🛠️

Whiz Tools

Build • Create • Innovate

Kalkulačka pro výpočet Z-skóre a statistickou analýzu

Vypočítejte z-skóre (standardní skóre) pro libovolný datový bod, určující jeho polohu vzhledem k průměru pomocí standardní odchylky. Ideální pro statistickou analýzu a standardizaci dat.

📚

Dokumentace

Kalkulátor Z-Skóre

Úvod

Z-skóre (nebo standardní skóre) je statistické měření, které popisuje vztah hodnoty k průměru skupiny hodnot. Ukazuje, kolik standardních odchylek je prvek od průměru. Z-skóre je klíčovým nástrojem ve statistice, který umožňuje standardizaci různých datových sad a identifikaci odlehlých hodnot.

Vzorec

Z-skóre se počítá pomocí následujícího vzorce:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Kde:

  • zz = z-skóre
  • xx = jednotlivý datový bod
  • μ\mu = průměr datové sady
  • σ\sigma = standardní odchylka datové sady

Tento vzorec vypočítává počet standardních odchylek, které je datový bod od průměru.

Výpočet

Pro výpočet z-skóre datového bodu:

  1. Vypočítejte průměr (μ\mu):

    Sečtěte všechny datové body a vydělte počtem datových bodů.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Vypočítejte standardní odchylku (σ\sigma):

    • Variance (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Standardní odchylka:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Vypočítejte Z-skóre:

    Nahraďte hodnoty do vzorce pro z-skóre.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Hraniční případy

  • Nulová standardní odchylka (σ=0\sigma = 0):

    Když jsou všechny datové body identické, standardní odchylka je nulová, což činí z-skóre nedefinované, protože nelze dělit nulou. V tomto případě se koncept z-skóre neuplatňuje.

  • Datový bod rovný průměru (x=μx = \mu):

    Pokud se datový bod rovná průměru, z-skóre je nula, což naznačuje, že je přesně průměrný.

  • Nekvantitativní vstupy:

    Zajistěte, aby všechny vstupy byly kvantitativní. Nekvantitativní vstupy povedou k chybám ve výpočtu.

Kumulativní pravděpodobnost

Kumulativní pravděpodobnost spojená se z-skóre představuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná z standardního normálního rozdělení bude menší nebo rovna dané hodnotě. Je to plocha pod křivkou normálního rozdělení vlevo od určeného z-skóre.

Matematicky se kumulativní pravděpodobnost PP vypočítává pomocí kumulativní distribuční funkce (CDF) standardního normálního rozdělení:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Kde:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF standardního normálního rozdělení při zz

Kumulativní pravděpodobnost je zásadní ve statistice pro určení pravděpodobnosti, že hodnota nastane v určitém rozsahu. Je široce používána v oblastech, jako je kontrola kvality, finance a sociální vědy.

SVG Diagram

Níže je SVG diagram ilustrující křivku standardního normálního rozdělení a z-skóre:

μ x z

Standardní normální rozdělení

Obrázek: Křivka standardního normálního rozdělení se stíněným Z-skóre

Tento diagram ukazuje křivku normálního rozdělení s průměrem μ\mu ve středu. Stíněná oblast představuje kumulativní pravděpodobnost až k datovému bodu xx, odpovídajícímu z-skóre.

Případy použití

Aplikace

  • Standardizace napříč různými měřítky:

    Z-skóre umožňuje porovnání mezi daty z různých měřítek standardizací datových sad.

  • Detekce odlehlých hodnot:

    Identifikace datových bodů, které jsou významně vzdálené od průměru (např. z-skóre menší než -3 nebo větší než 3).

  • Statistické testování:

    Používá se v testování hypotéz, včetně z-testů, k určení, zda se průměr vzorku významně liší od známého průměru populace.

  • Kontrola kvality:

    V oblasti výroby pomáhá z-skóre monitorovat procesy, aby se zajistilo, že výstupy zůstávají v přijatelných mezích.

  • Finance a investice:

    Hodnocení výkonnosti akcií porovnáním výnosů vzhledem k průměrné výkonnosti trhu.

Alternativy

  • T-skóre:

    Podobné z-skóre, ale používá se, když je velikost vzorku malá a standardní odchylka populace je neznámá.

  • Percentilní hodnocení:

    Ukazuje procento skóre ve své frekvenční distribuci, které jsou rovny nebo nižší než ono.

  • Jednotky standardní odchylky:

    Používání surových hodnot standardní odchylky bez standardizace jako z-skóre.

Historie

Koncept z-skóre vychází z práce na normálním rozdělení od Carla Friedricha Gausse na počátku 19. století. Standardní normální rozdělení, které je základem z-skóre, bylo dále rozvinuto statistiky jako Abraham de Moivre a Pierre-Simon Laplace. Použití z-skóre se stalo široce rozšířeným s pokrokem statistických metod ve 20. století, zejména v psychologickém testování a kontrole kvality.

Příklady

Excel

1## Vypočítejte z-skóre v Excelu
2## Předpokládáme, že datový bod je v buňce A2, průměr v buňce B2, standardní odchylka v buňce C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Vypočítejte z-skóre v R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Standardní odchylka nemůže být nulová.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Příklad použití:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-skóre:", z_score))
16

MATLAB

1% Vypočítejte z-skóre v MATLABu
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Standardní odchylka nemůže být nulová.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Příklad použití:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-skóre: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Vypočítejte z-skóre v JavaScriptu
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Standardní odchylka nemůže být nulová.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Příklad použití:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-skóre: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Vypočítejte z-skóre v Pythonu
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Standardní odchylka nemůže být nulová.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Příklad použití:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-skóre:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Vypočítejte z-skóre v Javě
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Standardní odchylka nemůže být nulová.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-skóre: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Vypočítejte z-skóre v C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Standardní odchylka nemůže být nulová.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-skóre: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Vypočítejte z-skóre v Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Standardní odchylka nemůže být nulová." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Příklad použití:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-skóre: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Vypočítejte z-skóre v PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Standardní odchylka nemůže být nulová.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Příklad použití:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-skóre: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Vypočítejte z-skóre v Rustu
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Standardní odchylka nemůže být nulová.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-skóre: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Vypočítejte z-skóre v C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Standardní odchylka nemůže být nulová.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-skóre: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Vypočítejte z-skóre v Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("standardní odchylka nemůže být nulová")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-skóre: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Vypočítejte z-skóre ve Swiftu
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Standardní odchylka nemůže být nulová.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Příklad použití:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-skóre: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Odkazy

  1. Standardní skóre - Wikipedia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Pochopení Z-skóre - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Normální rozdělení a Z-skóre - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Další zdroje

🔗

Související nástroje

Objevte další nástroje, které by mohly být užitečné pro váš pracovní postup

Z-Test Kalkulačka pro statistickou analýzu a výzkum

Vyzkoušejte tento nástroj

Kalkulačka pro výpočet Altman Z-Score a kreditní riziko

Vyzkoušejte tento nástroj

Kalkulačka pro všechny typy t-testů a analýzu dat

Vyzkoušejte tento nástroj

Kalkulátor pro výpočet surového skóre a analýzu dat

Vyzkoušejte tento nástroj

Kalkulátor kritických hodnot pro statistické testy

Vyzkoušejte tento nástroj

Kalkulátor krabicových grafů pro analýzu dat a vizualizaci

Vyzkoušejte tento nástroj

Kalkulátor A/B testů pro statistickou významnost výsledků

Vyzkoušejte tento nástroj

Převod konfidenčního intervalu na standardní odchylky

Vyzkoušejte tento nástroj

Kalkulačka Six Sigma: Měřte kvalitu svého procesu

Vyzkoušejte tento nástroj