🛠️

Whiz Tools

Build • Create • Innovate

Z-Score Calculator for Statistical Analysis and Standardization

Hitung z-score (skor standar) untuk setiap titik data, menentukan posisinya relatif terhadap rata-rata menggunakan deviasi standar. Ideal untuk analisis statistik dan standardisasi data.

📚

Dokumentasi

Kalkulator Z-Score

Pendahuluan

Z-score (atau skor standar) adalah pengukuran statistik yang menggambarkan hubungan nilai dengan rata-rata dari sekelompok nilai. Ini menunjukkan seberapa banyak deviasi standar sebuah elemen dari rata-rata. Z-score adalah alat yang sangat penting dalam statistik, memungkinkan standarisasi dataset yang berbeda dan identifikasi outlier.

Rumus

Z-score dihitung menggunakan rumus berikut:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Dimana:

  • zz = z-score
  • xx = titik data individu
  • μ\mu = rata-rata dataset
  • σ\sigma = deviasi standar dataset

Rumus ini menghitung jumlah deviasi standar sebuah titik data dari rata-rata.

Perhitungan

Untuk menghitung z-score dari sebuah titik data:

  1. Hitung Rata-rata (μ\mu):

    Jumlahkan semua titik data dan bagi dengan jumlah titik data.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Hitung Deviasi Standar (σ\sigma):

    • Varians (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Deviasi Standar:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Hitung Z-Score:

    Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus z-score.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Kasus Tepi

  • Deviasi Standar Nol (σ=0\sigma = 0):

    Ketika semua titik data identik, deviasi standar adalah nol, menjadikan z-score tidak terdefinisi karena Anda tidak dapat membagi dengan nol. Dalam hal ini, konsep z-score tidak berlaku.

  • Titik Data Sama dengan Rata-rata (x=μx = \mu):

    Jika titik data sama dengan rata-rata, z-score adalah nol, menunjukkan bahwa itu persis rata-rata.

  • Input Non-Numerik:

    Pastikan semua input bersifat numerik. Input non-numerik akan mengakibatkan kesalahan perhitungan.

Probabilitas Kumulatif

Probabilitas kumulatif yang terkait dengan z-score mewakili probabilitas bahwa variabel acak dari distribusi normal standar akan kurang dari atau sama dengan nilai yang diberikan. Ini adalah area di bawah kurva distribusi normal di sebelah kiri z-score yang ditentukan.

Secara matematis, probabilitas kumulatif PP dihitung menggunakan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi normal standar:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Dimana:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF dari distribusi normal standar pada zz

Probabilitas kumulatif sangat penting dalam statistik untuk menentukan kemungkinan sebuah nilai terjadi dalam rentang tertentu. Ini banyak digunakan di bidang seperti kontrol kualitas, keuangan, dan ilmu sosial.

Diagram SVG

Di bawah ini adalah diagram SVG yang menggambarkan kurva distribusi normal standar dan z-score:

μ x z

Distribusi Normal Standar

Gambar: Kurva Distribusi Normal dengan Z-Score yang Diterangi

Diagram ini menunjukkan kurva distribusi normal dengan rata-rata μ\mu di tengah. Area yang diterangi mewakili probabilitas kumulatif hingga titik data xx, yang sesuai dengan z-score.

Kasus Penggunaan

Aplikasi

  • Standarisasi di Berbagai Skala:

    Z-score memungkinkan perbandingan antara data dari skala yang berbeda dengan menstandarkan dataset.

  • Deteksi Outlier:

    Mengidentifikasi titik data yang sangat jauh dari rata-rata (misalnya, z-score kurang dari -3 atau lebih dari 3).

  • Pengujian Statistik:

    Digunakan dalam pengujian hipotesis, termasuk uji-z, untuk menentukan apakah rata-rata sampel berbeda secara signifikan dari rata-rata populasi yang diketahui.

  • Kontrol Kualitas:

    Dalam manufaktur, z-score membantu memantau proses untuk memastikan hasil tetap dalam batas yang dapat diterima.

  • Keuangan dan Investasi:

    Menilai kinerja saham dengan membandingkan pengembalian relatif terhadap kinerja rata-rata pasar.

Alternatif

  • T-Skor:

    Mirip dengan z-score tetapi digunakan ketika ukuran sampel kecil dan deviasi standar populasi tidak diketahui.

  • Peringkat Persentil:

    Menunjukkan persentase skor dalam distribusi frekuensinya yang sama dengan atau lebih rendah darinya.

  • Unit Deviasi Standar:

    Menggunakan nilai deviasi standar mentah tanpa menstandarkan sebagai z-score.

Sejarah

Konsep z-score berasal dari karya tentang distribusi normal oleh Carl Friedrich Gauss pada awal abad ke-19. Distribusi normal standar, yang mendasar bagi z-score, dikembangkan lebih lanjut oleh para ahli statistik seperti Abraham de Moivre dan Pierre-Simon Laplace. Penggunaan z-score menjadi luas dengan kemajuan metode statistik pada abad ke-20, terutama dalam pengujian psikologis dan kontrol kualitas.

Contoh

Excel

1## Hitung z-score di Excel
2## Mengasumsikan titik data di sel A2, rata-rata di sel B2, deviasi standar di sel C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Hitung z-score di R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Deviasi standar tidak dapat nol.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Contoh penggunaan:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-score:", z_score))
16

MATLAB

1% Hitung z-score di MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Deviasi standar tidak dapat nol.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Contoh penggunaan:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-score: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Hitung z-score di JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Deviasi standar tidak dapat nol.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Contoh penggunaan:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Hitung z-score di Python
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Deviasi standar tidak dapat nol.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Contoh penggunaan:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-score:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Hitung z-score di Java
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Deviasi standar tidak dapat nol.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Hitung z-score di C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Deviasi standar tidak dapat nol.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Hitung z-score di Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Deviasi standar tidak dapat nol." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Contoh penggunaan:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Hitung z-score di PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Deviasi standar tidak dapat nol.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Contoh penggunaan:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-score: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Hitung z-score di Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Deviasi standar tidak dapat nol.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Hitung z-score di C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Deviasi standar tidak dapat nol.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Hitung z-score di Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("deviasi standar tidak dapat nol")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Hitung z-score di Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Deviasi standar tidak dapat nol.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Contoh penggunaan:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Referensi

  1. Skor Standar - Wikipedia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Memahami Z-Scores - Solusi Statistik

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Distribusi Normal dan Z-Scores - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Sumber Daya Tambahan

🔗

Alat Terkait

Temukan lebih banyak alat yang mungkin berguna untuk alur kerja Anda

Z-Test Calculator: Perform One-Sample Tests Easily

Coba alat ini

Altman Z-Score Calculator for Credit Risk Assessment

Coba alat ini

Kalkulator T-Test: Uji Statistik untuk Analisis Data

Coba alat ini

Raw Score Calculator for Statistical Analysis and Interpretation

Coba alat ini

Critical Value Calculator for Statistical Tests and Analysis

Coba alat ini

Box Plot Calculator for Visual Data Analysis and Insights

Coba alat ini

Kalkulator Signifikansi Statistik untuk A/B Test Anda

Coba alat ini

Pengonversi Interval Kepercayaan ke Deviasi Standar

Coba alat ini

Kalkulator Six Sigma: Ukur Kualitas Proses Anda

Coba alat ini