z-скор в Rust
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Стандартното отклонение не може да бъде нула.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-скор: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Изчислете z-скор в C#
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Стандартното отклонение не може да бъде нула.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-скор: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Изчислете z-скор в Go
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("стандартното отклонение не може да бъде нула")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-скор: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Изчислете z-скор в Swift
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Стандартното отклонение не може да бъде нула.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Пример за употреба:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-скор: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Референции

Стандартен Резултат - Уикипедия

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Разбиране на Z-скорове - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Нормално Разпределение и Z-скорове - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Допълнителни Ресурси

Интерактивен Калькулатор на Z-скор

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Визуализиране на Нормалното Разпределение

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Loading related tools...