Z-Score Kalkulator za Statističku Analizu i Standardizaciju

Z-Score Kalkulator

Uvod

Z-score (ili standardni rezultat) je statistička mera koja opisuje odnos vrednosti prema srednjoj vrednosti grupe vrednosti. Ukazuje na to koliko standardnih devijacija je element udaljen od srednje vrednosti. Z-score je ključni alat u statistici, omogućavajući standardizaciju različitih skupova podataka i identifikaciju odstupanja.

Formula

Z-score se izračunava pomoću sledeće formule:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Gde:

$z$ = z-score
$x$ = pojedinačna tačka podataka
$\mu$ = srednja vrednost skupa podataka
$\sigma$ = standardna devijacija skupa podataka

Ova formula izračunava broj standardnih devijacija koliko je tačka podataka udaljena od srednje vrednosti.

Izračunavanje

Da biste izračunali z-score tačke podataka:

Izračunajte srednju vrednost ( $\mu$ ):

Saberite sve tačke podataka i podelite sa brojem tačaka podataka.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Izračunajte standardnu devijaciju ( $\sigma$ ):
- Varijansa ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Standardna devijacija:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Izračunajte Z-Score:

Zamenite vrednosti u formulu za z-score.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Iste slučajevi

Nulta standardna devijacija ( $\sigma = 0$ ):

Kada su sve tačke podataka identične, standardna devijacija je nula, što čini z-score neodređenim jer ne možete deliti sa nulom. U ovom slučaju, koncept z-score ne važi.
Tačka podataka jednaka srednjoj vrednosti ( $x = \mu$ ):

Ako tačka podataka bude jednaka srednjoj vrednosti, z-score je nula, što ukazuje da je tačka tačno prosečna.
Ne-numerički ulazi:

Osigurajte da su svi ulazi numerički. Ne-numerički ulazi će rezultirati greškama u izračunavanju.

Kumulativna verovatnoća

Kumulativna verovatnoća povezana sa z-score predstavlja verovatnoću da će nasumična varijabla iz standardne normalne distribucije biti manja ili jednaka datoj vrednosti. To je površina ispod krive normalne distribucije levo od specificiranog z-score.

Matematički, kumulativna verovatnoća $P$ se izračunava korišćenjem funkcije kumulativne distribucije (CDF) standardne normalne distribucije:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Gde:

$\Phi(z)$ = CDF standardne normalne distribucije na $z$

Kumulativna verovatnoća je bitna u statistici za određivanje verovatnoće da će se vrednost pojaviti unutar određenog opsega. Široko se koristi u oblastima kao što su kontrola kvaliteta, finansije i društvene nauke.

SVG Dijagram

Ispod je SVG dijagram koji ilustruje krivu standardne normalne distribucije i z-score:

μ x z

Standardna Normalna Distribucija

Slika: Kriva Standardne Normalne Distribucije sa Senčenim Z-Score

Ovaj dijagram prikazuje krivu normalne distribucije sa srednjom vrednošću $\mu$ u centru. Senčena oblast predstavlja kumulativnu verovatnoću do tačke podataka $x$ , koja odgovara z-score.

Upotreba

Aplikacije

Standardizacija preko različitih skala:

Z-score omogućava poređenje između podataka iz različitih skala standardizacijom skupova podataka.
Detekcija odstupanja:

Identifikacija tačaka podataka koje su značajno udaljene od srednje vrednosti (npr. z-score manji od -3 ili veći od 3).
Statističko testiranje:

Koristi se u testiranju hipoteza, uključujući z-testove, kako bi se utvrdilo da li se srednja vrednost uzorka značajno razlikuje od poznate srednje vrednosti populacije.
Kontrola kvaliteta:

U proizvodnji, z-score pomaže u praćenju procesa kako bi se osiguralo da rezultati ostanu unutar prihvatljivih granica.
Finansije i investicije:

Procena performansi akcija upoređujući povratke u odnosu na prosečne performanse tržišta.

Alternativne metode

T-score:

Slično z-score, ali se koristi kada je veličina uzorka mala i kada je nepoznata standardna devijacija populacije.
Percentilni rang:

Ukazuje na procenat rezultata u njegovoj frekvencijskoj distribuciji koji su jednaki ili niži od njega.
Jedinice standardne devijacije:

Korišćenje sirovih vrednosti standardne devijacije bez standardizacije kao z-score.

Istorija

Koncept z-score proizašao je iz rada na normalnoj distribuciji Carla Friedricha Gaussa u ranoj 19. veku. Standardna normalna distribucija, koja je temelj z-score, dalje je razvijena od strane statističara kao što su Abraham de Moivre i Pierre-Simon Laplace. Upotreba z-score postala je široko rasprostranjena s napretkom statističkih metoda u 20. veku, posebno u psihološkom testiranju i kontroli kvaliteta.

Primeri

Excel

1## Izračunajte z-score u Excelu
2## Pretpostavljajući da je tačka podataka u ćeliji A2, srednja vrednost u ćeliji B2, standardna devijacija u ćeliji C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Izračunajte z-score u R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Standardna devijacija ne može biti nula.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Primer korišćenja:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-score:", z_score))
16

MATLAB

1% Izračunajte z-score u MATLAB-u
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Standardna devijacija ne može biti nula.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Primer korišćenja:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-score: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Izračunajte z-score u JavaScript-u
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Standardna devijacija ne može biti nula.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Primer korišćenja:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Izračunajte z-score u Pythonu
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Standardna devijacija ne može biti nula.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Primer korišćenja:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-score:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Izračunajte z-score u Javi
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Standardna devijacija ne može biti nula.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Izračunajte z-score u C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Standardna devijacija ne može biti nula.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Izračunajte z-score u Ruby-ju
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Standardna devijacija ne može biti nula." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Primer korišćenja:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Izračunajte z-score u PHP-u
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Standardna devijacija ne može biti nula.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Primer korišćenja:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-score: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Izračunajte z-score u Rust-u
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Standardna devijacija ne može biti nula.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Izračunajte z-score u C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Standardna devijacija ne može biti nula.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Izračunajte z-score u Go-u
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("standardna devijacija ne može biti nula")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Izračunajte z-score u Swift-u
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Standardna devijacija ne može biti nula.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Primer korišćenja:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Reference

Standardni rezultat - Vikipedija

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Razumevanje Z-Scores - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Normalna distribucija i Z-Scores - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Dodatni resursi

Interaktivni Z-Score Kalkulator

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Vizuelizacija Normalne Distribucije

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Z-Score Kalkulator za Statističku Analizu i Standardizaciju

Dokumentacija