Z-Score Kalkulator za Statistično Analizo in Standardizacijo

Kalkulator Z-Score

Uvod

Z-score (ali standardni rezultat) je statistična mera, ki opisuje razmerje vrednosti do povprečja skupine vrednosti. Pokaže, koliko standardnih odklonov je element oddaljen od povprečja. Z-score je ključno orodje v statistiki, ki omogoča standardizacijo različnih podatkovnih nizov in prepoznavanje odklonov.

Formula

Z-score se izračuna z naslednjo formulo:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Kjer:

$z$ = z-score
$x$ = posamezna podatkovna točka
$\mu$ = povprečje podatkovnega niza
$\sigma$ = standardni odklon podatkovnega niza

Ta formula izračuna število standardnih odklonov, ki jih podatkovna točka oddaljena od povprečja.

Izračun

Za izračun z-score podatkovne točke:

Izračunajte povprečje ( $\mu$ ):

Seštejte vse podatkovne točke in delite s številom podatkovnih točk.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Izračunajte standardni odklon ( $\sigma$ ):
- Varianca ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Standardni odklon:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Izračunajte Z-Score:

Vstavite vrednosti v formulo za z-score.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Robni Primeri

Ničelni standardni odklon ( $\sigma = 0$ ):

Ko so vse podatkovne točke enake, je standardni odklon nič, kar naredi z-score nedoločen, ker ne morete deliti z nič. V tem primeru koncept z-score ne velja.
Podatkovna točka enaka povprečju ( $x = \mu$ ):

Če je podatkovna točka enaka povprečju, je z-score nič, kar pomeni, da je povsem povprečna.
Neničelni vnosi:

Prepričajte se, da so vsi vnosi numerični. Neničelni vnosi bodo povzročili napake pri izračunu.

Kumulative Verjetnosti

Kumulative verjetnosti povezane z z-score predstavljajo verjetnost, da bo naključna spremenljivka iz standardne normalne porazdelitve manjša ali enaka določeni vrednosti. To je površina pod krivuljo normalne porazdelitve levo od določenega z-score.

Matematično se kumulativna verjetnost $P$ izračuna z uporabo kumulativne distribucijske funkcije (CDF) standardne normalne porazdelitve:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Kjer:

$\Phi(z)$ = CDF standardne normalne porazdelitve pri $z$

Kumulativna verjetnost je bistvena v statistiki za določanje verjetnosti, da se vrednost pojavi v določenem razponu. Široko se uporablja na področjih, kot so nadzor kakovosti, finance in družbene vede.

SVG Diagram

Spodaj je SVG diagram, ki prikazuje krivuljo standardne normalne porazdelitve in z-score:

μ x z

Standardna normalna porazdelitev

Slika: Krivulja standardne normalne porazdelitve z osenčenim Z-Score

Ta diagram prikazuje krivuljo normalne porazdelitve s povprečjem $\mu$ na sredini. Osenčena površina predstavlja kumulativno verjetnost do podatkovne točke $x$ , ki ustreza z-score.

Uporaba

Aplikacije

Standardizacija čez različne lestvice:

Z-score omogoča primerjavo med podatki iz različnih lestvic z standardizacijo podatkovnih nizov.
Odkrivanje odklonov:

Prepoznavanje podatkovnih točk, ki so znatno oddaljene od povprečja (npr. z-score manj kot -3 ali več kot 3).
Statistična testiranja:

Uporablja se v testiranju hipotez, vključno z z-testom, za ugotavljanje, ali se povprečje vzorca znatno razlikuje od znanega povprečja populacije.
Nadzor kakovosti:

V proizvodnji z-score pomaga pri spremljanju procesov, da se zagotovi, da izhodi ostanejo znotraj sprejemljivih meja.
Finance in naložbe:

Ocenjevanje uspešnosti delnic z primerjavo donosov glede na povprečno tržno uspešnost.

Alternativne metode

T-Score:

Podobno kot z-score, vendar se uporablja, ko je velikost vzorca majhna in populacijski standardni odklon ni znan.
Percentilna rang:

Pokaže odstotek rezultatov v frekvenčni porazdelitvi, ki so enaki ali nižji od njega.
Enote standardnega odklona:

Uporaba surovih vrednosti standardnega odklona brez standardizacije kot z-score.

Zgodovina

Koncept z-score izhaja iz dela na normalni porazdelitvi Carla Friedricha Gaussa v zgodnjem 19. stoletju. Standardna normalna porazdelitev, ki je temelj z-score, je bila nadalje razvita s strani statistikov, kot sta Abraham de Moivre in Pierre-Simon Laplace. Uporaba z-score je postala razširjena z napredkom statističnih metod v 20. stoletju, zlasti pri psihološkem testiranju in nadzoru kakovosti.

Primeri

Excel

## Izračunajte z-score v Excelu
## Predpostavljamo, da je podatkovna točka v celici A2, povprečje v celici B2, standardni odklon v celici C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Izračunajte z-score v R
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Standardni odklon ne more biti nič.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Primer uporabe:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-score:", z_score))

MATLAB

% Izračunajte z-score v MATLAB-u
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Standardni odklon ne more biti nič.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Primer uporabe:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-score: %.2f\n', z);

JavaScript

// Izračunajte z-score v JavaScriptu
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Standardni odklon ne more biti nič.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Primer uporabe:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Izračunajte z-score v Pythonu
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Standardni odklon ne more biti nič.")
    return (x - mu) / sigma

## Primer uporabe:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-score:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Izračunajte z-score v Javi
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Standardni odklon ne more biti nič.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Izračunajte z-score v C++
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Standardni odklon ne more biti nič.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Izračunajte z-score v Ruby
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Standardni odklon ne more biti nič." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Primer uporabe:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Izračunajte z-score v PHP
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Standardni odklon ne more biti nič.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Primer uporabe:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-score: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Izračunajte z-score v Rustu
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Standardni odklon ne more biti nič.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Izračunajte z-score v C#
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Standardni odklon ne more biti nič.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Izračunajte z-score v Go
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("standardni odklon ne more biti nič")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Izračunajte z-score v Swifti
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Standardni odklon ne more biti nič.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Primer uporabe:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Reference

Standard Score - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Razumevanje Z-Scores - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Normalna porazdelitev in Z-Scores - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Dodatni Viri

Interaktivni kalkulator Z-Score

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Vizualizacija normalne porazdelitve

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Loading related tools...