Whiz Tools

Υπολογιστής Z-Score

Εισαγωγή

Ο z-score (ή τυπική βαθμολογία) είναι μια στατιστική μέτρηση που περιγράφει τη σχέση μιας τιμής με τη μέση τιμή μιας ομάδας τιμών. Δείχνει πόσες τυπικές αποκλίσεις απέχει ένα στοιχείο από τη μέση τιμή. Ο z-score είναι ένα κρίσιμο εργαλείο στη στατιστική, επιτρέποντας την τυποποίηση διαφορετικών συνόλων δεδομένων και την αναγνώριση των εκτός ορίων.

Τύπος

Ο z-score υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Όπου:

  • zz = z-score
  • xx = μεμονωμένο δεδομένο
  • μ\mu = μέση τιμή του συνόλου δεδομένων
  • σ\sigma = τυπική απόκλιση του συνόλου δεδομένων

Αυτός ο τύπος υπολογίζει τον αριθμό των τυπικών αποκλίσεων που απέχει ένα δεδομένο από τη μέση τιμή.

Υπολογισμός

Για να υπολογίσετε τον z-score ενός δεδομένου σημείου:

  1. Υπολογίστε τη Μέση Τιμή (μ\mu):

    Αθροίστε όλα τα δεδομένα και διαιρέστε με τον αριθμό των δεδομένων.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Υπολογίστε την Τυπική Απόκλιση (σ\sigma):

    • Διακύμανση (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Τυπική Απόκλιση:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Υπολογίστε τον Z-Score:

    Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο z-score.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Περιπτώσεις Άκρων

  • Μηδενική Τυπική Απόκλιση (σ=0\sigma = 0):

    Όταν όλα τα δεδομένα είναι ταυτόσημα, η τυπική απόκλιση είναι μηδενική, καθιστώντας τον z-score μη καθορισμένο, καθώς δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, η έννοια του z-score δεν ισχύει.

  • Δεδομένο Σημείο Ισοδύναμο με τη Μέση Τιμή (x=μx = \mu):

    Εάν το δεδομένο σημείο είναι ίσο με τη μέση τιμή, ο z-score είναι μηδέν, υποδεικνύοντας ότι είναι ακριβώς μέσος όρος.

  • Μη Αριθμητικές Εισόδους:

    Βεβαιωθείτε ότι όλες οι είσοδοι είναι αριθμητικές. Οι μη αριθμητικές είσοδοι θα οδηγήσουν σε σφάλματα υπολογισμού.

Σωρευτική Πιθανότητα

Η σωρευτική πιθανότητα που σχετίζεται με έναν z-score αντιπροσωπεύει την πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή από μια τυπική κανονική κατανομή θα είναι μικρότερη ή ίση με την καθορισμένη τιμή. Είναι η περιοχή κάτω από την καμπύλη της κανονικής κατανομής προς τα αριστερά του καθορισμένου z-score.

Μαθηματικά, η σωρευτική πιθανότητα PP υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη σωρευτική συνάρτηση κατανομής (CDF) της τυπικής κανονικής κατανομής:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Όπου:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF της τυπικής κανονικής κατανομής στο zz

Η σωρευτική πιθανότητα είναι ουσιαστική στη στατιστική για τον προσδιορισμό της πιθανότητας εμφάνισης μιας τιμής εντός ενός συγκεκριμένου εύρους. Χρησιμοποιείται ευρέως σε τομείς όπως ο ποιοτικός έλεγχος, τα χρηματοοικονομικά και οι κοινωνικές επιστήμες.

SVG Διάγραμμα

Παρακάτω είναι ένα διάγραμμα SVG που απεικονίζει την κανονική κατανομή και τον z-score:

μ x z

Κανονική Κατανομή

Εικόνα: Καμπύλη Κανονικής Κατανομής με Σκιασμένο Z-Score

Αυτό το διάγραμμα δείχνει την καμπύλη κανονικής κατανομής με τη μέση τιμή μ\mu στο κέντρο. Η σκιασμένη περιοχή αντιπροσωπεύει τη σωρευτική πιθανότητα έως το δεδομένο σημείο xx, που αντιστοιχεί στον z-score.

Χρήσεις

Εφαρμογές

  • Τυποποίηση σε Διάφορες Κλίμακες:

    Οι z-scores επιτρέπουν τη σύγκριση μεταξύ δεδομένων από διαφορετικές κλίμακες τυποποιώντας τα σύνολα δεδομένων.

  • Αναγνώριση Εκτός Ορίων:

    Αναγνώριση δεδομένων που είναι σημαντικά απομακρυσμένα από τη μέση τιμή (π.χ., z-scores μικρότεροι από -3 ή μεγαλύτεροι από 3).

  • Στατιστική Δοκιμή:

    Χρησιμοποιούνται σε δοκιμές υποθέσεων, συμπεριλαμβανομένων των z-tests, για να προσδιορίσουν αν μια μέση τιμή δείγματος διαφέρει σημαντικά από μια γνωστή μέση τιμή πληθυσμού.

  • Ποιοτικός Έλεγχος:

    Στην παραγωγή, οι z-scores βοηθούν στην παρακολούθηση διαδικασιών για να διασφαλιστεί ότι τα αποτελέσματα παραμένουν εντός αποδεκτών ορίων.

  • Χρηματοδότηση και Επενδύσεις:

    Αξιολόγηση της απόδοσης μετοχών συγκρίνοντας τις αποδόσεις σε σχέση με τη μέση απόδοση της αγοράς.

Εναλλακτικές

  • T-Score:

    Παρόμοιο με τον z-score αλλά χρησιμοποιείται όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό και η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη.

  • Ποσοστιαία Κατάταξη:

    Δείχνει το ποσοστό των βαθμών στη συχνότητα κατανομής του που είναι ίσοι ή χαμηλότεροι από αυτόν.

  • Μονάδες Τυπικής Απόκλισης:

    Χρησιμοποιώντας τις καθαρές τιμές τυπικής απόκλισης χωρίς τυποποίηση ως z-scores.

Ιστορία

Η έννοια του z-score προέρχεται από το έργο για την κανονική κατανομή από τον Carl Friedrich Gauss στις αρχές του 19ου αιώνα. Η τυπική κανονική κατανομή, θεμελιώδης για τους z-scores, αναπτύχθηκε περαιτέρω από στατιστικούς όπως ο Abraham de Moivre και ο Pierre-Simon Laplace. Η χρήση των z-scores έγινε ευρέως διαδεδομένη με την πρόοδο των στατιστικών μεθόδων τον 20ό αιώνα, ιδιαίτερα στις ψυχολογικές δοκιμές και τον ποιοτικό έλεγχο.

Παραδείγματα

Excel

## Υπολογισμός z-score στο Excel
## Υποθέτοντας ότι το δεδομένο σημείο είναι στο κελί A2, η μέση τιμή στο κελί B2, η τυπική απόκλιση στο κελί C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Υπολογισμός z-score στο R
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Παράδειγμα χρήσης:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-score:", z_score))

MATLAB

% Υπολογισμός z-score στο MATLAB
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Παράδειγμα χρήσης:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-score: %.2f\n', z);

JavaScript

// Υπολογισμός z-score σε JavaScript
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Παράδειγμα χρήσης:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Υπολογισμός z-score σε Python
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.")
    return (x - mu) / sigma

## Παράδειγμα χρήσης:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-score:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Υπολογισμός z-score σε Java
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Υπολογισμός z-score σε C++
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Υπολογισμός z-score σε Ruby
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Παράδειγμα χρήσης:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Υπολογισμός z-score σε PHP
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Παράδειγμα χρήσης:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-score: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Υπολογισμός z-score σε Rust
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Υπολογισμός z-score σε C#
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Υπολογισμός z-score σε Go
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Υπολογισμός z-score σε Swift
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι μηδέν.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Παράδειγμα χρήσης:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Αναφορές

  1. Τυπική Βαθμολογία - Wikipedia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Κατανόηση Z-Scores - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Κανονική Κατανομή και Z-Scores - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Πρόσθετοι Πόροι

Loading related tools...
Feedback