Kalkulator Z-Score: Oblicz Wynik Standardowy dla Danych

Kalkulator Z-Score

Wprowadzenie

Z-score (lub wynik standardowy) to miara statystyczna, która opisuje związek wartości z średnią grupy wartości. Wskazuje, ile odchyleń standardowych element znajduje się od średniej. Z-score jest kluczowym narzędziem w statystyce, umożliwiającym standaryzację różnych zestawów danych oraz identyfikację wartości odstających.

Wzór

Z-score oblicza się za pomocą następującego wzoru:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Gdzie:

$z$ = z-score
$x$ = pojedynczy punkt danych
$\mu$ = średnia zestawu danych
$\sigma$ = odchylenie standardowe zestawu danych

Ten wzór oblicza liczbę odchyleń standardowych, jakie punkt danych znajduje się od średniej.

Obliczenia

Aby obliczyć z-score punktu danych:

Oblicz średnią ( $\mu$ ):

Zsumuj wszystkie punkty danych i podziel przez liczbę punktów danych.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Oblicz odchylenie standardowe ( $\sigma$ ):
- Wariancja ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Odchylenie standardowe:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Oblicz Z-Score:

Podstaw wartości do wzoru na z-score.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Przypadki brzegowe

Zero odchylenia standardowego ( $\sigma = 0$ ):

Gdy wszystkie punkty danych są identyczne, odchylenie standardowe wynosi zero, co sprawia, że z-score jest nieokreślony, ponieważ nie można dzielić przez zero. W tym przypadku koncepcja z-score nie ma zastosowania.
Punkt danych równy średniej ( $x = \mu$ ):

Jeśli punkt danych jest równy średniej, z-score wynosi zero, co wskazuje, że jest dokładnie przeciętny.
Dane wejściowe nienumeryczne:

Upewnij się, że wszystkie dane wejściowe są numeryczne. Nienumeryczne dane wejściowe spowodują błędy w obliczeniach.

Prawdopodobieństwo skumulowane

Prawdopodobieństwo skumulowane związane z z-score reprezentuje prawdopodobieństwo, że zmienna losowa z rozkładu normalnego standardowego będzie mniejsza lub równa danej wartości. To pole pod krzywą rozkładu normalnego po lewej stronie określonego z-score.

Matematycznie, prawdopodobieństwo skumulowane $P$ oblicza się za pomocą funkcji rozkładu skumulowanego (CDF) rozkładu normalnego standardowego:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Gdzie:

$\Phi(z)$ = CDF rozkładu normalnego standardowego przy $z$

Prawdopodobieństwo skumulowane jest istotne w statystyce do określenia prawdopodobieństwa wystąpienia wartości w określonym zakresie. Jest szeroko stosowane w takich dziedzinach jak kontrola jakości, finanse i nauki społeczne.

Diagram SVG

Poniżej znajduje się diagram SVG ilustrujący krzywą rozkładu normalnego standardowego oraz z-score:

μ x z

Rozkład normalny standardowy

Rysunek: Krzywa rozkładu normalnego standardowego z cieniowanym Z-Score

Diagram ten pokazuje krzywą rozkładu normalnego z średnią $\mu$ w centrum. Cieniowany obszar reprezentuje prawdopodobieństwo skumulowane do punktu danych $x$ , odpowiadającego z-score.

Przykłady zastosowań

Aplikacje

Standaryzacja w różnych skalach:

Z-scores umożliwiają porównanie danych z różnych skal poprzez standaryzację zestawów danych.
Wykrywanie wartości odstających:

Identyfikacja punktów danych, które są znacznie oddalone od średniej (np. z-scores mniejsze niż -3 lub większe niż 3).
Testy statystyczne:

Używane w testach hipotez, w tym testach z, aby określić, czy średnia próbki znacząco różni się od znanej średniej populacji.
Kontrola jakości:

W produkcji z-scores pomagają monitorować procesy, aby zapewnić, że wyniki mieszczą się w akceptowalnych granicach.
Finanse i inwestycje:

Ocena wyników akcji poprzez porównanie zwrotów w stosunku do średnich wyników rynku.

Alternatywy

T-Score:

Podobny do z-score, ale używany, gdy rozmiar próbki jest mały, a odchylenie standardowe populacji jest nieznane.
Ranga percentylowa:

Wskazuje procent wyników w rozkładzie częstotliwości, które są równe lub niższe od niego.
Jednostki odchylenia standardowego:

Używanie surowych wartości odchylenia standardowego bez standaryzacji jako z-scores.

Historia

Koncepcja z-score wywodzi się z prac nad rozkładem normalnym autorstwa Carla Friedricha Gaussa na początku XIX wieku. Rozkład normalny standardowy, fundamentalny dla z-scores, był dalej rozwijany przez statystyków takich jak Abraham de Moivre i Pierre-Simon Laplace. Użycie z-score stało się powszechne wraz z rozwojem metod statystycznych w XX wieku, szczególnie w testach psychologicznych i kontroli jakości.

Przykłady

Excel

1## Oblicz z-score w Excelu
2## Zakładając, że punkt danych w komórce A2, średnia w komórce B2, odchylenie standardowe w komórce C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Oblicz z-score w R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Odchylenie standardowe nie może być zerem.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Przykład użycia:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-score:", z_score))
16

MATLAB

1% Oblicz z-score w MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Odchylenie standardowe nie może być zerem.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Przykład użycia:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-score: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Oblicz z-score w JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Odchylenie standardowe nie może być zerem.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Przykład użycia:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Oblicz z-score w Pythonie
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Odchylenie standardowe nie może być zerem.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Przykład użycia:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-score:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Oblicz z-score w Javie
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Odchylenie standardowe nie może być zerem.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Oblicz z-score w C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Odchylenie standardowe nie może być zerem.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Oblicz z-score w Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Odchylenie standardowe nie może być zerem." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Przykład użycia:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Oblicz z-score w PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Odchylenie standardowe nie może być zerem.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Przykład użycia:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-score: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Oblicz z-score w Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Odchylenie standardowe nie może być zerem.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Oblicz z-score w C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Odchylenie standardowe nie może być zerem.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Oblicz z-score w Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("odchylenie standardowe nie może być zerem")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Oblicz z-score w Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Odchylenie standardowe nie może być zerem.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Przykład użycia:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Źródła

Wynik standardowy - Wikipedia

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wynik_standardowy
Zrozumienie Z-Scores - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Rozkład normalny i Z-Scores - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Dodatkowe zasoby

Interaktywny kalkulator Z-Score

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Wizualizacja rozkładu normalnego

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Kalkulator Z-Score: Oblicz Wynik Standardowy dla Danych

Dokumentacja