🛠️

Whiz Tools

Build • Create • Innovate

Z-Pisteen Laskin: Laske Z-Pisteet Datapisteille

Laske z-piste (standardipiste) mille tahansa datapisteelle, määrittäen sen sijainnin suhteessa keskiarvoon käyttäen keskihajontaa. Ihanteellinen tilastolliseen analyysiin ja datan standardointiin.

📚

Dokumentaatio

Z-Score Laskin

Johdanto

Z-piste (tai standardipiste) on tilastollinen mittaus, joka kuvaa arvon suhdetta arvojen keskiarvoon. Se osoittaa, kuinka monta keskihajontaa elementti on keskiarvosta. Z-piste on tärkeä työkalu tilastotieteessä, joka mahdollistaa erilaisten tietojoukkojen standardoinnin ja poikkeavien arvojen tunnistamisen.

Kaava

Z-piste lasketaan seuraavalla kaavalla:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Missä:

  • zz = z-piste
  • xx = yksittäinen datapiste
  • μ\mu = tietojoukon keskiarvo
  • σ\sigma = tietojoukon keskihajonta

Tämä kaava laskee, kuinka monta keskihajontaa datapiste on keskiarvosta.

Laskenta

Laskettaessa z-pistettä datapisteelle:

  1. Laske keskiarvo (μ\mu):

    Yhdistele kaikki datapisteet ja jaa niiden summa datapisteiden lukumäärällä.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Laske keskihajonta (σ\sigma):

    • Varianssi (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Keskihajonta:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Laske Z-piste:

    Korvaa arvot z-pisteen kaavassa.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Reunatapaukset

  • Nolla Keskihajonta (σ=0\sigma = 0):

    Kun kaikki datapisteet ovat identtisiä, keskihajonta on nolla, mikä tekee z-pisteen määrittelemättömäksi, koska nollalla jakaminen ei ole mahdollista. Tässä tapauksessa z-pisteen käsite ei päde.

  • Datapiste on yhtä suuri kuin keskiarvo (x=μx = \mu):

    Jos datapiste on yhtä suuri kuin keskiarvo, z-piste on nolla, mikä osoittaa, että se on tarkalleen keskiarvo.

  • Ei-numeeriset syötteet:

    Varmista, että kaikki syötteet ovat numeerisia. Ei-numeeriset syötteet johtavat laskentavirheisiin.

Kumulatiivinen todennäköisyys

Kumulatiivinen todennäköisyys, joka liittyy z-pisteeseen, edustaa todennäköisyyttä, että satunnainen muuttuja standardinormaalijakaumasta on pienempi tai yhtä suuri kuin annettu arvo. Se on alue normaalijakauman käyrän vasemmalla puolella määritellyn z-pisteen kohdalla.

Matemaattisesti kumulatiivinen todennäköisyys PP lasketaan käyttämällä standardinormaalijakauman kumulatiivista jakautumafunktiota (CDF):

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Missä:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF standardinormaalijakaumassa kohdassa zz

Kumulatiivinen todennäköisyys on olennainen tilastotieteessä, koska se määrittää arvon esiintymisen todennäköisyyden tietyllä alueella. Sitä käytetään laajalti aloilla, kuten laadunvalvonta, rahoitus ja yhteiskuntatieteet.

SVG-diagrammi

Alla on SVG-diagrammi, joka havainnollistaa standardinormaalijakauman käyrää ja z-pistettä:

μ x z

Standardinormaalijakauma

Kuva: Standardinormaalijakauman käyrä z-piste varjostettuna

Tämä diagrammi näyttää normaalijakauman käyrän, jossa keskiarvo μ\mu on keskellä. Varjostettu alue edustaa kumulatiivista todennäköisyyttä datapisteeseen xx asti, joka vastaa z-pistettä.

Käyttötapaukset

Sovellukset

  • Standardointi eri mittakaavoissa:

    Z-pisteet mahdollistavat tietojen vertailun eri mittakaavoista standardoimalla tietojoukot.

  • Poikkeavien arvojen tunnistaminen:

    Tunnistetaan datapisteet, jotka ovat merkittävästi kaukana keskiarvosta (esim. z-pisteet alle -3 tai yli 3).

  • Tilastollinen testaus:

    Käytetään hypoteesitestauksessa, mukaan lukien z-testit, määrittämään, poikkeaako otoksen keskiarvo merkittävästi tunnetusta väestön keskiarvosta.

  • Laadunvalvonta:

    Valmistuksessa z-pisteet auttavat seuraamaan prosesseja varmistaakseen, että tuotokset pysyvät hyväksyttävien rajojen sisällä.

  • Rahoitus ja sijoittaminen:

    Osakkeiden suorituskyvyn arviointi vertaamalla tuottoja suhteessa keskimääräiseen markkinasuorituskykyyn.

Vaihtoehdot

  • T-piste:

    Samankaltainen kuin z-piste, mutta käytetään, kun otoskoko on pieni ja väestön keskihajonta on tuntematon.

  • Prosenttipiste:

    Ilmaisee prosenttiosuuden pisteistä sen frekvenssijakaumassa, jotka ovat yhtä suuria tai pienempiä kuin se.

  • Keskihajontayksiköt:

    Käytetään raakoja keskihajontaarvoja ilman standardointia z-pisteiksi.

Historia

Z-pisteen käsite juontaa juurensa Carl Friedrich Gaussin työstä normaalijakauman parissa 1800-luvun alussa. Standardinormaalijakauma, joka on keskeinen z-pisteille, kehittyi edelleen tilastotieteilijöiden, kuten Abraham de Moivren ja Pierre-Simon Laplacen, toimesta. Z-pisteiden käyttö yleistyi tilastollisten menetelmien kehittyessä 1900-luvulla, erityisesti psykologisessa testauksessa ja laadunvalvonnassa.

Esimerkit

Excel

1## Laske z-piste Excelissä
2## Oletetaan, että datapiste solussa A2, keskiarvo solussa B2, keskihajonta solussa C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Laske z-piste R:ssä
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Keskihajonta ei voi olla nolla.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Esimerkkikäyttö:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-piste:", z_score))
16

MATLAB

1% Laske z-piste MATLABissa
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Keskihajonta ei voi olla nolla.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Esimerkkikäyttö:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-piste: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Laske z-piste JavaScriptissä
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Keskihajonta ei voi olla nolla.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Esimerkkikäyttö:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-piste: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Laske z-piste Pythonissa
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Keskihajonta ei voi olla nolla.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Esimerkkikäyttö:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-piste:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Laske z-piste Javassa
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Keskihajonta ei voi olla nolla.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-piste: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Laske z-piste C++:ssa
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Keskihajonta ei voi olla nolla.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-piste: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Laske z-piste Rubyssä
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Keskihajonta ei voi olla nolla." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Esimerkkikäyttö:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-piste: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Laske z-piste PHP:ssä
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Keskihajonta ei voi olla nolla.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Esimerkkikäyttö:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-piste: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Laske z-piste Rustissa
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Keskihajonta ei voi olla nolla.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-piste: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Laske z-piste C#:ssä
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Keskihajonta ei voi olla nolla.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-piste: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Laske z-piste Go:ssa
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("keskihajonta ei voi olla nolla")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-piste: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Laske z-piste Swiftissä
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Keskihajonta ei voi olla nolla.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Esimerkkikäyttö:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-piste: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Viitteet

  1. Standardipiste - Wikipedia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Z-pisteiden ymmärtäminen - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Normaalijakauma ja Z-pisteet - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Lisäresurssit

🔗

Liittyvät työkalut

Löydä lisää työkaluja, jotka voivat olla hyödyllisiä työnkulussasi

Z-Test Laskin: Suorita Yksinäytteisiä Z-testejä Helposti

Kokeile tätä työkalua

Altman Z-Score Laskin: Yrityksen Luottoriskin Arviointi

Kokeile tätä työkalua

T-testi Laskin: Suorita Yksinäyte, Kaksinäyte ja Paritetut

Kokeile tätä työkalua

Raakapisteen Laskin: Laskentatyökalu Tilastotieteeseen

Kokeile tätä työkalua

Kriittisten arvojen laskin tilastollisille testeille

Kokeile tätä työkalua

Laatikkodiagrammin Laskin: Tilastollinen Analyysi Työkalu

Kokeile tätä työkalua

A/B-testin tilastollisen merkittävyyden laskin helposti

Kokeile tätä työkalua

Luottamusvälin ja keskihajonnan muunnin

Kokeile tätä työkalua

Six Sigma -laskin: Mittaa prosessisi laatua

Kokeile tätä työkalua