Whiz Tools

Z-स्कोअर कॅल्क्युलेटर

परिचय

z-स्कोअर (किंवा मानक स्कोअर) एक सांख्यिकीय मापन आहे जे एका मूल्याचा समूहातील सरासरीशी संबंध दर्शवते. हे दर्शवते की एक घटक सरासरीपासून किती मानक विचलनांवर आहे. z-स्कोअर सांख्यिकीमध्ये एक महत्त्वाचे साधन आहे, जे विविध डेटासेट्सचे मानकीकरण करण्यास आणि बाहेरच्या घटकांची ओळख करण्यास मदत करते.

सूत्र

z-स्कोअर खालील सूत्राचा वापर करून गणना केली जाते:

z=xμσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

जिथे:

  • zz = z-स्कोअर
  • xx = वैयक्तिक डेटा बिंदू
  • μ\mu = डेटासेटची सरासरी
  • σ\sigma = डेटासेटचा मानक विचलन

हे सूत्र दर्शवते की एक डेटा बिंदू सरासरीपासून किती मानक विचलनांवर आहे.

गणना

एक डेटा बिंदूचा z-स्कोअर गणना करण्यासाठी:

  1. सरासरी (μ\mu) गणना करा:

    सर्व डेटा बिंदूंचा एकत्रित करून डेटा बिंदूंच्या संख्येने भागा.

    μ=i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
  2. मानक विचलन (σ\sigma) गणना करा:

    • विविधता (σ2\sigma^2):

      σ2=i=1n(xiμ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}
    • मानक विचलन:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}
  3. z-स्कोअर गणना करा:

    z-स्कोअर सूत्रात मूल्ये भरा.

    z=xμσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

काठाच्या प्रकरणे

  • शून्य मानक विचलन (σ=0\sigma = 0):

    जेव्हा सर्व डेटा बिंदू समान असतात, तेव्हा मानक विचलन शून्य असते, ज्यामुळे z-स्कोअर अनिर्धारित होते कारण आपण शून्यावर भाग देऊ शकत नाही. या प्रकरणात, z-स्कोअरचा संकल्पना लागू होत नाही.

  • सरासरीसमान डेटा बिंदू (x=μx = \mu):

    जर डेटा बिंदू सरासरीसमान असेल, तर z-स्कोअर शून्य आहे, जे दर्शवते की तो अगदी सरासरी आहे.

  • गैर-सांख्यिकीय इनपुट:

    सर्व इनपुट्स सांख्यिकीय असणे आवश्यक आहे. गैर-सांख्यिकीय इनपुट्स गणनात्मक त्रुटी निर्माण करतील.

संचयी संभाव्यता

z-स्कोअरशी संबंधित संचयी संभाव्यता दर्शवते की मानक सामान्य वितरणातून एक यादृच्छिक चलक मूल्य दिलेल्या मूल्यापेक्षा कमी किंवा समान असण्याची संभाव्यता आहे. हे सामान्य वितरण वक्राच्या त्या z-स्कोअरच्या निश्चित केलेल्या बिंदूपर्यंतच्या डाव्या भागातील क्षेत्र आहे.

गणितीयदृष्ट्या, संचयी संभाव्यता PP मानक सामान्य वितरणाच्या संचयी वितरण कार्य (CDF) चा वापर करून गणना केली जाते:

P(Zz)=Φ(z)=12πzet2/2dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

जिथे:

  • Φ(z)\Phi(z) = z वर मानक सामान्य वितरणाचे CDF

संचयी संभाव्यता सांख्यिकीमध्ये एक मूल्य एका विशिष्ट श्रेणीत येण्याची शक्यता ठरवण्यासाठी महत्त्वाची आहे. हे गुणवत्ता नियंत्रण, वित्त आणि सामाजिक विज्ञान यांसारख्या क्षेत्रांमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.

SVG चित्र

खाली एक SVG चित्र आहे जे मानक सामान्य वितरण वक्र आणि z-स्कोअर दर्शवते:

μ x z

मानक सामान्य वितरण

चित्र: z-स्कोअर सह मानक सामान्य वितरण वक्र

हे चित्र सामान्य वितरण वक्र दर्शवते ज्यामध्ये सरासरी μ\mu मध्यभागी आहे. छाटलेला भाग डेटा बिंदू xx पर्यंतच्या संचयी संभाव्यतेचे प्रतिनिधित्व करतो, जो z-स्कोअरशी संबंधित आहे.

वापर प्रकरणे

अनुप्रयोग

  • विविध स्केलवर मानकीकरण:

    z-स्कोअर विविध स्केलमधील डेटा तुलनासाठी मानकीकरण करण्यास मदत करतात.

  • बाहेरच्या घटकांची ओळख:

    सरासरीपासून महत्त्वाने दूर असलेल्या डेटा बिंदूंची ओळख करणे (उदा., z-स्कोअर -3 पेक्षा कमी किंवा 3 पेक्षा जास्त).

  • सांख्यिकी चाचणी:

    नमुना सरासरी एका ज्ञात लोकसंख्येच्या सरासरीसह महत्त्वाने भिन्न आहे का हे ठरवण्यासाठी z-चाचण्यांमध्ये वापरले जाते.

  • गुणवत्ता नियंत्रण:

    उत्पादनात, z-स्कोअर प्रक्रियांचे निरीक्षण करण्यास मदत करतात जेणेकरून उत्पादन स्वीकार्य मर्यादांमध्ये राहील.

  • वित्त आणि गुंतवणूक:

    सरासरी बाजाराच्या कार्यक्षमतेच्या तुलनेत स्टॉक कार्यक्षमता मूल्यांकन करणे.

पर्याय

  • T-स्कोअर:

    z-स्कोअरसारखा परंतु लहान नमुना आकार असताना आणि लोकसंख्येचा मानक विचलन अनिश्चित असताना वापरला जातो.

  • प्रतिशत रँक:

    त्याच्या वारंवारता वितरणात समान किंवा कमी असलेल्या स्कोअरच्या टक्केवारीचे दर्शवते.

  • मानक विचलन युनिट्स:

    z-स्कोअर म्हणून मानकीकरण न करता कच्च्या मानक विचलन मूल्यांचा वापर करणे.

इतिहास

z-स्कोअरचा संकल्पना 19 व्या शतकाच्या सुरुवातीस कार्ल फ्रेडरिक गॉसच्या सामान्य वितरणावरच्या कामातून उगम पावला. z-स्कोअरच्या मूलभूत मानक सामान्य वितरणाचे अधिक विकास अब्राहम डी मोइव्हर आणि पियरे-सायमन लाप्लास यांनी केले. 20 व्या शतकात सांख्यिकी पद्धतींच्या प्रगतीसह z-स्कोअरचा वापर व्यापक झाला, विशेषतः मनोवैज्ञानिक चाचण्यांमध्ये आणि गुणवत्ता नियंत्रणात.

उदाहरणे

Excel

## Excel मध्ये z-स्कोअर गणना करा
## डेटा बिंदू A2 मध्ये, सरासरी B2 मध्ये, मानक विचलन C2 मध्ये
=(A2 - B2) / C2

R

## R मध्ये z-स्कोअर गणना करा
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## उदाहरण वापर:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-स्कोअर:", z_score))

MATLAB

% MATLAB मध्ये z-स्कोअर गणना करा
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% उदाहरण वापर:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-स्कोअर: %.2f\n', z);

JavaScript

// JavaScript मध्ये z-स्कोअर गणना करा
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// उदाहरण वापर:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-स्कोअर: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Python मध्ये z-स्कोअर गणना करा
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.")
    return (x - mu) / sigma

## उदाहरण वापर:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-स्कोअर:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Java मध्ये z-स्कोअर गणना करा
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-स्कोअर: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// C++ मध्ये z-स्कोअर गणना करा
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-स्कोअर: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Ruby मध्ये z-स्कोअर गणना करा
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "मानक विचलन शून्य असू शकत नाही." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## उदाहरण वापर:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-स्कोअर: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// PHP मध्ये z-स्कोअर गणना करा
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// उदाहरण वापर:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-स्कोअर: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Rust मध्ये z-स्कोअर गणना करा
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-स्कोअर: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// C# मध्ये z-स्कोअर गणना करा
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-स्कोअर: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Go मध्ये z-स्कोअर गणना करा
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("मानक विचलन शून्य असू शकत नाही")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-स्कोअर: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Swift मध्ये z-स्कोअर गणना करा
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "मानक विचलन शून्य असू शकत नाही.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// उदाहरण वापर:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-स्कोअर: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

संदर्भ

  1. मानक स्कोअर - विकिपीडिया

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Z-स्कोअर्स समजून घेणे - सांख्यिकी उपाय

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. मानक वितरण आणि z-स्कोअर्स - खान अकादमी

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

अतिरिक्त संसाधने

Loading related tools...
Feedback