Z-Score Calculator for Statistical Analysis and Data Standardization

Z-Score Kalkulator

Uvod

Z-score (ili standardni rezultat) je statistička mjera koja opisuje odnos vrijednosti prema srednjoj vrijednosti grupe vrijednosti. Ukazuje na to koliko je standardnih devijacija element udaljen od srednje vrijednosti. Z-score je ključni alat u statistici, omogućujući standardizaciju različitih skupova podataka i identifikaciju izvanrednih vrijednosti.

Formula

Z-score se izračunava pomoću sljedeće formule:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Gdje:

$z$ = z-score
$x$ = pojedinačna tačka podataka
$\mu$ = srednja vrijednost skupa podataka
$\sigma$ = standardna devijacija skupa podataka

Ova formula izračunava broj standardnih devijacija koje je tačka podataka udaljena od srednje vrijednosti.

Izračun

Da biste izračunali z-score tačke podataka:

Izračunajte Srednju Vrijednost ( $\mu$ ):

Zbrojite sve tačke podataka i podijelite s brojem tačaka podataka.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Izračunajte Standardnu Devijaciju ( $\sigma$ ):
- Varijanca ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Standardna Devijacija:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Izračunajte Z-Score:

Zamijenite vrijednosti u formulu za z-score.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Rubne Situacije

Nulta Standardna Devijacija ( $\sigma = 0$ ):

Kada su sve tačke podataka identične, standardna devijacija je nula, što čini z-score neodređenim jer ne možete dijeliti s nulom. U ovom slučaju, koncept z-score ne važi.
Tačka Podataka Jednaka Srednjoj Vrijednosti ( $x = \mu$ ):

Ako je tačka podataka jednaka srednjoj vrijednosti, z-score je nula, što ukazuje da je tačka tačno prosječna.
Ne-numerički Unosi:

Osigurajte da su svi unosi numerički. Ne-numerički unosi rezultirat će greškama u izračunavanju.

Kumularna Vjerojatnost

Kumularna vjerojatnost povezana sa z-score predstavlja vjerojatnost da će slučajna varijabla iz standardne normalne distribucije biti manja ili jednaka zadatoj vrijednosti. To je površina ispod krive normalne distribucije lijevo od specificiranog z-score.

Matematički, kumularna vjerojatnost $P$ se izračunava koristeći funkciju kumulativne distribucije (CDF) standardne normalne distribucije:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Gdje:

$\Phi(z)$ = CDF standardne normalne distribucije na $z$

Kumularna vjerojatnost je bitna u statistici za određivanje vjerovatnoće da će se vrijednost pojaviti unutar određenog opsega. Široko se koristi u oblastima kao što su kontrola kvaliteta, finansije i društvene nauke.

SVG Dijagram

Ispod se nalazi SVG dijagram koji ilustruje krivu standardne normalne distribucije i z-score:

μ x z

Standardna Normalna Distribucija

Slika: Kriva Standardne Normalne Distribucije sa Z-Score Zasjenjenim

Ovaj dijagram prikazuje krivu normalne distribucije sa srednjom vrijednošću $\mu$ u centru. Zasjenjeno područje predstavlja kumulativnu vjerojatnost do tačke podataka $x$ , koja odgovara z-score.

Upotrebe

Aplikacije

Standardizacija Preko Različitih Skala:

Z-score omogućava usporedbu između podataka iz različitih skala standardizacijom skupova podataka.
Otkrivanje Izvanrednih Vrijednosti:

Identifikacija tačaka podataka koje su značajno udaljene od srednje vrijednosti (npr. z-score manji od -3 ili veći od 3).
Statističko Testiranje:

Koristi se u testiranju hipoteza, uključujući z-testove, za određivanje da li se srednja vrijednost uzorka značajno razlikuje od poznate srednje vrijednosti populacije.
Kontrola Kvaliteta:

U proizvodnji, z-score pomaže u praćenju procesa kako bi se osiguralo da rezultati ostanu unutar prihvatljivih granica.
Finansije i Investicije:

Procjena performansi akcija usporedbom povrata u odnosu na prosječnu tržišnu performansu.

Alternativne Mjere

T-Score:

Sličan z-score-u, ali se koristi kada je veličina uzorka mala i kada je standardna devijacija populacije nepoznata.
Percentilni Rang:

Ukazuje na postotak rezultata u njegovoj frekvencijskoj distribuciji koji su jednaki ili niži od njega.
Jedinične Standardne Devijacije:

Korištenje sirovih vrijednosti standardne devijacije bez standardizacije kao z-scores.

Istorija

Koncept z-score-a potiče od rada na normalnoj distribuciji Carla Friedricha Gaussa početkom 19. veka. Standardna normalna distribucija, koja je temelj z-score-a, dodatno je razvijena od strane statističara kao što su Abraham de Moivre i Pierre-Simon Laplace. Korištenje z-score-a postalo je široko rasprostranjeno s napretkom statističkih metoda u 20. veku, posebno u psihološkom testiranju i kontroli kvaliteta.

Primjeri

Excel

## Izračunajte z-score u Excelu
## Pretpostavljajući da je tačka podataka u ćeliji A2, srednja vrijednost u ćeliji B2, standardna devijacija u ćeliji C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Izračunajte z-score u R
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Standardna devijacija ne može biti nula.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Primjer korištenja:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-score:", z_score))

MATLAB

% Izračunajte z-score u MATLAB-u
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Standardna devijacija ne može biti nula.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Primjer korištenja:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-score: %.2f\n', z);

JavaScript

// Izračunajte z-score u JavaScript-u
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Standardna devijacija ne može biti nula.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Primjer korištenja:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Izračunajte z-score u Pythonu
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Standardna devijacija ne može biti nula.")
    return (x - mu) / sigma

## Primjer korištenja:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-score:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Izračunajte z-score u Javi
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Standardna devijacija ne može biti nula.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Izračunajte z-score u C++
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Standardna devijacija ne može biti nula.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Izračunajte z-score u Ruby
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Standardna devijacija ne može biti nula." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Primjer korištenja:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Izračunajte z-score u PHP
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Standardna devijacija ne može biti nula.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Primjer korištenja:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-score: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Izračunajte z-score u Rustu
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Standardna devijacija ne može biti nula.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Izračunajte z-score u C#
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Standardna devijacija ne može biti nula.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Izračunajte z-score u Go
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("standardna devijacija ne može biti nula")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Izračunajte z-score u Swiftu
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Standardna devijacija ne može biti nula.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Primjer korištenja:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Reference

Standardni Rezultat - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Razumijevanje Z-Scores - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Normalna Distribucija i Z-Scores - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Dodatni Resursi

Interaktivni Z-Score Kalkulator

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Vizualizacija Normalne Distribucije

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Loading related tools...