Kalkulačka pro výpočet Z-skóre a statistickou analýzu

Kalkulátor Z-Skóre

Úvod

Z-skóre (nebo standardní skóre) je statistické měření, které popisuje vztah hodnoty k průměru skupiny hodnot. Ukazuje, kolik standardních odchylek je prvek od průměru. Z-skóre je klíčovým nástrojem ve statistice, který umožňuje standardizaci různých datových sad a identifikaci odlehlých hodnot.

Vzorec

Z-skóre se počítá pomocí následujícího vzorce:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Kde:

$z$ = z-skóre
$x$ = jednotlivý datový bod
$\mu$ = průměr datové sady
$\sigma$ = standardní odchylka datové sady

Tento vzorec vypočítává počet standardních odchylek, které je datový bod od průměru.

Výpočet

Pro výpočet z-skóre datového bodu:

Vypočítejte průměr ( $\mu$ ):

Sečtěte všechny datové body a vydělte počtem datových bodů.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Vypočítejte standardní odchylku ( $\sigma$ ):
- Variance ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Standardní odchylka:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Vypočítejte Z-skóre:

Nahraďte hodnoty do vzorce pro z-skóre.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Hraniční případy

Nulová standardní odchylka ( $\sigma = 0$ ):

Když jsou všechny datové body identické, standardní odchylka je nulová, což činí z-skóre nedefinované, protože nelze dělit nulou. V tomto případě se koncept z-skóre neuplatňuje.
Datový bod rovný průměru ( $x = \mu$ ):

Pokud se datový bod rovná průměru, z-skóre je nula, což naznačuje, že je přesně průměrný.
Nekvantitativní vstupy:

Zajistěte, aby všechny vstupy byly kvantitativní. Nekvantitativní vstupy povedou k chybám ve výpočtu.

Kumulativní pravděpodobnost

Kumulativní pravděpodobnost spojená se z-skóre představuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná z standardního normálního rozdělení bude menší nebo rovna dané hodnotě. Je to plocha pod křivkou normálního rozdělení vlevo od určeného z-skóre.

Matematicky se kumulativní pravděpodobnost $P$ vypočítává pomocí kumulativní distribuční funkce (CDF) standardního normálního rozdělení:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Kde:

$\Phi(z)$ = CDF standardního normálního rozdělení při $z$

Kumulativní pravděpodobnost je zásadní ve statistice pro určení pravděpodobnosti, že hodnota nastane v určitém rozsahu. Je široce používána v oblastech, jako je kontrola kvality, finance a sociální vědy.

SVG Diagram

Níže je SVG diagram ilustrující křivku standardního normálního rozdělení a z-skóre:

μ x z

Standardní normální rozdělení

Obrázek: Křivka standardního normálního rozdělení se stíněným Z-skóre

Tento diagram ukazuje křivku normálního rozdělení s průměrem $\mu$ ve středu. Stíněná oblast představuje kumulativní pravděpodobnost až k datovému bodu $x$ , odpovídajícímu z-skóre.

Případy použití

Aplikace

Standardizace napříč různými měřítky:

Z-skóre umožňuje porovnání mezi daty z různých měřítek standardizací datových sad.
Detekce odlehlých hodnot:

Identifikace datových bodů, které jsou významně vzdálené od průměru (např. z-skóre menší než -3 nebo větší než 3).
Statistické testování:

Používá se v testování hypotéz, včetně z-testů, k určení, zda se průměr vzorku významně liší od známého průměru populace.
Kontrola kvality:

V oblasti výroby pomáhá z-skóre monitorovat procesy, aby se zajistilo, že výstupy zůstávají v přijatelných mezích.
Finance a investice:

Hodnocení výkonnosti akcií porovnáním výnosů vzhledem k průměrné výkonnosti trhu.

Alternativy

T-skóre:

Podobné z-skóre, ale používá se, když je velikost vzorku malá a standardní odchylka populace je neznámá.
Percentilní hodnocení:

Ukazuje procento skóre ve své frekvenční distribuci, které jsou rovny nebo nižší než ono.
Jednotky standardní odchylky:

Používání surových hodnot standardní odchylky bez standardizace jako z-skóre.

Historie

Koncept z-skóre vychází z práce na normálním rozdělení od Carla Friedricha Gausse na počátku 19. století. Standardní normální rozdělení, které je základem z-skóre, bylo dále rozvinuto statistiky jako Abraham de Moivre a Pierre-Simon Laplace. Použití z-skóre se stalo široce rozšířeným s pokrokem statistických metod ve 20. století, zejména v psychologickém testování a kontrole kvality.

Příklady

Excel

## Vypočítejte z-skóre v Excelu
## Předpokládáme, že datový bod je v buňce A2, průměr v buňce B2, standardní odchylka v buňce C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Vypočítejte z-skóre v R
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Standardní odchylka nemůže být nulová.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Příklad použití:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-skóre:", z_score))

MATLAB

% Vypočítejte z-skóre v MATLABu
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Standardní odchylka nemůže být nulová.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Příklad použití:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-skóre: %.2f\n', z);

JavaScript

// Vypočítejte z-skóre v JavaScriptu
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Standardní odchylka nemůže být nulová.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Příklad použití:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-skóre: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Vypočítejte z-skóre v Pythonu
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Standardní odchylka nemůže být nulová.")
    return (x - mu) / sigma

## Příklad použití:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-skóre:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Vypočítejte z-skóre v Javě
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Standardní odchylka nemůže být nulová.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-skóre: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Vypočítejte z-skóre v C++
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Standardní odchylka nemůže být nulová.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-skóre: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Vypočítejte z-skóre v Ruby
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Standardní odchylka nemůže být nulová." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Příklad použití:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-skóre: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Vypočítejte z-skóre v PHP
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Standardní odchylka nemůže být nulová.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Příklad použití:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-skóre: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Vypočítejte z-skóre v Rustu
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Standardní odchylka nemůže být nulová.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-skóre: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Vypočítejte z-skóre v C#
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Standardní odchylka nemůže být nulová.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-skóre: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Vypočítejte z-skóre v Go
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("standardní odchylka nemůže být nulová")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-skóre: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Vypočítejte z-skóre ve Swiftu
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Standardní odchylka nemůže být nulová.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Příklad použití:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-skóre: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Odkazy

Standardní skóre - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Pochopení Z-skóre - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Normální rozdělení a Z-skóre - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Další zdroje

Interaktivní kalkulátor Z-skóre

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Vizualizace normálního rozdělení

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Loading related tools...