Z-Score Kalkulátor: Számítsa ki az adatpontok z-score-ját

Z-Score Kalkulátor

Bevezetés

A z-score (vagy standard score) egy statisztikai mérés, amely leírja egy érték kapcsolatát egy értékcsoport átlagával. Megmutatja, hogy hány szórásnyira van egy elem az átlagtól. A z-score kulcsfontosságú eszköz a statisztikában, lehetővé téve különböző adathalmazok standardizálását és a kiugró értékek azonosítását.

Képlet

A z-score a következő képlettel számítható ki:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Ahol:

$z$ = z-score
$x$ = egyedi adatpont
$\mu$ = az adathalmaz átlaga
$\sigma$ = az adathalmaz szórása

Ez a képlet kiszámítja, hogy hány szórásnyira van egy adatpont az átlagtól.

Számítás

A z-score kiszámításához egy adatpontra:

Számítsa ki az átlagot ( $\mu$ ):

Összegezze az összes adatpontot, és ossza el az adatpontok számával.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Számítsa ki a szórást ( $\sigma$ ):
- Variancia ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Szórás:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Számítsa ki a Z-Score-t:

Helyettesítse be az értékeket a z-score képletbe.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Szélsőséges esetek

Nulla szórás ( $\sigma = 0$ ):

Amikor az összes adatpont azonos, a szórás nulla, így a z-score meghatározatlan, mert nem lehet nullával osztani. Ebben az esetben a z-score fogalma nem alkalmazható.
Adatpont egyenlő az átlaggal ( $x = \mu$ ):

Ha az adatpont egyenlő az átlaggal, a z-score nulla, ami azt jelzi, hogy pontosan átlagos.
Nem numerikus bemenetek:

Biztosítsa, hogy az összes bemenet numerikus legyen. A nem numerikus bemenetek számítási hibákat eredményeznek.

Kumulatív valószínűség

A z-score-hoz kapcsolódó kumulatív valószínűség azt a valószínűséget jelenti, hogy egy véletlen változó egy standard normális eloszlásból kisebb vagy egyenlő a megadott értéknél. Ez az érték alatti terület a normális eloszlás görbéjén.

Matematikailag a kumulatív valószínűség $P$ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényének (CDF) segítségével számítható ki:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Ahol:

$\Phi(z)$ = a standard normális eloszlás CDF-je $z$ -nél

A kumulatív valószínűség alapvető fontosságú a statisztikában, hogy meghatározza egy érték előfordulásának valószínűségét egy adott tartományban. Széles körben használják a minőségellenőrzés, a pénzügy és a társadalomtudományok területén.

SVG Diagram

Az alábbiakban egy SVG diagram látható, amely illusztrálja a standard normális eloszlás görbét és a z-score-t:

μ x z

Standard Normális Eloszlás

Ábra: Standard Normális Eloszlás Görbe Z-Score-val Árnyékolva

Ez a diagram a normális eloszlás görbéjét mutatja, az átlag $\mu$ a középpontban. Az árnyékolt terület a kumulatív valószínűséget jelzi az $x$ adatpontig, amely a z-score-hoz kapcsolódik.

Felhasználási esetek

Alkalmazások

Standardizálás Különböző Skálákon:

A z-score-ok lehetővé teszik a különböző skálákon lévő adatok összehasonlítását a halmazok standardizálásával.
Kiugró Értékek Azonosítása:

Azok az adatpontok azonosítása, amelyek jelentősen távol vannak az átlagtól (pl. z-score-ok, amelyek kisebbek -3-nál vagy nagyobbak 3-nál).
Statisztikai Tesztelés:

Használják hipotézis tesztelésben, beleértve a z-teszteket is, hogy meghatározzák, hogy egy minta átlag jelentősen eltér-e egy ismert populációs átlagtól.
Minőségellenőrzés:

A gyártás során a z-score-ok segítenek a folyamatok nyomon követésében, hogy a kimenetek az elfogadható határokon belül maradjanak.
Pénzügy és Befektetés:

A részvények teljesítményének értékelése az átlagos piaci teljesítményhez viszonyítva.

Alternatívák

T-Score:

Hasonló a z-score-hoz, de kis minta esetén használják, amikor a populáció szórása ismeretlen.
Percentilis Rang:

Megmutatja azoknak a pontoknak a százalékát a frekvenciaeloszlásban, amelyek egyenlőek vagy alacsonyabbak nála.
Szórás Egységek:

A nyers szórásértékek használata anélkül, hogy z-score-ként standardizálnánk.

Történelem

A z-score fogalma Carl Friedrich Gauss munkáiból származik a 19. század elején a normális eloszlásról. A standard normális eloszlás, amely alapvető a z-score-okhoz, további statisztikusok, például Abraham de Moivre és Pierre-Simon Laplace által került kidolgozásra. A z-score-ok használata elterjedtté vált a statisztikai módszerek fejlődésével a 20. században, különösen a pszichológiai tesztelés és a minőségellenőrzés területén.

Példák

Excel

1## Z-score kiszámítása Excelben
2## Feltételezve, hogy az adatpont az A2 cellában, az átlag a B2 cellában, a szórás a C2 cellában van
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Z-score kiszámítása R-ben
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("A szórás nem lehet nulla.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Példa használat:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-score:", z_score))
16

MATLAB

1% Z-score kiszámítása MATLAB-ban
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('A szórás nem lehet nulla.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Példa használat:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-score: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Z-score kiszámítása JavaScript-ben
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('A szórás nem lehet nulla.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Példa használat:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Z-score kiszámítása Pythonban
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("A szórás nem lehet nulla.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Példa használat:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-score:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Z-score kiszámítása Java-ban
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("A szórás nem lehet nulla.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Z-score kiszámítása C++-ban
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("A szórás nem lehet nulla.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Z-score kiszámítása Ruby-ban
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "A szórás nem lehet nulla." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Példa használat:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Z-score kiszámítása PHP-ban
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("A szórás nem lehet nulla.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Példa használat:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-score: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Z-score kiszámítása Rust-ban
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("A szórás nem lehet nulla.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Z-score kiszámítása C#-ban
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("A szórás nem lehet nulla.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Z-score kiszámítása Go-ban
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("a szórás nem lehet nulla")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Z-score kiszámítása Swift-ben
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "A szórás nem lehet nulla.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Példa használat:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Hivatkozások

Standard Score - Wikipédia

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
A Z-Scores Megértése - Statisztikai Megoldások

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Normális Eloszlás és Z-Scores - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

További Források

Interaktív Z-Score Kalkulátor

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
A Normális Eloszlás Megjelenítése

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Z-Score Kalkulátor: Számítsa ki az adatpontok z-score-ját

Dokumentáció