🛠️

Whiz Tools

Build • Create • Innovate

Z-Poängsberäknare för Statistisk Analys och Standardisering

Beräkna z-poängen (standardpoäng) för vilken datapunka som helst, och bestäm dess position i förhållande till medelvärdet med hjälp av standardavvikelsen. Idealisk för statistisk analys och datastandardisering.

📚

Dokumentation

Z-Score Kalkylator

Introduktion

z-poäng (eller standardpoäng) är en statistisk mätning som beskriver ett värdes relation till medelvärdet av en grupp värden. Det indikerar hur många standardavvikelser ett element ligger från medelvärdet. Z-poängen är ett avgörande verktyg inom statistiken, som möjliggör standardisering av olika dataset och identifiering av avvikare.

Formel

Z-poängen beräknas med följande formel:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Där:

  • zz = z-poäng
  • xx = individuellt datapunkt
  • μ\mu = medelvärde för datasetet
  • σ\sigma = standardavvikelse för datasetet

Denna formel beräknar antalet standardavvikelser ett datapunkt ligger från medelvärdet.

Beräkning

För att beräkna z-poängen för en datapunkt:

  1. Beräkna Medelvärdet (μ\mu):

    Summera alla datapunkter och dela med antalet datapunkter.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Beräkna Standardavvikelsen (σ\sigma):

    • Varians (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Standardavvikelse:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Beräkna Z-Poängen:

    Sätt in värdena i z-poängens formel.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Gränsfall

  • Noll Standardavvikelse (σ=0\sigma = 0):

    När alla datapunkter är identiska är standardavvikelsen noll, vilket gör z-poängen odefinierad eftersom man inte kan dela med noll. I detta fall gäller inte konceptet av en z-poäng.

  • Datapunkt Lika Med Medelvärdet (x=μx = \mu):

    Om datapunkten är lika med medelvärdet är z-poängen noll, vilket indikerar att den är exakt genomsnittlig.

  • Icke-numeriska Indata:

    Se till att alla indatan är numeriska. Icke-numeriska indatan kommer att resultera i beräkningsfel.

Kumulativ Sannolikhet

Den kumulativa sannolikheten kopplad till en z-poäng representerar sannolikheten att en slumpmässig variabel från en standardnormalfördelning kommer att vara mindre än eller lika med det angivna värdet. Det är området under normalfördelningskurvan till vänster om den angivna z-poängen.

Matematiskt beräknas den kumulativa sannolikheten PP med hjälp av den kumulativa fördelningsfunktionen (CDF) för standardnormalfördelningen:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Där:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF för standardnormalfördelningen vid zz

Den kumulativa sannolikheten är avgörande inom statistiken för att bestämma sannolikheten för att ett värde inträffar inom ett visst intervall. Den används ofta inom områden som kvalitetskontroll, finans och samhällsvetenskap.

SVG Diagram

Nedan finns ett SVG-diagram som illustrerar standardnormalfördelningskurvan och z-poängen:

μ x z

Standard Normal Fördelning

Figur: Standard Normal Fördelning Kurva med Z-Poäng Skuggad

Detta diagram visar normalfördelningskurvan med medelvärdet μ\mu i centrum. Det skuggade området representerar den kumulativa sannolikheten upp till datapunkt xx, som motsvarar z-poängen.

Användningsfall

Tillämpningar

  • Standardisering över Olika Skala:

    Z-poäng möjliggör jämförelse mellan data från olika skalor genom att standardisera dataset.

  • Avvikardetektering:

    Identifiering av datapunkter som ligger avsevärt långt från medelvärdet (t.ex. z-poäng mindre än -3 eller större än 3).

  • Statistisk Testning:

    Används i hypotesprövning, inklusive z-tester, för att avgöra om ett urvalsmedelvärde avviker signifikant från ett känt populationsmedelvärde.

  • Kvalitetskontroll:

    Inom tillverkning hjälper z-poäng att övervaka processer för att säkerställa att utdata förblir inom acceptabla gränser.

  • Finans och Investeringar:

    Bedömning av aktieprestanda genom att jämföra avkastningar i förhållande till det genomsnittliga marknadsresultatet.

Alternativ

  • T-Poäng:

    Liknande z-poäng men används när urvalsstorleken är liten och populationsstandardavvikelsen är okänd.

  • Percentil Rang:

    Indikerar procentandelen poäng i dess frekvensfördelning som är lika med eller lägre än den.

  • Standardavvikelse Enheter:

    Använda råa standardavvikelsevärden utan att standardisera som z-poäng.

Historia

Konceptet med z-poäng härstammar från arbetet med normalfördelningen av Carl Friedrich Gauss i början av 1800-talet. Den standardnormalfördelning som är grundläggande för z-poäng utvecklades ytterligare av statistiker som Abraham de Moivre och Pierre-Simon Laplace. Användningen av z-poäng blev utbredd med framstegen inom statistiska metoder under 1900-talet, särskilt inom psykologisk testning och kvalitetskontroll.

Exempel

Excel

1## Beräkna z-poäng i Excel
2## Anta att datapunkt finns i cell A2, medelvärde i cell B2, standardavvikelse i cell C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Beräkna z-poäng i R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Standardavvikelse kan inte vara noll.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Exempelanvändning:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-poäng:", z_score))
16

MATLAB

1% Beräkna z-poäng i MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Standardavvikelse kan inte vara noll.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Exempelanvändning:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-poäng: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Beräkna z-poäng i JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Standardavvikelse kan inte vara noll.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Exempelanvändning:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-poäng: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Beräkna z-poäng i Python
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Standardavvikelse kan inte vara noll.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Exempelanvändning:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-poäng:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Beräkna z-poäng i Java
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Standardavvikelse kan inte vara noll.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-poäng: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Beräkna z-poäng i C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Standardavvikelse kan inte vara noll.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-poäng: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Beräkna z-poäng i Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Standardavvikelse kan inte vara noll." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Exempelanvändning:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-poäng: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Beräkna z-poäng i PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Standardavvikelse kan inte vara noll.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Exempelanvändning:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-poäng: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Beräkna z-poäng i Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Standardavvikelse kan inte vara noll.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-poäng: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Beräkna z-poäng i C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Standardavvikelse kan inte vara noll.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-poäng: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Beräkna z-poäng i Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("standardavvikelse kan inte vara noll")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-poäng: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Beräkna z-poäng i Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Standardavvikelse kan inte vara noll.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Exempelanvändning:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-poäng: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Referenser

  1. Standardpoäng - Wikipedia

    https://sv.wikipedia.org/wiki/Standardpoäng

  2. Förstå Z-Poäng - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Normalfördelning och Z-Poäng - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Ytterligare Resurser

🔗

Relaterade verktyg

Upptäck fler verktyg som kan vara användbara för ditt arbetsflöde

Z-Test Kalkylator för Statistisk Analys och Hypotesprövning

Prova detta verktyg

Altman Z-Score Kalkylator för Kreditriskbedömning

Prova detta verktyg

T-Test Kalkylator för Statistisk Hypotesprövning

Prova detta verktyg

Råpoängskalkylator för statistisk analys och datatolkning

Prova detta verktyg

Kalkylator för kritiska värden i statistiska tester

Prova detta verktyg

Låddiagram Kalkylator för Statistisk Analys och Visualisering

Prova detta verktyg

A/B-test statistisk signifikans kalkylator för snabba resultat

Prova detta verktyg

Konfidensintervall till Standardavvikelse Omvandlare

Prova detta verktyg

Six Sigma-kalkylator: Mät din processkvalitet

Prova detta verktyg