Whiz Tools

Z-Score Kalkulačka

Úvod

Z-skóre (alebo štandardné skóre) je štatistické meranie, ktoré popisuje vzťah hodnoty k priemeru skupiny hodnôt. Označuje, koľko štandardných odchýlok je prvok od priemeru. Z-skóre je kľúčovým nástrojom v štatistike, ktorý umožňuje štandardizáciu rôznych súborov údajov a identifikáciu odľahlých hodnôt.

Formula

Z-skóre sa vypočíta pomocou nasledujúcej vzorce:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Kde:

  • zz = z-skóre
  • xx = jednotlivý údaj
  • μ\mu = priemer súboru údajov
  • σ\sigma = štandardná odchýlka súboru údajov

Tento vzorec vypočíta počet štandardných odchýlok, ktoré je údaj od priemeru.

Výpočet

Na výpočet z-skóre údaja:

  1. Vypočítajte priemer (μ\mu):

    Sčítajte všetky údaje a vydelte počtom údajov.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Vypočítajte štandardnú odchýlku (σ\sigma):

    • Variancia (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Štandardná odchýlka:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Vypočítajte Z-skóre:

    Nahraďte hodnoty do vzorca pre z-skóre.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Hraničné prípady

  • Nulová štandardná odchýlka (σ=0\sigma = 0):

    Keď sú všetky údaje identické, štandardná odchýlka je nulová, čo robí z-skóre nedefinované, pretože nemôžete deliť nulou. V tomto prípade sa pojem z-skóre neuplatňuje.

  • Údaj rovný priemeru (x=μx = \mu):

    Ak je údaj rovný priemeru, z-skóre je nula, čo naznačuje, že je presne priemerný.

  • Nekvantitatívne vstupy:

    Uistite sa, že všetky vstupy sú kvantitatívne. Nekvantitatívne vstupy spôsobia chyby pri výpočte.

Kumulatívna pravdepodobnosť

Kumulatívna pravdepodobnosť spojená so z-skóre predstavuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná z normálneho rozdelenia bude menšia alebo rovná danej hodnote. Je to plocha pod krivkou normálneho rozdelenia vľavo od určeného z-skóre.

Matematicky sa kumulatívna pravdepodobnosť PP vypočíta pomocou kumulatívnej distribuční funkcie (CDF) štandardného normálneho rozdelenia:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Kde:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF štandardného normálneho rozdelenia pri zz

Kumulatívna pravdepodobnosť je zásadná v štatistike na určenie pravdepodobnosti, že hodnota sa vyskytne v určitom rozsahu. Je široko používaná v oblastiach ako kontrola kvality, financie a spoločenské vedy.

SVG Diagram

Nižšie je SVG diagram ilustrujúci krivku štandardného normálneho rozdelenia a z-skóre:

μ x z

Štandardné normálne rozdelenie

Obrázok: Krivka štandardného normálneho rozdelenia so zatieneným Z-skóre

Tento diagram zobrazuje krivku normálneho rozdelenia s priemerom μ\mu v strede. Zatienená oblasť predstavuje kumulatívnu pravdepodobnosť až do údaja xx, ktorý zodpovedá z-skóre.

Použitie

Aplikácie

  • Štandardizácia naprieč rôznymi mierkami:

    Z-skóre umožňuje porovnanie medzi údajmi z rôznych mierok tým, že štandardizuje súbory údajov.

  • Detekcia odľahlých hodnôt:

    Identifikácia údajov, ktoré sú významne vzdialené od priemeru (napr. z-skóre menšie ako -3 alebo väčšie ako 3).

  • Štatistické testovanie:

    Používa sa v testovaní hypotéz, vrátane z-testov, na určenie, či sa priemerný vzor významne líši od známeho priemeru populácie.

  • Kontrola kvality:

    V výrobe pomáhajú z-skóre monitorovať procesy, aby sa zabezpečilo, že výstupy zostanú v prijateľných medziach.

  • Financie a investície:

    Hodnotenie výkonnosti akcií porovnaním výnosov v porovnaní s priemerným výkonom trhu.

Alternatívy

  • T-skóre:

    Podobné z-skóre, ale používa sa, keď je veľkosť vzorky malá a štandardná odchýlka populácie je neznáma.

  • Percentilná pozícia:

    Označuje percento skóre v jeho frekvenčnej distribúcii, ktoré sú rovné alebo nižšie ako ono.

  • Jednotky štandardnej odchýlky:

    Použitie surových hodnôt štandardnej odchýlky bez štandardizácie ako z-skóre.

História

Koncept z-skóre vychádza z práce na normálnom rozdelení Carl Friedrich Gaussa na začiatku 19. storočia. Štandardné normálne rozdelenie, ktoré je základom pre z-skóre, bolo ďalej rozvinuté štatistikmi ako Abraham de Moivre a Pierre-Simon Laplace. Použitie z-skóre sa stalo rozšíreným s pokrokom štatistických metód v 20. storočí, najmä v psychologickom testovaní a kontrole kvality.

Príklady

Excel

## Vypočítajte z-skóre v Exceli
## Predpokladajme, že údaj je v bunke A2, priemer v bunke B2, štandardná odchýlka v bunke C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Vypočítajte z-skóre v R
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Príklad použitia:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-skóre:", z_score))

MATLAB

% Vypočítajte z-skóre v MATLABe
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Príklad použitia:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-skóre: %.2f\n', z);

JavaScript

// Vypočítajte z-skóre v JavaScripte
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Príklad použitia:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-skóre: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Vypočítajte z-skóre v Pythone
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.")
    return (x - mu) / sigma

## Príklad použitia:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-skóre:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Vypočítajte z-skóre v Jave
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-skóre: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Vypočítajte z-skóre v C++
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-skóre: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Vypočítajte z-skóre v Ruby
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Štandardná odchýlka nemôže byť nulová." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Príklad použitia:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-skóre: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Vypočítajte z-skóre v PHP
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Príklad použitia:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-skóre: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Vypočítajte z-skóre v Rust
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-skóre: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Vypočítajte z-skóre v C#
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-skóre: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Vypočítajte z-skóre v Go
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("štandardná odchýlka nemôže byť nulová")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-skóre: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Vypočítajte z-skóre v Swifte
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Štandardná odchýlka nemôže byť nulová.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Príklad použitia:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-skóre: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Odkazy

  1. Štandardné skóre - Wikipedia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Pochopenie Z-skóre - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Normálne rozdelenie a Z-skóre - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Ďalšie zdroje

Loading related tools...
Feedback