Whiz Tools

Z-Score Calculator

Introduction

z-score (یا معیاری اسکور) ایک شماریاتی پیمائش ہے جو کسی قدر کے ایک گروپ کی اوسط کے ساتھ تعلق کی وضاحت کرتی ہے۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ ایک عنصر اوسط سے کتنے معیاری انحراف دور ہے۔ z-score شماریات میں ایک اہم ٹول ہے، جو مختلف ڈیٹا سیٹس کی معیاری سازی اور غیر معمولی نکات کی شناخت کی اجازت دیتا ہے۔

Formula

z-score کو درج ذیل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے حساب کیا جاتا ہے:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

جہاں:

  • zz = z-score
  • xx = انفرادی ڈیٹا پوائنٹ
  • μ\mu = ڈیٹا سیٹ کی اوسط
  • σ\sigma = ڈیٹا سیٹ کا معیاری انحراف

یہ فارمولا یہ حساب کرتا ہے کہ ایک ڈیٹا پوائنٹ اوسط سے کتنے معیاری انحراف دور ہے۔

Calculation

ایک ڈیٹا پوائنٹ کا z-score حساب کرنے کے لیے:

  1. اوسط (μ\mu) کا حساب لگائیں:

    تمام ڈیٹا پوائنٹس کو جمع کریں اور ڈیٹا پوائنٹس کی تعداد سے تقسیم کریں۔

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. معیاری انحراف (σ\sigma) کا حساب لگائیں:

    • تغیر (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • معیاری انحراف:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Z-Score کا حساب لگائیں:

    z-score کے فارمولے میں اقدار کو متبادل کریں۔

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Edge Cases

  • زیرو معیاری انحراف (σ=0\sigma = 0):

    جب تمام ڈیٹا پوائنٹس یکساں ہوں تو معیاری انحراف صفر ہوتا ہے، جس کی وجہ سے z-score غیر معین ہو جاتا ہے کیونکہ آپ صفر سے تقسیم نہیں کر سکتے۔ اس صورت میں، z-score کا تصور لاگو نہیں ہوتا۔

  • اوسط کے برابر ڈیٹا پوائنٹ (x=μx = \mu):

    اگر ڈیٹا پوائنٹ اوسط کے برابر ہو تو z-score صفر ہوتا ہے، جو ظاہر کرتا ہے کہ یہ بالکل اوسط ہے۔

  • غیر عددی ان پٹ:

    یقینی بنائیں کہ تمام ان پٹ عددی ہیں۔ غیر عددی ان پٹ حسابی غلطیوں کا سبب بنے گا۔

Cumulative Probability

z-score کے ساتھ وابستہ جمع شدہ احتمال اس احتمال کی نمائندگی کرتا ہے کہ ایک تصادفی متغیر معیاری نارمل تقسیم سے کم یا اس کے برابر ہوگا۔ یہ معیاری تقسیم کے منحنی خطوط کے نیچے کا علاقہ ہے جو مخصوص z-score کے بائیں جانب ہے۔

ریاضیاتی طور پر، جمع شدہ احتمال PP کو معیاری نارمل تقسیم کی جمع تقسیم کی تقریب (CDF) کا استعمال کرتے ہوئے حساب کیا جاتا ہے:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

جہاں:

  • Φ(z)\Phi(z) = معیاری نارمل تقسیم کا CDF zz پر

جمع شدہ احتمال شماریات میں ایک اہمیت رکھتا ہے تاکہ کسی مخصوص رینج میں کسی قدر کے واقع ہونے کے امکانات کا تعین کیا جا سکے۔ یہ معیار کنٹرول، مالیات، اور سماجی علوم جیسے شعبوں میں وسیع پیمانے پر استعمال ہوتا ہے۔

SVG Diagram

نیچے ایک SVG ڈایاگرام ہے جو معیاری نارمل تقسیم کے منحنی خطوط اور z-score کی وضاحت کرتا ہے:

μ x z

معیاری نارمل تقسیم

تصویر: معیاری نارمل تقسیم کا منحنی جس میں Z-Score سایہ دار ہے

یہ ڈایاگرام نارمل تقسیم کے منحنی خطوط کو دکھاتا ہے جس میں اوسط μ\mu مرکز میں ہے۔ سایہ دار علاقہ اس ڈیٹا پوائنٹ xx تک جمع شدہ احتمال کی نمائندگی کرتا ہے، جو z-score کے مطابق ہے۔

Use Cases

Applications

  • مختلف پیمانوں میں معیاری سازی:

    Z-scores مختلف پیمانوں سے ڈیٹا کی موازنہ کی اجازت دیتے ہیں۔

  • غیر معمولی نکات کی شناخت:

    ایسے ڈیٹا پوائنٹس کی شناخت کرنا جو اوسط سے نمایاں دور ہوں (جیسے، z-scores جو -3 سے کم یا 3 سے زیادہ ہوں)۔

  • شماریاتی ٹیسٹنگ:

    مفروضہ ٹیسٹنگ میں استعمال ہوتا ہے، بشمول z-tests، تاکہ یہ طے کیا جا سکے کہ آیا ایک نمونہ کی اوسط معروف آبادی کی اوسط سے نمایاں طور پر مختلف ہے۔

  • معیار کنٹرول:

    مینوفیکچرنگ میں، z-scores عمل کی نگرانی میں مدد کرتے ہیں تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ آؤٹ پٹ قابل قبول حدوں میں رہیں۔

  • مالی اور سرمایہ کاری:

    اسٹاک کی کارکردگی کا اندازہ لگانا اوسط مارکیٹ کی کارکردگی کے مقابلے میں۔

Alternatives

  • T-Score:

    z-score کے مشابہ لیکن جب نمونہ کا سائز چھوٹا ہو اور آبادی کا معیاری انحراف معلوم نہ ہو تو استعمال ہوتا ہے۔

  • فیصدی درجہ:

    اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ اس کی تعدادی تقسیم میں کتنے فیصد اسکور اس کے برابر یا اس سے کم ہیں۔

  • معیاری انحراف کے یونٹس:

    z-scores کے بغیر خام معیاری انحراف کی قیمتوں کا استعمال کرنا۔

History

z-score کا تصور کارل فریڈرک گاس کے کام سے پیدا ہوا جو 19ویں صدی کے اوائل میں نارمل تقسیم پر تھا۔ معیاری نارمل تقسیم، جو کہ z-scores کے لیے بنیادی ہے، کو ابراہم ڈی موئور اور پیئر-سیمون لیپلیس جیسے شماریات دانوں نے مزید ترقی دی۔ 20ویں صدی میں شماریاتی طریقوں کی ترقی کے ساتھ، z-scores کا استعمال وسیع پیمانے پر ہوا، خاص طور پر نفسیاتی ٹیسٹنگ اور معیار کنٹرول میں۔

Examples

Excel

## Excel میں z-score کا حساب لگائیں
## فرض کریں کہ ڈیٹا پوائنٹ سیل A2 میں، اوسط سیل B2 میں، معیاری انحراف سیل C2 میں ہے
=(A2 - B2) / C2

R

## R میں z-score کا حساب لگائیں
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## مثال کے استعمال:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-score:", z_score))

MATLAB

% MATLAB میں z-score کا حساب لگائیں
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% مثال کے استعمال:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-score: %.2f\n', z);

JavaScript

// JavaScript میں z-score کا حساب لگائیں
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// مثال کے استعمال:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Python میں z-score کا حساب لگائیں
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔")
    return (x - mu) / sigma

## مثال کے استعمال:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-score:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Java میں z-score کا حساب لگائیں
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// C++ میں z-score کا حساب لگائیں
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Ruby میں z-score کا حساب لگائیں
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔" if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## مثال کے استعمال:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// PHP میں z-score کا حساب لگائیں
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// مثال کے استعمال:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-score: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Rust میں z-score کا حساب لگائیں
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// C# میں z-score کا حساب لگائیں
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Go میں z-score کا حساب لگائیں
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Swift میں z-score کا حساب لگائیں
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "معیاری انحراف صفر نہیں ہو سکتا۔", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// مثال کے استعمال:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

References

  1. معیاری اسکور - وکیپیڈیا

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Z-Scores کو سمجھنا - شماریاتی حل

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. نارمل تقسیم اور Z-Scores - خان اکیڈمی

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Additional Resources

Loading related tools...
Feedback