🛠️

Whiz Tools

Build • Create • Innovate

Z-Score Calculator for Statistical Analysis and Standardization

Vypočítajte z-skóre (štandardné skóre) pre akýkoľvek údaj, určte jeho polohu vzhľadom na priemer pomocou štandardnej odchýlky. Ideálne pre štatistickú analýzu a štandardizáciu údajov.

📚

Dokumentácia

Z-Score Kalkulačka

Úvod

Z-skóre (alebo štandardné skóre) je štatistické meranie, ktoré popisuje vzťah hodnoty k priemeru skupiny hodnôt. Označuje, koľko štandardných odchýlok je prvok od priemeru. Z-skóre je kľúčovým nástrojom v štatistike, ktorý umožňuje štandardizáciu rôznych súborov údajov a identifikáciu odľahlých hodnôt.

Formula

Z-skóre sa vypočíta pomocou nasledujúcej vzorce:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Kde:

  • zz = z-skóre
  • xx = jednotlivý údaj
  • μ\mu = priemer súboru údajov
  • σ\sigma = štandardná odchýlka súboru údajov

Tento vzorec vypočíta počet štandardných odchýlok, ktoré je údaj od priemeru.

Výpočet

Na výpočet z-skóre údaja:

  1. Vypočítajte priemer (μ\mu):

    Sčítajte všetky údaje a vydelte počtom údajov.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Vypočítajte štandardnú odchýlku (σ\sigma):

    • Variancia (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Štandardná odchýlka:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Vypočítajte Z-skóre:

    Nahraďte hodnoty do vzorca pre z-skóre.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Hraničné prípady

  • Nulová štandardná odchýlka (σ=0\sigma = 0):

    Keď sú všetky údaje identické, štandardná odchýlka je nulová, čo robí z-skóre nedefinované, pretože nemôžete deliť nulou. V tomto prípade sa pojem z-skóre neuplatňuje.

  • Údaj rovný priemeru (x=μx = \mu):

    Ak je údaj rovný priemeru, z-skóre je nula, čo naznačuje, že je presne priemerný.

  • Nekvantitatívne vstupy:

    Uistite sa, že všetky vstupy sú kvantitatívne. Nekvantitatívne vstupy spôsobia chyby pri výpočte.

Kumulatívna pravdepodobnosť

Kumulatívna pravdepodobnosť spojená so z-skóre predstavuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná z normálneho rozdelenia bude menšia alebo rovná danej hodnote. Je to plocha pod krivkou normálneho rozdelenia vľavo od určeného z-skóre.

Matematicky sa kumulatívna pravdepodobnosť PP vypočíta pomocou kumulatívnej distribuční funkcie (CDF) štandardného normálneho rozdelenia:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Kde:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF štandardného normálneho rozdelenia pri zz

Kumulatívna pravdepodobnosť je zásadná v štatistike na určenie pravdepodobnosti, že hodnota sa vyskytne v určitom rozsahu. Je široko používaná v oblastiach ako kontrola kvality, financie a spoločenské vedy.

SVG Diagram

Nižšie je SVG diagram ilustrujúci krivku štandardného normálneho rozdelenia a z-skóre:

μ x z

Štandardné normálne rozdelenie

Obrázok: Krivka štandardného normálneho rozdelenia so zatieneným Z-skóre

Tento diagram zobrazuje krivku normálneho rozdelenia s priemerom μ\mu v strede. Zatienená oblasť predstavuje kumulatívnu pravdepodobnosť až do údaja xx, ktorý zodpovedá z-skóre.

Použitie

Aplikácie

  • Štandardizácia naprieč rôznymi mierkami:

    Z-skóre umožňuje porovnanie medzi údajmi z rôznych mierok tým, že štandardizuje súbory údajov.

  • Detekcia odľahlých hodnôt:

    Identifikácia údajov, ktoré sú významne vzdialené od priemeru (napr. z-skóre menšie ako -3 alebo väčšie ako 3).

  • Štatistické testovanie:

    Používa sa v testovaní hypotéz, vrátane z-testov, na určenie, či sa priemerný vzor významne líši od známeho priemeru populácie.

  • Kontrola kvality:

    V výrobe pomáhajú z-skóre monitorovať procesy, aby sa zabezpečilo, že výstupy zostanú v prijateľných medziach.

  • Financie a investície:

    Hodnotenie výkonnosti akcií porovnaním výnosov v porovnaní s priemerným výkonom trhu.

Alternatívy

  • T-skóre:

    Podobné z-skóre, ale používa sa, keď je veľkosť vzorky malá a štandardná odchýlka populácie je neznáma.

  • Percentilná pozícia:

    Označuje percento skóre v jeho frekvenčnej distribúcii, ktoré sú rovné alebo nižšie ako ono.

  • Jednotky štandardnej odchýlky:

    Použitie surových hodnôt štandardnej odchýlky bez štandardizácie ako z-skóre.

História

Koncept z-skóre vychádza z práce na normálnom rozdelení Carl Friedrich Gaussa na začiatku 19. storočia. Štandardné normálne rozdelenie, ktoré je základom pre z-skóre, bolo ďalej rozvinuté štatistikmi ako Abraham de Moivre a Pierre-Simon Laplace. Použitie z-skóre sa stalo rozšíreným s pokrokom štatistických metód v 20. storočí, najmä v psychologickom testovaní a kontrole kvality.

Príklady

Excel

1## Vypočítajte z-skóre v Exceli
2## Predpokladajme, že údaj je v bunke A2, priemer v bunke B2, štandardná odchýlka v bunke C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Vypočítajte z-skóre v R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Príklad použitia:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-skóre:", z_score))
16

MATLAB

1% Vypočítajte z-skóre v MATLABe
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Príklad použitia:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-skóre: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Vypočítajte z-skóre v JavaScripte
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Príklad použitia:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-skóre: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Vypočítajte z-skóre v Pythone
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Príklad použitia:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-skóre:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Vypočítajte z-skóre v Jave
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-skóre: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Vypočítajte z-skóre v C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-skóre: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Vypočítajte z-skóre v Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Štandardná odchýlka nemôže byť nulová." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Príklad použitia:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-skóre: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Vypočítajte z-skóre v PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Príklad použitia:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-skóre: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Vypočítajte z-skóre v Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-skóre: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Vypočítajte z-skóre v C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-skóre: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Vypočítajte z-skóre v Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("štandardná odchýlka nemôže byť nulová")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-skóre: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Vypočítajte z-skóre v Swifte
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Príklad použitia:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-skóre: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Odkazy

  1. Štandardné skóre - Wikipedia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Pochopenie Z-skóre - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Normálne rozdelenie a Z-skóre - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Ďalšie zdroje

🔗

Súvisiace nástroje

Objavte ďalšie nástroje, ktoré by mohli byť užitočné pre váš pracovný tok

Z-Test Kalkulačka pre študentov a profesionálov v štatistike

Vyskúšajte tento nástroj

Altman Z-Score Kalkulačka na hodnotenie kreditného rizika

Vyskúšajte tento nástroj

Kalkulačka pre všetky druhy t-testov a analýzu údajov

Vyskúšajte tento nástroj

Kalkulačka na výpočet surového skóre a jeho interpretáciu

Vyskúšajte tento nástroj

Kalkulačka kritických hodnôt pre štatistické testy

Vyskúšajte tento nástroj

Box Plot Calculator for Visual Data Analysis and Insights

Vyskúšajte tento nástroj

Kalkulačka štatistickej významnosti pre A/B testy

Vyskúšajte tento nástroj

Konvertor intervalov spoľahlivosti na štandardné odchýlky

Vyskúšajte tento nástroj

Six Sigma kalkulačka: Zmerajte kvalitu svojho procesu

Vyskúšajte tento nástroj