Whiz Tools

Z-স্কোর ক্যালকুলেটর

পরিচিতি

z-স্কোর (অথবা স্ট্যান্ডার্ড স্কোর) একটি পরিসংখ্যানগত পরিমাপ যা একটি মানের সম্পর্ককে একটি মানের গোষ্ঠীর গড়ের সাথে বর্ণনা করে। এটি নির্দেশ করে একটি উপাদান গড় থেকে কতগুলি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দূরে। z-স্কোর পরিসংখ্যানের একটি গুরুত্বপূর্ণ টুল, যা বিভিন্ন ডেটাসেটের মানকরণ এবং আউটলায়ার সনাক্তকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

সূত্র

z-স্কোর নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

z=xμσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

যেখানে:

  • zz = z-স্কোর
  • xx = পৃথক ডেটা পয়েন্ট
  • μ\mu = ডেটাসেটের গড়
  • σ\sigma = ডেটাসেটের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি

এই সূত্রটি গণনা করে একটি ডেটা পয়েন্ট গড় থেকে কতগুলি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দূরে।

গণনা

একটি ডেটা পয়েন্টের z-স্কোর গণনা করতে:

  1. গড় (μ\mu) গণনা করুন:

    সমস্ত ডেটা পয়েন্ট যোগ করুন এবং ডেটা পয়েন্টের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করুন।

    μ=i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
  2. স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (σ\sigma) গণনা করুন:

    • বিচ্যুতি (σ2\sigma^2):

      σ2=i=1n(xiμ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}
    • স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}
  3. z-স্কোর গণনা করুন:

    z-স্কোর সূত্রে মানগুলো প্রতিস্থাপন করুন।

    z=xμσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

প্রান্তের কেস

  • শূন্য স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (σ=0\sigma = 0):

    যখন সমস্ত ডেটা পয়েন্ট একই, তখন স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হয়, z-স্কোর অজ্ঞাত হয় কারণ আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না। এই ক্ষেত্রে, z-স্কোরের ধারণা প্রযোজ্য নয়।

  • গড়ের সাথে সমান ডেটা পয়েন্ট (x=μx = \mu):

    যদি ডেটা পয়েন্ট গড়ের সমান হয়, z-স্কোর শূন্য হয়, যা নির্দেশ করে এটি সম্পূর্ণ গড়।

  • অসংখ্যাত ইনপুট:

    নিশ্চিত করুন যে সমস্ত ইনপুট সংখ্যা। অসংখ্যাত ইনপুট গণনার ত্রুটি সৃষ্টি করবে।

সমাহার সম্ভাবনা

z-স্কোরের সাথে সম্পর্কিত সমাহার সম্ভাবনা নির্দেশ করে যে একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিতরণ থেকে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল নির্দিষ্ট মানের চেয়ে কম বা সমান হওয়ার সম্ভাবনা কত। এটি নির্দিষ্ট z-স্কোরের বাম দিকে নরমাল বিতরণ বক্ররেখার নিচের এলাকা।

গণিতগতভাবে, সমাহার সম্ভাবনা PP স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিতরণের সমাহার বিতরণ ফাংশন (CDF) ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

P(Zz)=Φ(z)=12πzet2/2dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

যেখানে:

  • Φ(z)\Phi(z) = zz এ স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিতরণের CDF

সমাহার সম্ভাবনা পরিসংখ্যানে একটি মান নির্দিষ্ট পরিসরে ঘটনার সম্ভাবনা নির্ধারণের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। এটি গুণমান নিয়ন্ত্রণ, অর্থনীতি এবং সামাজিক বিজ্ঞান সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

SVG ডায়াগ্রাম

নিচে একটি SVG ডায়াগ্রাম দেওয়া হল যা স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিতরণ বক্ররেখা এবং z-স্কোর চিত্রিত করছে:

μ x z

স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিতরণ

চিত্র: z-স্কোর ছায়িত সহ স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিতরণ বক্ররেখা

এই ডায়াগ্রামটি গড় μ\mu কেন্দ্রে সহ নরমাল বিতরণ বক্ররেখা দেখায়। ছায়িত এলাকা ডেটা পয়েন্ট xx পর্যন্ত সমাহার সম্ভাবনা নির্দেশ করে, যা z-স্কোরের সাথে সম্পর্কিত।

ব্যবহার ক্ষেত্র

অ্যাপ্লিকেশন

  • বিভিন্ন স্কেলের মধ্যে মানকরণ:

    z-স্কোর বিভিন্ন স্কেল থেকে ডেটার তুলনা করার অনুমতি দেয়।

  • আউটলায়ার সনাক্তকরণ:

    গড় থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে দূরে থাকা ডেটা পয়েন্ট সনাক্ত করা (যেমন, z-স্কোর -3 এর কম বা 3 এর বেশি)।

  • পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা:

    একটি নমুনার গড় একটি পরিচিত জনসংখ্যার গড় থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা কিনা তা নির্ধারণ করতে z-পরীক্ষাগুলির মধ্যে ব্যবহৃত হয়।

  • গুণমান নিয়ন্ত্রণ:

    উৎপাদনে z-স্কোর প্রক্রিয়াগুলিকে পর্যবেক্ষণ করতে সহায়তা করে যাতে আউটপুট গ্রহণযোগ্য সীমার মধ্যে থাকে।

  • অর্থনীতি এবং বিনিয়োগ:

    গড় বাজারের পারফরম্যান্সের তুলনায় স্টক পারফরম্যান্স মূল্যায়ন করা।

বিকল্প

  • টি-স্কোর:

    z-স্কোরের সাথে সাদৃশ্য কিন্তু ছোট নমুনার আকার এবং জনসংখ্যার স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি অজানা হলে ব্যবহৃত হয়।

  • শতাংশ র‌্যাঙ্ক:

    এটি নির্দেশ করে যে স্কোরের ফ্রিকোয়েন্সি বিতরণে এটি সমান বা কম।

  • স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি ইউনিট:

    z-স্কোর হিসাবে মানকরণ ছাড়া কাঁচা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি মান ব্যবহার করা।

ইতিহাস

z-স্কোরের ধারণাটি 19 শতকের শুরুতে কার্ল ফ্রিডরিখ গাউসের কাজ থেকে উদ্ভূত হয়। z-স্কোরের জন্য মৌলিক স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিতরণটি আব্রাহাম ডি মোইভর এবং পিয়েরে-সিমন লাপ্লেসের মতো পরিসংখ্যানবিদদের দ্বারা আরও উন্নত হয়েছিল। 20 শতকে পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির অগ্রগতির সাথে z-স্কোরের ব্যবহার ব্যাপক হয়ে ওঠে, বিশেষ করে মনস্তাত্ত্বিক পরীক্ষার এবং গুণমান নিয়ন্ত্রণে।

উদাহরণ

এক্সেল

## এক্সেলে z-স্কোর গণনা করুন
## ধরা যাক ডেটা পয়েন্টটি সেলে A2, গড় সেলে B2, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সেলে C2
=(A2 - B2) / C2

আর

## R-এ z-স্কোর গণনা করুন
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## উদাহরণ ব্যবহার:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-স্কোর:", z_score))

ম্যাটল্যাব

% ম্যাটল্যাবে z-স্কোর গণনা করুন
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% উদাহরণ ব্যবহার:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-স্কোর: %.2f\n', z);

জাভাস্ক্রিপ্ট

// জাভাস্ক্রিপ্টে z-স্কোর গণনা করুন
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// উদাহরণ ব্যবহার:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-স্কোর: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

পাইথন

## পাইথনে z-স্কোর গণনা করুন
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।")
    return (x - mu) / sigma

## উদাহরণ ব্যবহার:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-স্কোর:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

জাভা

// জাভাতে z-স্কোর গণনা করুন
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-স্কোর: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

সি/সি++

// C++ এ z-স্কোর গণনা করুন
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-স্কোর: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

রুবি

## রুবিতে z-স্কোর গণনা করুন
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।" if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## উদাহরণ ব্যবহার:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-স্কোর: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

পিএইচপি

<?php
// পিএইচপিতে z-স্কোর গণনা করুন
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// উদাহরণ ব্যবহার:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-স্কোর: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

রাস্ট

// রাস্টে z-স্কোর গণনা করুন
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-স্কোর: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

সি#

// C# এ z-স্কোর গণনা করুন
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-স্কোর: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

গো

// গোতে z-স্কোর গণনা করুন
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-স্কোর: %.2f\n", z)
    }
}

সুইফট

// সুইফটে z-স্কোর গণনা করুন
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না।", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// উদাহরণ ব্যবহার:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-স্কোর: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

রেফারেন্স

  1. স্ট্যান্ডার্ড স্কোর - উইকিপিডিয়া

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Z-স্কোর বোঝা - পরিসংখ্যান সমাধান

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. নরমাল বিতরণ এবং Z-স্কোর - খান একাডেমি

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

অতিরিক্ত সম্পদ

Loading related tools...
Feedback