מחשבון Z-Test

מבוא

מחשבון ה-Z-test הוא כלי חזק שנועד לעזור לך לבצע ולהבין מבחני Z חד-דגימתיים. מבחן סטטיסטי זה משמש לקבוע האם ממוצע דגימה שנלקח מאוכלוסייה שונה באופן משמעותי מממוצע אוכלוסייה ידוע או היפותטי.

נוסחה

ציון ה-Z עבור מבחן Z חד-דגימתי מחושב באמצעות הנוסחה הבאה:

$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

כאשר:

• $\bar{x}$ הוא ממוצע הדגימה
• $\mu$ הוא ממוצע האוכלוסייה
• $\sigma$ הוא סטיית התקן של האוכלוסייה
• $n$ הוא גודל הדגימה

נוסחה זו מחשבת את מספר סטיות התקן שממוצע הדגימה רחוק מממוצע האוכלוסייה.

כיצד להשתמש במחשבון הזה

1. הזן את ממוצע הדגימה ($\bar{x}$)
2. הזן את ממוצע האוכלוסייה ($\mu$)
3. הזן את סטיית התקן של האוכלוסייה ($\sigma$)
4. הזן את גודל הדגימה ($n$)
5. לחץ על כפתור "חשב" כדי לקבל את ציון ה-Z

המחשבון יציג את ציון ה-Z התוצאה ואת הפירוש שלה.

הנחות ומגבלות

מבחן ה-Z מתבסס על מספר הנחות:

1. הדגימה נבחרה באופן אקראי מהאוכלוסייה.
2. סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה.
3. האוכלוסייה פועלת לפי התפלגות נורמלית.
4. גודל הדגימה מספיק גדול (בדרך כלל n > 30).

חשוב לציין שאם סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה או אם גודל הדגימה קטן, מבחן t עשוי להיות מתאים יותר.

פירוש התוצאות

ציון ה-Z מייצג את מספר סטיות התקן שממוצע הדגימה רחוק מממוצע האוכלוסייה. בדרך כלל:

• ציון Z של 0 מציין שממוצע הדגימה שווה לממוצע האוכלוסייה.
• ציוני Z בין -1.96 ל-1.96 מצביעים על כך שממוצע הדגימה אינו שונה באופן משמעותי מממוצע האוכלוסייה ברמת ביטחון של 95%.
• ציוני Z מחוץ לטווח זה מצביעים על הבדל סטטיסטי משמעותי.

הפירוש המדויק תלוי ברמת המשמעות שנבחרה (α) ובין אם מדובר במבחן חד-כיווני או דו-כיווני.

שימושים

מבחן ה-Z יש לו מגוון יישומים בתחומים שונים:

1. בקרת איכות: בדיקת האם קו ייצור עומד בסטנדרטים שנקבעו.
2. מחקר רפואי: השוואת תוצאות קבוצת טיפול לערכים ידועים של אוכלוסייה.
3. מדעי החברה: הערכת האם מאפייני דגימה שונים מהנורמות של האוכלוסייה.
4. פיננסים: הערכת אם ביצועי תיק שונה באופן משמעותי מהממוצע של השוק.
5. חינוך: השוואת ביצועי תלמידים לממוצעים של מבחנים סטנדרטיים.

חלופות

בעוד שמבחן ה-Z נמצא בשימוש נרחב, ישנם מצבים שבהם מבחנים חלופיים עשויים להיות מתאימים יותר:

1. מבחן t: כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה או כאשר גודל הדגימה קטן.
2. ANOVA: להשוואת ממוצעים ביותר משתי קבוצות.
3. מבחן חי-ריבוע: לניתוח נתונים קטגוריאליים.
4. מבחנים לא פרמטריים: כאשר הנתונים אינם פועלים לפי התפלגות נורמלית.

היסטוריה

מבחן ה-Z יש לו שורשים בפיתוח תיאוריה סטטיסטית בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20. הוא קשור קשר הדוק להתפלגות הנורמלית, שמתוארת לראשונה על ידי אברהם דה מואבר בשנת 1733. המונח "ציון סטנדרטי" או "ציון Z" הוצג על ידי צ'ארלס ספירמן בשנת 1904.

מבחן ה-Z הפך להיות בשימוש נרחב עם הופעת מבחנים סטנדרטיים בחינוך ובפסיכולוגיה בתחילת המאה ה-20. הוא שיחק תפקיד מרכזי בפיתוח מסגרות של בדיקות השערות על ידי סטטיסטיקאים כמו רונלד פישר, ירזי ניימן ואגון פירסון.

היום, מבחן ה-Z נשאר כלי בסיסי בניתוח סטטיסטי, במיוחד במחקרים גדולים שבהם פרמטרי האוכלוסייה ידועים או יכולים להיות מוערכים בצורה אמינה.

דוגמאות

הנה כמה דוגמאות קוד לחישוב ציוני Z בשפות תכנות שונות:

1' פונקציית Excel עבור ציון Z
2Function ZScore(sampleMean As Double, populationMean As Double, populationStdDev As Double, sampleSize As Double) As Double
3    ZScore = (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Sqr(sampleSize))
4End Function
5' שימוש:
6' =ZScore(10, 9.5, 2, 100)
7

1import math
2
3def z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size):
4    return (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / math.sqrt(sample_size))
5
6## דוגמת שימוש:
7sample_mean = 10
8population_mean = 9.5
9population_std_dev = 2
10sample_size = 100
11z = z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
12print(f"ציון Z: {z:.4f}")
13

1function zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize) {
2  return (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Math.sqrt(sampleSize));
3}
4
5// דוגמת שימוש:
6const sampleMean = 10;
7const populationMean = 9.5;
8const populationStdDev = 2;
9const sampleSize = 100;
10const z = zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize);
11console.log(`ציון Z: ${z.toFixed(4)}`);
12

1z_score <- function(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size) {
2  (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / sqrt(sample_size))
3}
4
5## דוגמת שימוש:
6sample_mean <- 10
7population_mean <- 9.5
8population_std_dev <- 2
9sample_size <- 100
10z <- z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
11cat(sprintf("ציון Z: %.4f\n", z))
12

ויזואליזציה

ציון ה-Z יכול להיות מוויזואליזציה על עקומת התפלגות נורמלית סטנדרטית. הנה ייצוג ASCII פשוט: