Calcolatore Z-Score per Analisi Statistica e Standardizzazione

Calcolatore Z-Score

Introduzione

Lo z-score (o punteggio standard) è una misura statistica che descrive la relazione di un valore rispetto alla media di un gruppo di valori. Indica quante deviazioni standard un elemento si discosta dalla media. Lo z-score è uno strumento cruciale in statistica, che consente la standardizzazione di diversi set di dati e l'identificazione di valori anomali.

Formula

Lo z-score viene calcolato utilizzando la seguente formula:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Dove:

$z$ = z-score
$x$ = punto dati individuale
$\mu$ = media del set di dati
$\sigma$ = deviazione standard del set di dati

Questa formula calcola il numero di deviazioni standard di un punto dati dalla media.

Calcolo

Per calcolare lo z-score di un punto dati:

Calcolare la Media ( $\mu$ ):

Somma tutti i punti dati e dividi per il numero di punti dati.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Calcolare la Deviazione Standard ( $\sigma$ ):
- Varianza ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Deviazione Standard:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Calcolare lo Z-Score:

Sostituisci i valori nella formula dello z-score.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Casi Limite

Deviazione Standard Zero ( $\sigma = 0$ ):

Quando tutti i punti dati sono identici, la deviazione standard è zero, rendendo lo z-score indefinito perché non puoi dividere per zero. In questo caso, il concetto di z-score non si applica.
Punto Dati Uguale alla Media ( $x = \mu$ ):

Se il punto dati è uguale alla media, lo z-score è zero, indicando che è esattamente nella media.
Input Non Numerici:

Assicurati che tutti gli input siano numerici. Gli input non numerici causeranno errori di calcolo.

Probabilità Cumulativa

La probabilità cumulativa associata a uno z-score rappresenta la probabilità che una variabile casuale di una distribuzione normale standard sia minore o uguale al valore dato. È l'area sotto la curva di distribuzione normale a sinistra dello z-score specificato.

Matematicamente, la probabilità cumulativa $P$ viene calcolata utilizzando la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) della distribuzione normale standard:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Dove:

$\Phi(z)$ = CDF della distribuzione normale standard a $z$

La probabilità cumulativa è essenziale in statistica per determinare la probabilità che un valore si verifichi all'interno di un certo intervallo. È ampiamente utilizzata in campi come il controllo qualità, la finanza e le scienze sociali.

Diagramma SVG

Di seguito è riportato un diagramma SVG che illustra la curva di distribuzione normale standard e lo z-score:

μ x z

Distribuzione Normale Standard

Figura: Curva di Distribuzione Normale Standard con Z-Score Ombreggiato

Questo diagramma mostra la curva di distribuzione normale con la media $\mu$ al centro. L'area ombreggiata rappresenta la probabilità cumulativa fino al punto dati $x$ , corrispondente allo z-score.

Casi d'Uso

Applicazioni

Standardizzazione tra Scale Diverse:

Gli z-score consentono il confronto tra dati provenienti da scale diverse standardizzando i set di dati.
Identificazione di Valori Anomali:

Identificazione di punti dati che si discostano significativamente dalla media (ad es., z-score inferiori a -3 o superiori a 3).
Test Statistici:

Utilizzati nei test di ipotesi, inclusi i test z, per determinare se una media campionaria si discosta significativamente da una media di popolazione nota.
Controllo Qualità:

Nella produzione, gli z-score aiutano a monitorare i processi per garantire che i risultati rimangano entro limiti accettabili.
Finanza e Investimenti:

Valutazione delle performance azionarie confrontando i rendimenti rispetto alla performance media del mercato.

Alternative

T-Score:

Simile allo z-score ma utilizzato quando la dimensione del campione è piccola e la deviazione standard della popolazione è sconosciuta.
Classifica Percentile:

Indica la percentuale di punteggi nella sua distribuzione di frequenza che sono uguali o inferiori ad esso.
Unità di Deviazione Standard:

Utilizzo dei valori di deviazione standard grezzi senza standardizzazione come z-score.

Storia

Il concetto di z-score deriva dal lavoro sulla distribuzione normale di Carl Friedrich Gauss all'inizio del XIX secolo. La distribuzione normale standard, fondamentale per gli z-score, è stata ulteriormente sviluppata da statistici come Abraham de Moivre e Pierre-Simon Laplace. L'uso degli z-score è diventato ampiamente diffuso con l'avanzamento dei metodi statistici nel XX secolo, in particolare nei test psicologici e nel controllo qualità.

Esempi

Excel

1## Calcolare z-score in Excel
2## Supponendo che il punto dati sia nella cella A2, la media nella cella B2, la deviazione standard nella cella C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Calcolare z-score in R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("La deviazione standard non può essere zero.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Esempio di utilizzo:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-score:", z_score))
16

MATLAB

1% Calcolare z-score in MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('La deviazione standard non può essere zero.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Esempio di utilizzo:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-score: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Calcolare z-score in JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('La deviazione standard non può essere zero.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Esempio di utilizzo:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Calcolare z-score in Python
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("La deviazione standard non può essere zero.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Esempio di utilizzo:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-score:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Calcolare z-score in Java
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("La deviazione standard non può essere zero.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Calcolare z-score in C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("La deviazione standard non può essere zero.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Calcolare z-score in Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "La deviazione standard non può essere zero." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Esempio di utilizzo:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Calcolare z-score in PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("La deviazione standard non può essere zero.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Esempio di utilizzo:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-score: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Calcolare z-score in Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("La deviazione standard non può essere zero.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Calcolare z-score in C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("La deviazione standard non può essere zero.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Calcolare z-score in Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("la deviazione standard non può essere zero")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Calcolare z-score in Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "La deviazione standard non può essere zero.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Esempio di utilizzo:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Riferimenti

Punteggio Standard - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Comprendere gli Z-Scores - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Distribuzione Normale e Z-Scores - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Risorse Aggiuntive

Calcolatore Z-Score Interattivo

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Visualizzare la Distribuzione Normale

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Calcolatore Z-Score per Analisi Statistica e Standardizzazione

Documentazione