Whiz Tools

Kalkulator Z-Score

Wprowadzenie

Z-score (lub wynik standardowy) to miara statystyczna, która opisuje związek wartości z średnią grupy wartości. Wskazuje, ile odchyleń standardowych element znajduje się od średniej. Z-score jest kluczowym narzędziem w statystyce, umożliwiającym standaryzację różnych zestawów danych oraz identyfikację wartości odstających.

Wzór

Z-score oblicza się za pomocą następującego wzoru:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Gdzie:

  • zz = z-score
  • xx = pojedynczy punkt danych
  • μ\mu = średnia zestawu danych
  • σ\sigma = odchylenie standardowe zestawu danych

Ten wzór oblicza liczbę odchyleń standardowych, jakie punkt danych znajduje się od średniej.

Obliczenia

Aby obliczyć z-score punktu danych:

  1. Oblicz średnią (μ\mu):

    Zsumuj wszystkie punkty danych i podziel przez liczbę punktów danych.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Oblicz odchylenie standardowe (σ\sigma):

    • Wariancja (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Odchylenie standardowe:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Oblicz Z-Score:

    Podstaw wartości do wzoru na z-score.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Przypadki brzegowe

  • Zero odchylenia standardowego (σ=0\sigma = 0):

    Gdy wszystkie punkty danych są identyczne, odchylenie standardowe wynosi zero, co sprawia, że z-score jest nieokreślony, ponieważ nie można dzielić przez zero. W tym przypadku koncepcja z-score nie ma zastosowania.

  • Punkt danych równy średniej (x=μx = \mu):

    Jeśli punkt danych jest równy średniej, z-score wynosi zero, co wskazuje, że jest dokładnie przeciętny.

  • Dane wejściowe nienumeryczne:

    Upewnij się, że wszystkie dane wejściowe są numeryczne. Nienumeryczne dane wejściowe spowodują błędy w obliczeniach.

Prawdopodobieństwo skumulowane

Prawdopodobieństwo skumulowane związane z z-score reprezentuje prawdopodobieństwo, że zmienna losowa z rozkładu normalnego standardowego będzie mniejsza lub równa danej wartości. To pole pod krzywą rozkładu normalnego po lewej stronie określonego z-score.

Matematycznie, prawdopodobieństwo skumulowane PP oblicza się za pomocą funkcji rozkładu skumulowanego (CDF) rozkładu normalnego standardowego:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Gdzie:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF rozkładu normalnego standardowego przy zz

Prawdopodobieństwo skumulowane jest istotne w statystyce do określenia prawdopodobieństwa wystąpienia wartości w określonym zakresie. Jest szeroko stosowane w takich dziedzinach jak kontrola jakości, finanse i nauki społeczne.

Diagram SVG

Poniżej znajduje się diagram SVG ilustrujący krzywą rozkładu normalnego standardowego oraz z-score:

μ x z

Rozkład normalny standardowy

Rysunek: Krzywa rozkładu normalnego standardowego z cieniowanym Z-Score

Diagram ten pokazuje krzywą rozkładu normalnego z średnią μ\mu w centrum. Cieniowany obszar reprezentuje prawdopodobieństwo skumulowane do punktu danych xx, odpowiadającego z-score.

Przykłady zastosowań

Aplikacje

  • Standaryzacja w różnych skalach:

    Z-scores umożliwiają porównanie danych z różnych skal poprzez standaryzację zestawów danych.

  • Wykrywanie wartości odstających:

    Identyfikacja punktów danych, które są znacznie oddalone od średniej (np. z-scores mniejsze niż -3 lub większe niż 3).

  • Testy statystyczne:

    Używane w testach hipotez, w tym testach z, aby określić, czy średnia próbki znacząco różni się od znanej średniej populacji.

  • Kontrola jakości:

    W produkcji z-scores pomagają monitorować procesy, aby zapewnić, że wyniki mieszczą się w akceptowalnych granicach.

  • Finanse i inwestycje:

    Ocena wyników akcji poprzez porównanie zwrotów w stosunku do średnich wyników rynku.

Alternatywy

  • T-Score:

    Podobny do z-score, ale używany, gdy rozmiar próbki jest mały, a odchylenie standardowe populacji jest nieznane.

  • Ranga percentylowa:

    Wskazuje procent wyników w rozkładzie częstotliwości, które są równe lub niższe od niego.

  • Jednostki odchylenia standardowego:

    Używanie surowych wartości odchylenia standardowego bez standaryzacji jako z-scores.

Historia

Koncepcja z-score wywodzi się z prac nad rozkładem normalnym autorstwa Carla Friedricha Gaussa na początku XIX wieku. Rozkład normalny standardowy, fundamentalny dla z-scores, był dalej rozwijany przez statystyków takich jak Abraham de Moivre i Pierre-Simon Laplace. Użycie z-score stało się powszechne wraz z rozwojem metod statystycznych w XX wieku, szczególnie w testach psychologicznych i kontroli jakości.

Przykłady

Excel

## Oblicz z-score w Excelu
## Zakładając, że punkt danych w komórce A2, średnia w komórce B2, odchylenie standardowe w komórce C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Oblicz z-score w R
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Odchylenie standardowe nie może być zerem.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Przykład użycia:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-score:", z_score))

MATLAB

% Oblicz z-score w MATLAB
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Odchylenie standardowe nie może być zerem.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Przykład użycia:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-score: %.2f\n', z);

JavaScript

// Oblicz z-score w JavaScript
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Odchylenie standardowe nie może być zerem.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Przykład użycia:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Oblicz z-score w Pythonie
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Odchylenie standardowe nie może być zerem.")
    return (x - mu) / sigma

## Przykład użycia:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-score:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Oblicz z-score w Javie
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Odchylenie standardowe nie może być zerem.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Oblicz z-score w C++
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Odchylenie standardowe nie może być zerem.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Oblicz z-score w Ruby
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Odchylenie standardowe nie może być zerem." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Przykład użycia:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Oblicz z-score w PHP
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Odchylenie standardowe nie może być zerem.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Przykład użycia:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-score: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Oblicz z-score w Rust
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Odchylenie standardowe nie może być zerem.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Oblicz z-score w C#
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Odchylenie standardowe nie może być zerem.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Oblicz z-score w Go
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("odchylenie standardowe nie może być zerem")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Oblicz z-score w Swift
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Odchylenie standardowe nie może być zerem.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Przykład użycia:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Źródła

  1. Wynik standardowy - Wikipedia

    https://pl.wikipedia.org/wiki/Wynik_standardowy

  2. Zrozumienie Z-Scores - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Rozkład normalny i Z-Scores - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Dodatkowe zasoby

Loading related tools...
Feedback