🛠️

Whiz Tools

Build • Create • Innovate

Calculator pentru Z-Score: Analiză Statistică Simplificată

Calculează z-score-ul (scorul standard) pentru orice punct de date, determinându-i poziția în raport cu media folosind deviația standard. Ideal pentru analiza statistică și standardizarea datelor.

📚

Documentație

Calculator Z-Score

Introducere

Z-score (sau scor standard) este o măsurare statistică care descrie relația unui valor cu media unui grup de valori. Indică câte abateri standard se află un element față de medie. Z-score-ul este un instrument crucial în statistică, permițând standardizarea diferitelor seturi de date și identificarea valorilor anormale.

Formula

Z-score-ul este calculat folosind următoarea formulă:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Unde:

  • zz = z-score
  • xx = punct de date individual
  • μ\mu = media setului de date
  • σ\sigma = abaterea standard a setului de date

Această formulă calculează numărul de abateri standard la care un punct de date se află de la medie.

Calcul

Pentru a calcula z-score-ul unui punct de date:

  1. Calculează Media (μ\mu):

    Suma tuturor punctelor de date și împarte la numărul de puncte de date.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Calculează Abaterea Standard (σ\sigma):

    • Varianța (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Abaterea Standard:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Calculează Z-Score:

    Substituie valorile în formula z-score-ului.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Cazuri Limite

  • Abatere Standard Zero (σ=0\sigma = 0):

    Când toate punctele de date sunt identice, abaterea standard este zero, făcând z-score-ul nedefinit, deoarece nu poți împărți la zero. În acest caz, conceptul de z-score nu se aplică.

  • Punct de Date Egal cu Media (x=μx = \mu):

    Dacă punctul de date este egal cu media, z-score-ul este zero, indicând că este exact mediu.

  • Intrări Non-Numerice:

    Asigură-te că toate intrările sunt numerice. Intrările non-numerice vor duce la erori de calcul.

Probabilitate Cumulativă

Probabilitatea cumulativă asociată cu un z-score reprezintă probabilitatea ca o variabilă aleatoare dintr-o distribuție normală standard să fie mai mică sau egală cu valoarea dată. Este aria sub curba distribuției normale la stânga z-score-ului specificat.

Matematic, probabilitatea cumulativă PP este calculată folosind funcția de distribuție cumulativă (CDF) a distribuției normale standard:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Unde:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF a distribuției normale standard la zz

Probabilitatea cumulativă este esențială în statistică pentru a determina probabilitatea ca o valoare să apară într-un anumit interval. Este utilizată pe scară largă în domenii precum controlul calității, finanțele și științele sociale.

Diagrama SVG

Mai jos este o diagramă SVG care ilustrează curba distribuției normale standard și z-score-ul:

μ x z

Distribuția Normală Standard

Figura: Curba Distribuției Normale Standard cu Z-Score Umplut

Această diagramă arată curba distribuției normale cu media μ\mu la centru. Zona umplută reprezintă probabilitatea cumulativă până la punctul de date xx, corespunzător z-score-ului.

Cazuri de Utilizare

Aplicații

  • Standardizare Pe Scale Diferite:

    Z-score-urile permit compararea între date din scale diferite prin standardizarea seturilor de date.

  • Detectarea Valorilor Anormale:

    Identificarea punctelor de date care sunt semnificativ îndepărtate de medie (de exemplu, z-score-uri mai mici de -3 sau mai mari de 3).

  • Testare Statistică:

    Utilizate în testarea ipotezelor, inclusiv teste z, pentru a determina dacă o medie a unui eșantion diferă semnificativ de o medie a populației cunoscute.

  • Controlul Calității:

    În producție, z-score-urile ajută la monitorizarea proceselor pentru a asigura că rezultatele rămân în limite acceptabile.

  • Finanțe și Investiții:

    Evaluarea performanței acțiunilor prin compararea randamentelor relative la performanța medie a pieței.

Alternative

  • T-Score:

    Similar cu z-score-ul, dar utilizat atunci când dimensiunea eșantionului este mică și abaterea standard a populației este necunoscută.

  • Rang Percentil:

    Indică procentajul scorurilor în distribuția sa de frecvență care sunt egale sau mai mici decât el.

  • Unități de Abatere Standard:

    Utilizarea valorilor brute ale abaterii standard fără a le standardiza ca z-score-uri.

Istorie

Conceptul de z-score își are rădăcinile în lucrările despre distribuția normală de Carl Friedrich Gauss la începutul secolului al XIX-lea. Distribuția normală standard, fundamentală pentru z-score-uri, a fost dezvoltată ulterior de statisticieni precum Abraham de Moivre și Pierre-Simon Laplace. Utilizarea z-score-urilor a devenit răspândită odată cu avansarea metodelor statistice în secolul XX, în special în testarea psihologică și controlul calității.

Exemple

Excel

1## Calculează z-score în Excel
2## Presupunând că punctul de date este în celula A2, media în celula B2, abaterea standard în celula C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Calculează z-score în R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Abaterea standard nu poate fi zero.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Exemplu de utilizare:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-score:", z_score))
16

MATLAB

1% Calculează z-score în MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Abaterea standard nu poate fi zero.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Exemplu de utilizare:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-score: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Calculează z-score în JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Abaterea standard nu poate fi zero.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Exemplu de utilizare:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Calculează z-score în Python
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Abaterea standard nu poate fi zero.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Exemplu de utilizare:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-score:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Calculează z-score în Java
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Abaterea standard nu poate fi zero.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Calculează z-score în C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Abaterea standard nu poate fi zero.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Calculează z-score în Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Abaterea standard nu poate fi zero." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Exemplu de utilizare:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Calculează z-score în PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Abaterea standard nu poate fi zero.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Exemplu de utilizare:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-score: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Calculează z-score în Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Abaterea standard nu poate fi zero.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Calculează z-score în C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Abaterea standard nu poate fi zero.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Calculează z-score în Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("abaterea standard nu poate fi zero")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Calculează z-score în Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Abaterea standard nu poate fi zero.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Exemplu de utilizare:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Referințe

  1. Scor Standard - Wikipedia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Înțelegerea Z-Score-urilor - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Distribuția Normală și Z-Score-uri - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Resurse Suplimentare

🔗

Instrumente Asemănătoare

Descoperă mai multe instrumente care ar putea fi utile pentru fluxul tău de lucru

Calculator pentru teste Z cu un singur eșantion

Încearcă acest instrument

Calculator Z-Score Altman pentru evaluarea riscului de credit

Încearcă acest instrument

Calculator T-Test pentru Analiza Statistica a Datelor

Încearcă acest instrument

Calculator pentru Determinarea Scorului Brut Original

Încearcă acest instrument

Calculator pentru Valori Critice în Statistici Avansate

Încearcă acest instrument

Calculator pentru Analiza Vizuală a Datelor Box Plot

Încearcă acest instrument

Calculator de semnificație statistică pentru teste A/B

Încearcă acest instrument

Converter de Interval de Încredere în Abatere Standard

Încearcă acest instrument

Calculator Six Sigma: Măsurați Calitatea Procesului Dvs.

Încearcă acest instrument