Z-Pisteen Laskin: Laske Z-Pisteet Datapisteille

Z-Score Laskin

Johdanto

Z-piste (tai standardipiste) on tilastollinen mittaus, joka kuvaa arvon suhdetta arvojen keskiarvoon. Se osoittaa, kuinka monta keskihajontaa elementti on keskiarvosta. Z-piste on tärkeä työkalu tilastotieteessä, joka mahdollistaa erilaisten tietojoukkojen standardoinnin ja poikkeavien arvojen tunnistamisen.

Kaava

Z-piste lasketaan seuraavalla kaavalla:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Missä:

$z$ = z-piste
$x$ = yksittäinen datapiste
$\mu$ = tietojoukon keskiarvo
$\sigma$ = tietojoukon keskihajonta

Tämä kaava laskee, kuinka monta keskihajontaa datapiste on keskiarvosta.

Laskenta

Laskettaessa z-pistettä datapisteelle:

Laske keskiarvo ( $\mu$ ):

Yhdistele kaikki datapisteet ja jaa niiden summa datapisteiden lukumäärällä.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Laske keskihajonta ( $\sigma$ ):
- Varianssi ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Keskihajonta:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Laske Z-piste:

Korvaa arvot z-pisteen kaavassa.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Reunatapaukset

Nolla Keskihajonta ( $\sigma = 0$ ):

Kun kaikki datapisteet ovat identtisiä, keskihajonta on nolla, mikä tekee z-pisteen määrittelemättömäksi, koska nollalla jakaminen ei ole mahdollista. Tässä tapauksessa z-pisteen käsite ei päde.
Datapiste on yhtä suuri kuin keskiarvo ( $x = \mu$ ):

Jos datapiste on yhtä suuri kuin keskiarvo, z-piste on nolla, mikä osoittaa, että se on tarkalleen keskiarvo.
Ei-numeeriset syötteet:

Varmista, että kaikki syötteet ovat numeerisia. Ei-numeeriset syötteet johtavat laskentavirheisiin.

Kumulatiivinen todennäköisyys

Kumulatiivinen todennäköisyys, joka liittyy z-pisteeseen, edustaa todennäköisyyttä, että satunnainen muuttuja standardinormaalijakaumasta on pienempi tai yhtä suuri kuin annettu arvo. Se on alue normaalijakauman käyrän vasemmalla puolella määritellyn z-pisteen kohdalla.

Matemaattisesti kumulatiivinen todennäköisyys $P$ lasketaan käyttämällä standardinormaalijakauman kumulatiivista jakautumafunktiota (CDF):

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Missä:

$\Phi(z)$ = CDF standardinormaalijakaumassa kohdassa $z$

Kumulatiivinen todennäköisyys on olennainen tilastotieteessä, koska se määrittää arvon esiintymisen todennäköisyyden tietyllä alueella. Sitä käytetään laajalti aloilla, kuten laadunvalvonta, rahoitus ja yhteiskuntatieteet.

SVG-diagrammi

Alla on SVG-diagrammi, joka havainnollistaa standardinormaalijakauman käyrää ja z-pistettä:

μ x z

Standardinormaalijakauma

Kuva: Standardinormaalijakauman käyrä z-piste varjostettuna

Tämä diagrammi näyttää normaalijakauman käyrän, jossa keskiarvo $\mu$ on keskellä. Varjostettu alue edustaa kumulatiivista todennäköisyyttä datapisteeseen $x$ asti, joka vastaa z-pistettä.

Käyttötapaukset

Sovellukset

Standardointi eri mittakaavoissa:

Z-pisteet mahdollistavat tietojen vertailun eri mittakaavoista standardoimalla tietojoukot.
Poikkeavien arvojen tunnistaminen:

Tunnistetaan datapisteet, jotka ovat merkittävästi kaukana keskiarvosta (esim. z-pisteet alle -3 tai yli 3).
Tilastollinen testaus:

Käytetään hypoteesitestauksessa, mukaan lukien z-testit, määrittämään, poikkeaako otoksen keskiarvo merkittävästi tunnetusta väestön keskiarvosta.
Laadunvalvonta:

Valmistuksessa z-pisteet auttavat seuraamaan prosesseja varmistaakseen, että tuotokset pysyvät hyväksyttävien rajojen sisällä.
Rahoitus ja sijoittaminen:

Osakkeiden suorituskyvyn arviointi vertaamalla tuottoja suhteessa keskimääräiseen markkinasuorituskykyyn.

Vaihtoehdot

T-piste:

Samankaltainen kuin z-piste, mutta käytetään, kun otoskoko on pieni ja väestön keskihajonta on tuntematon.
Prosenttipiste:

Ilmaisee prosenttiosuuden pisteistä sen frekvenssijakaumassa, jotka ovat yhtä suuria tai pienempiä kuin se.
Keskihajontayksiköt:

Käytetään raakoja keskihajontaarvoja ilman standardointia z-pisteiksi.

Historia

Z-pisteen käsite juontaa juurensa Carl Friedrich Gaussin työstä normaalijakauman parissa 1800-luvun alussa. Standardinormaalijakauma, joka on keskeinen z-pisteille, kehittyi edelleen tilastotieteilijöiden, kuten Abraham de Moivren ja Pierre-Simon Laplacen, toimesta. Z-pisteiden käyttö yleistyi tilastollisten menetelmien kehittyessä 1900-luvulla, erityisesti psykologisessa testauksessa ja laadunvalvonnassa.

Esimerkit

Excel

## Laske z-piste Excelissä
## Oletetaan, että datapiste solussa A2, keskiarvo solussa B2, keskihajonta solussa C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Laske z-piste R:ssä
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Keskihajonta ei voi olla nolla.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Esimerkkikäyttö:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-piste:", z_score))

MATLAB

% Laske z-piste MATLABissa
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Keskihajonta ei voi olla nolla.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Esimerkkikäyttö:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-piste: %.2f\n', z);

JavaScript

// Laske z-piste JavaScriptissä
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Keskihajonta ei voi olla nolla.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Esimerkkikäyttö:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-piste: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Laske z-piste Pythonissa
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Keskihajonta ei voi olla nolla.")
    return (x - mu) / sigma

## Esimerkkikäyttö:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-piste:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Laske z-piste Javassa
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Keskihajonta ei voi olla nolla.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-piste: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Laske z-piste C++:ssa
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Keskihajonta ei voi olla nolla.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-piste: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Laske z-piste Rubyssä
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Keskihajonta ei voi olla nolla." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Esimerkkikäyttö:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-piste: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Laske z-piste PHP:ssä
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Keskihajonta ei voi olla nolla.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Esimerkkikäyttö:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-piste: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Laske z-piste Rustissa
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Keskihajonta ei voi olla nolla.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-piste: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Laske z-piste C#:ssä
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Keskihajonta ei voi olla nolla.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-piste: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Laske z-piste Go:ssa
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("keskihajonta ei voi olla nolla")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-piste: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Laske z-piste Swiftissä
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Keskihajonta ei voi olla nolla.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Esimerkkikäyttö:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-piste: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Viitteet

Standardipiste - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Z-pisteiden ymmärtäminen - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Normaalijakauma ja Z-pisteet - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Lisäresurssit

Interaktiivinen Z-pisteen laskin

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Normaalijakauman visualisointi

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Loading related tools...