Z-점수 계산기: 데이터 포인트의 표준 점수 계산

Z-점수 계산기

소개

z-점수(또는 표준 점수)는 값이 값 그룹의 평균과 어떤 관계가 있는지를 설명하는 통계적 측정입니다. 이는 요소가 평균으로부터 몇 개의 표준 편차만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다. z-점수는 통계에서 중요한 도구로, 서로 다른 데이터 세트를 표준화하고 이상치를 식별하는 데 사용됩니다.

공식

z-점수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

어디서:

$z$ = z-점수
$x$ = 개별 데이터 포인트
$\mu$ = 데이터 세트의 평균
$\sigma$ = 데이터 세트의 표준 편차

이 공식은 데이터 포인트가 평균으로부터 몇 개의 표준 편차인지를 계산합니다.

계산

데이터 포인트의 z-점수를 계산하려면:

평균( $\mu$ ) 계산:

모든 데이터 포인트를 합산하고 데이터 포인트 수로 나눕니다.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
표준 편차( $\sigma$ ) 계산:
- 분산( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- 표준 편차:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
z-점수 계산:

z-점수 공식에 값을 대입합니다.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

엣지 케이스

표준 편차가 0인 경우 ( $\sigma = 0$ ):

모든 데이터 포인트가 동일할 때 표준 편차는 0이 되어 z-점수가 정의되지 않습니다. 이 경우 z-점수 개념이 적용되지 않습니다.
데이터 포인트가 평균과 같은 경우 ( $x = \mu$ ):

데이터 포인트가 평균과 같으면 z-점수는 0이 되어 평균과 정확히 같음을 나타냅니다.
비숫자 입력:

모든 입력이 숫자인지 확인하십시오. 비숫자 입력은 계산 오류를 초래합니다.

누적 확률

z-점수와 관련된 누적 확률은 표준 정규 분포에서 무작위 변수가 주어진 값보다 작거나 같을 확률을 나타냅니다. 이는 지정된 z-점수의 왼쪽에 있는 정규 분포 곡선 아래의 면적입니다.

수학적으로 누적 확률 $P$ 는 표준 정규 분포의 누적 분포 함수(CDF)를 사용하여 계산됩니다:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

어디서:

$\Phi(z)$ = z에서의 표준 정규 분포의 CDF

누적 확률은 특정 범위 내에서 값이 발생할 가능성을 결정하는 데 통계에서 필수적입니다. 품질 관리, 금융 및 사회 과학과 같은 분야에서 널리 사용됩니다.

SVG 다이어그램

아래는 표준 정규 분포 곡선과 z-점수를 설명하는 SVG 다이어그램입니다:

μ x z

표준 정규 분포

그림: z-점수가 음영 처리된 표준 정규 분포 곡선

이 다이어그램은 중앙에 평균 $\mu$ 가 있는 정규 분포 곡선을 보여줍니다. 음영 처리된 영역은 z-점수에 해당하는 데이터 포인트 $x$ 까지의 누적 확률을 나타냅니다.

사용 사례

응용 프로그램

서로 다른 척도 간의 표준화:

z-점수는 데이터 세트를 표준화하여 서로 다른 척도에서의 비교를 가능하게 합니다.
이상치 탐지:

평균에서 상당히 멀리 떨어진 데이터 포인트 식별(예: z-점수가 -3보다 작거나 3보다 큰 경우).
통계적 테스트:

z-테스트를 포함한 가설 테스트에서 사용되어 샘플 평균이 알려진 모집단 평균과 유의미하게 다른지를 결정합니다.
품질 관리:

제조에서 z-점수는 출력이 허용 가능한 한계 내에 유지되도록 프로세스를 모니터링하는 데 도움을 줍니다.
재무 및 투자:

평균 시장 성과에 비해 주식 성과를 평가합니다.

대안

t-점수:

z-점수와 유사하지만 샘플 크기가 작고 모집단 표준 편차가 알려지지 않은 경우에 사용됩니다.
백분위수 순위:

빈도 분포에서 자신보다 같거나 낮은 점수의 비율을 나타냅니다.
표준 편차 단위:

z-점수로 표준화하지 않고 원시 표준 편차 값을 사용하는 것입니다.

역사

z-점수 개념은 19세기 초 칼 프리드리히 가우스의 정규 분포에 대한 작업에서 유래되었습니다. z-점수의 기초가 되는 표준 정규 분포는 아브라함 드 무아브르와 피에르-시몽 라플라스와 같은 통계학자들에 의해 더욱 발전되었습니다. z-점수의 사용은 20세기 통계 방법의 발전과 함께 심리 테스트 및 품질 관리에서 널리 퍼졌습니다.

예시

Excel

## Excel에서 z-점수 계산
## A2 셀에 데이터 포인트, B2 셀에 평균, C2 셀에 표준 편차가 있다고 가정
=(A2 - B2) / C2

R

## R에서 z-점수 계산
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("표준 편차는 0이 될 수 없습니다.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## 사용 예:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-점수:", z_score))

MATLAB

% MATLAB에서 z-점수 계산
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('표준 편차는 0이 될 수 없습니다.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% 사용 예:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-점수: %.2f\n', z);

JavaScript

// JavaScript에서 z-점수 계산
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('표준 편차는 0이 될 수 없습니다.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// 사용 예:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-점수: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Python에서 z-점수 계산
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("표준 편차는 0이 될 수 없습니다.")
    return (x - mu) / sigma

## 사용 예:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-점수:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Java에서 z-점수 계산
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("표준 편차는 0이 될 수 없습니다.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-점수: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// C++에서 z-점수 계산
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("표준 편차는 0이 될 수 없습니다.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-점수: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Ruby에서 z-점수 계산
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "표준 편차는 0이 될 수 없습니다." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## 사용 예:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-점수: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// PHP에서 z-점수 계산
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("표준 편차는 0이 될 수 없습니다.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// 사용 예:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-점수: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Rust에서 z-점수 계산
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("표준 편차는 0이 될 수 없습니다.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-점수: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// C#에서 z-점수 계산
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("표준 편차는 0이 될 수 없습니다.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-점수: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Go에서 z-점수 계산
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("표준 편차는 0이 될 수 없습니다.")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-점수: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Swift에서 z-점수 계산
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "표준 편차는 0이 될 수 없습니다.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// 사용 예:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-점수: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

참고 문헌

표준 점수 - 위키백과

https://ko.wikipedia.org/wiki/표준_점수
Z-점수 이해하기 - 통계 솔루션

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
정규 분포 및 Z-점수 - 칸 아카데미

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

추가 자료

인터랙티브 Z-점수 계산기

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
정규 분포 시각화

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

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