Whiz Tools

Z-Score Kalkulátor

Bevezetés

A z-score (vagy standard score) egy statisztikai mérés, amely leírja egy érték kapcsolatát egy értékcsoport átlagával. Megmutatja, hogy hány szórásnyira van egy elem az átlagtól. A z-score kulcsfontosságú eszköz a statisztikában, lehetővé téve különböző adathalmazok standardizálását és a kiugró értékek azonosítását.

Képlet

A z-score a következő képlettel számítható ki:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Ahol:

  • zz = z-score
  • xx = egyedi adatpont
  • μ\mu = az adathalmaz átlaga
  • σ\sigma = az adathalmaz szórása

Ez a képlet kiszámítja, hogy hány szórásnyira van egy adatpont az átlagtól.

Számítás

A z-score kiszámításához egy adatpontra:

  1. Számítsa ki az átlagot (μ\mu):

    Összegezze az összes adatpontot, és ossza el az adatpontok számával.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Számítsa ki a szórást (σ\sigma):

    • Variancia (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Szórás:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Számítsa ki a Z-Score-t:

    Helyettesítse be az értékeket a z-score képletbe.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Szélsőséges esetek

  • Nulla szórás (σ=0\sigma = 0):

    Amikor az összes adatpont azonos, a szórás nulla, így a z-score meghatározatlan, mert nem lehet nullával osztani. Ebben az esetben a z-score fogalma nem alkalmazható.

  • Adatpont egyenlő az átlaggal (x=μx = \mu):

    Ha az adatpont egyenlő az átlaggal, a z-score nulla, ami azt jelzi, hogy pontosan átlagos.

  • Nem numerikus bemenetek:

    Biztosítsa, hogy az összes bemenet numerikus legyen. A nem numerikus bemenetek számítási hibákat eredményeznek.

Kumulatív valószínűség

A z-score-hoz kapcsolódó kumulatív valószínűség azt a valószínűséget jelenti, hogy egy véletlen változó egy standard normális eloszlásból kisebb vagy egyenlő a megadott értéknél. Ez az érték alatti terület a normális eloszlás görbéjén.

Matematikailag a kumulatív valószínűség PP a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényének (CDF) segítségével számítható ki:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Ahol:

  • Φ(z)\Phi(z) = a standard normális eloszlás CDF-je zz-nél

A kumulatív valószínűség alapvető fontosságú a statisztikában, hogy meghatározza egy érték előfordulásának valószínűségét egy adott tartományban. Széles körben használják a minőségellenőrzés, a pénzügy és a társadalomtudományok területén.

SVG Diagram

Az alábbiakban egy SVG diagram látható, amely illusztrálja a standard normális eloszlás görbét és a z-score-t:

μ x z

Standard Normális Eloszlás

Ábra: Standard Normális Eloszlás Görbe Z-Score-val Árnyékolva

Ez a diagram a normális eloszlás görbéjét mutatja, az átlag μ\mu a középpontban. Az árnyékolt terület a kumulatív valószínűséget jelzi az xx adatpontig, amely a z-score-hoz kapcsolódik.

Felhasználási esetek

Alkalmazások

  • Standardizálás Különböző Skálákon:

    A z-score-ok lehetővé teszik a különböző skálákon lévő adatok összehasonlítását a halmazok standardizálásával.

  • Kiugró Értékek Azonosítása:

    Azok az adatpontok azonosítása, amelyek jelentősen távol vannak az átlagtól (pl. z-score-ok, amelyek kisebbek -3-nál vagy nagyobbak 3-nál).

  • Statisztikai Tesztelés:

    Használják hipotézis tesztelésben, beleértve a z-teszteket is, hogy meghatározzák, hogy egy minta átlag jelentősen eltér-e egy ismert populációs átlagtól.

  • Minőségellenőrzés:

    A gyártás során a z-score-ok segítenek a folyamatok nyomon követésében, hogy a kimenetek az elfogadható határokon belül maradjanak.

  • Pénzügy és Befektetés:

    A részvények teljesítményének értékelése az átlagos piaci teljesítményhez viszonyítva.

Alternatívák

  • T-Score:

    Hasonló a z-score-hoz, de kis minta esetén használják, amikor a populáció szórása ismeretlen.

  • Percentilis Rang:

    Megmutatja azoknak a pontoknak a százalékát a frekvenciaeloszlásban, amelyek egyenlőek vagy alacsonyabbak nála.

  • Szórás Egységek:

    A nyers szórásértékek használata anélkül, hogy z-score-ként standardizálnánk.

Történelem

A z-score fogalma Carl Friedrich Gauss munkáiból származik a 19. század elején a normális eloszlásról. A standard normális eloszlás, amely alapvető a z-score-okhoz, további statisztikusok, például Abraham de Moivre és Pierre-Simon Laplace által került kidolgozásra. A z-score-ok használata elterjedtté vált a statisztikai módszerek fejlődésével a 20. században, különösen a pszichológiai tesztelés és a minőségellenőrzés területén.

Példák

Excel

## Z-score kiszámítása Excelben
## Feltételezve, hogy az adatpont az A2 cellában, az átlag a B2 cellában, a szórás a C2 cellában van
=(A2 - B2) / C2

R

## Z-score kiszámítása R-ben
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("A szórás nem lehet nulla.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Példa használat:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-score:", z_score))

MATLAB

% Z-score kiszámítása MATLAB-ban
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('A szórás nem lehet nulla.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Példa használat:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-score: %.2f\n', z);

JavaScript

// Z-score kiszámítása JavaScript-ben
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('A szórás nem lehet nulla.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Példa használat:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Z-score kiszámítása Pythonban
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("A szórás nem lehet nulla.")
    return (x - mu) / sigma

## Példa használat:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-score:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Z-score kiszámítása Java-ban
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("A szórás nem lehet nulla.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Z-score kiszámítása C++-ban
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("A szórás nem lehet nulla.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Z-score kiszámítása Ruby-ban
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "A szórás nem lehet nulla." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Példa használat:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Z-score kiszámítása PHP-ban
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("A szórás nem lehet nulla.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Példa használat:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-score: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Z-score kiszámítása Rust-ban
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("A szórás nem lehet nulla.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Z-score kiszámítása C#-ban
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("A szórás nem lehet nulla.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Z-score kiszámítása Go-ban
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("a szórás nem lehet nulla")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Z-score kiszámítása Swift-ben
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "A szórás nem lehet nulla.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Példa használat:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Hivatkozások

  1. Standard Score - Wikipédia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. A Z-Scores Megértése - Statisztikai Megoldások

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Normális Eloszlás és Z-Scores - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

További Források

Loading related tools...
Feedback