Калькулятор Z-оцінки для статистичного аналізу даних

Обчисліть z-оцінку (стандартизовану оцінку) для будь-якої точки даних, визначаючи її положення відносно середнього значення за допомогою стандартного відхилення. Ідеально підходить для статистичного аналізу та стандартизації даних.

📚

Документація

Z-Score Calculator

Introduction

z-рахунок (або стандартний рахунок) є статистичним вимірюванням, яке описує відношення значення до середнього значення групи значень. Він вказує, скільки стандартних відхилень елемент від середнього. Z-рахунок є важливим інструментом у статистиці, що дозволяє стандартизувати різні набори даних та виявляти викиди.

Формула

Z-рахунок розраховується за допомогою наступної формули:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Де:

$z$ = z-рахунок
$x$ = окреме значення даних
$\mu$ = середнє значення набору даних
$\sigma$ = стандартне відхилення набору даних

Ця формула розраховує кількість стандартних відхилень, на які дані відхиляються від середнього.

Розрахунок

Щоб обчислити z-рахунок даного значення:

Розрахуйте середнє ( $\mu$ ):

Сумуйте всі дані та поділіть на кількість даних.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Розрахуйте стандартне відхилення ( $\sigma$ ):
- Дисперсія ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Стандартне відхилення:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Обчисліть Z-рахунок:

Підставте значення у формулу z-рахунку.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Крайні випадки

Нульове стандартне відхилення ( $\sigma = 0$ ):

Коли всі дані однакові, стандартне відхилення дорівнює нулю, що робить z-рахунок невизначеним, оскільки ви не можете ділити на нуль. У цьому випадку концепція z-рахунку не застосовується.
Дані, що дорівнюють середньому ( $x = \mu$ ):

Якщо дані дорівнюють середньому, z-рахунок дорівнює нулю, що вказує на те, що він є точно середнім.
Ненумеричні введення:

Переконайтеся, що всі введення є числовими. Ненумеричні введення призведуть до помилок у розрахунках.

Кумулятивна ймовірність

Кумулятивна ймовірність, пов'язана з z-рахунком, представляє ймовірність того, що випадкова змінна з стандартного нормального розподілу буде меншою або рівною заданому значенню. Це площа під кривою нормального розподілу зліва від заданого z-рахунку.

Математично кумулятивна ймовірність $P$ розраховується за допомогою функції кумулятивного розподілу (CDF) стандартного нормального розподілу:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Де:

$\Phi(z)$ = CDF стандартного нормального розподілу при $z$

Кумулятивна ймовірність є важливою в статистиці для визначення ймовірності того, що значення відбудеться в певному діапазоні. Вона широко використовується в таких сферах, як контроль якості, фінанси та соціальні науки.

SVG Діаграма

Нижче наведена SVG-діаграма, що ілюструє криву стандартного нормального розподілу та z-рахунок:

μ x z

Стандартний нормальний розподіл

Рисунок: Крива стандартного нормального розподілу з затіненням Z-рахунку

Ця діаграма показує криву нормального розподілу з середнім $\mu$ у центрі. Затінена область представляє кумулятивну ймовірність до даного значення $x$ , що відповідає z-рахунку.

Використання

Застосування

Стандартизація через різні шкали:

Z-рахунки дозволяють порівнювати дані з різних шкал, стандартизуючи набори даних.
Виявлення викидів:

Виявлення даних, що значно віддалені від середнього (наприклад, z-рахунки менше -3 або більше 3).
Статистичне тестування:

Використовується в тестуванні гіпотез, включаючи z-тести, для визначення, чи значно відрізняється середнє значення вибірки від відомого середнього значення популяції.
Контроль якості:

У виробництві z-рахунки допомагають контролювати процеси, щоб забезпечити, що результати залишаються в межах прийнятних обмежень.
Фінанси та інвестиції:

Оцінка продуктивності акцій шляхом порівняння доходів відносно середньої продуктивності ринку.

Альтернативи

T-рахунок:

Схожий на z-рахунок, але використовується, коли розмір вибірки малий, а стандартне відхилення популяції невідоме.
Перцентильний ранг:

Вказує на відсоток балів у його частотному розподілі, які є рівними або нижчими за нього.
Одиниці стандартного відхилення:

Використання сирих значень стандартного відхилення без стандартизації як z-рахунків.

Історія

Концепція z-рахунку виникає з роботи над нормальним розподілом Карла Фрідріха Гауса на початку 19 століття. Стандартний нормальний розподіл, що є фундаментальним для z-рахунків, був подальше розроблений статистиками, такими як Абрахам де Мувр і П'єр-Сімон Лаплас. Використання z-рахунків стало поширеним з розвитком статистичних методів у 20 столітті, особливо в психологічному тестуванні та контролі якості.

Приклади

Excel

1## Розрахунок z-рахунку в Excel
2## Припустимо, що дані в комірці A2, середнє в комірці B2, стандартне відхилення в комірці C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Розрахунок z-рахунку в R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Стандартне відхилення не може бути нулем.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Приклад використання:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-рахунок:", z_score))
16

MATLAB

1% Розрахунок z-рахунку в MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Стандартне відхилення не може бути нулем.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Приклад використання:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-рахунок: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Розрахунок z-рахунку в JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Стандартне відхилення не може бути нулем.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Приклад використання:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-рахунок: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Розрахунок z-рахунку в Python
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Стандартне відхилення не може бути нулем.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Приклад використання:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-рахунок:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Розрахунок z-рахунку в Java
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Стандартне відхилення не може бути нулем.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-рахунок: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Розрахунок z-рахунку в C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Стандартне відхилення не може бути нулем.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-рахунок: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Розрахунок z-рахунку в Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Стандартне відхилення не може бути нулем." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Приклад використання:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-рахунок: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Розрахунок z-рахунку в PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Стандартне відхилення не може бути нулем.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Приклад використання:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-рахунок: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Розрахунок z-рахунку в Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Стандартне відхилення не може бути нулем.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-рахунок: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Розрахунок z-рахунку в C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Стандартне відхилення не може бути нулем.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-рахунок: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Розрахунок z-рахунку в Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("стандартне відхилення не може бути нулем")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-рахунок: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Розрахунок z-рахунку в Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Стандартне відхилення не може бути нулем.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Приклад використання:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-рахунок: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Посилання

Стандартний рахунок - Вікіпедія

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Розуміння Z-рахунків - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Нормальний розподіл та Z-рахунки - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Додаткові ресурси

Інтерактивний калькулятор Z-рахунку

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Візуалізація нормального розподілу

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

💬

Відгуки

💬

Натисніть на тост відгуку, щоб почати залишати відгук про цей інструмент

🔗

Супутні інструменти

Відкрийте для себе більше інструментів, які можуть бути корисними для вашого робочого процесу