Z-Test Calculator

Introduction

Калькулятор Z-тесту — це потужний інструмент, призначений для допомоги у виконанні та розумінні одновибіркових Z-тестів. Цей статистичний тест використовується для визначення, чи відрізняється середнє значення вибірки, взятої з популяції, значно від відомого або гіпотетичного середнього значення популяції.

Formula

Z-оцінка для одновибіркового Z-тесту обчислюється за наступною формулою:

$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

Де:

• $\bar{x}$ — це середнє значення вибірки
• $\mu$ — це середнє значення популяції
• $\sigma$ — це стандартне відхилення популяції
• $n$ — це розмір вибірки

Ця формула обчислює, на скільки стандартних відхилень середнє значення вибірки відрізняється від середнього значення популяції.

How to Use This Calculator

1. Введіть середнє значення вибірки ($\bar{x}$)
2. Введіть середнє значення популяції ($\mu$)
3. Введіть стандартне відхилення популяції ($\sigma$)
4. Введіть розмір вибірки ($n$)
5. Натисніть кнопку "Обчислити", щоб отримати Z-оцінку

Калькулятор відобразить отриману Z-оцінку та її інтерпретацію.

Assumptions and Limitations

Z-тест базується на кількох припущеннях:

1. Вибірка випадковим чином вибрана з популяції.
2. Стандартне відхилення популяції відоме.
3. Популяція має нормальний розподіл.
4. Розмір вибірки є достатньо великим (зазвичай n > 30).

Важливо зазначити, що якщо стандартне відхилення популяції невідоме або розмір вибірки малий, то t-тест може бути більш доречним.

Interpretation of Results

Z-оцінка представляє кількість стандартних відхилень, на які середнє значення вибірки відрізняється від середнього значення популяції. Загалом:

• Z-оцінка 0 вказує на те, що середнє значення вибірки дорівнює середньому значенню популяції.
• Z-оцінки між -1.96 та 1.96 свідчать про те, що середнє значення вибірки не відрізняється значно від середнього значення популяції на рівні довіри 95%.
• Z-оцінки за межами цього діапазону вказують на статистично значущу різницю.

Точна інтерпретація залежить від обраного рівня значущості (α) та того, чи це односторонній чи двосторонній тест.

Use Cases

Z-тест має різноманітні застосування в різних сферах:

1. Контроль якості: Тестування, чи відповідає виробнича лінія встановленим стандартам.
2. Медичні дослідження: Порівняння результатів групи лікування з відомими значеннями популяції.
3. Соціальні науки: Оцінка, чи характеристики вибірки відрізняються від норм популяції.
4. Фінанси: Оцінка, чи значно відрізняється продуктивність портфеля від середнього ринку.
5. Освіта: Порівняння успішності студентів з середніми показниками стандартизованих тестів.

Alternatives

Хоча Z-тест широко використовується, є ситуації, коли альтернативні тести можуть бути більш доречними:

1. T-тест: Коли стандартне відхилення популяції невідоме або розмір вибірки малий.
2. ANOVA: Для порівняння середніх значень між більше ніж двома групами.
3. Тест хі-квадрат: Для аналізу категоричних даних.
4. Непараметричні тести: Коли дані не мають нормального розподілу.

History

Z-тест має свої корені в розвитку статистичної теорії наприкінці 19-го та на початку 20-го століття. Він тісно пов'язаний з нормальним розподілом, який вперше описав Абрахам де Мувр у 1733 році. Термін "стандартний бал" або "Z-оцінка" був введений Чарльзом Спірменом у 1904 році.

Z-тест став широко використовуватися з появою стандартизованого тестування в освіті та психології на початку 20-го століття. Він відіграв важливу роль у розвитку рамок тестування гіпотез статистиками, такими як Рональд Фішер, Єжи Нейман та Егон Пірсон.

Сьогодні Z-тест залишається основним інструментом у статистичному аналізі, особливо в дослідженнях з великими вибірками, де параметри популяції відомі або можуть бути надійно оцінені.

Examples

Ось кілька прикладів коду для обчислення Z-оцінок на різних мовах програмування:

1' Excel Function for Z-score
2Function ZScore(sampleMean As Double, populationMean As Double, populationStdDev As Double, sampleSize As Double) As Double
3    ZScore = (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Sqr(sampleSize))
4End Function
5' Usage:
6' =ZScore(10, 9.5, 2, 100)
7

1import math
2
3def z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size):
4    return (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / math.sqrt(sample_size))
5
6## Example usage:
7sample_mean = 10
8population_mean = 9.5
9population_std_dev = 2
10sample_size = 100
11z = z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
12print(f"Z-score: {z:.4f}")
13

1function zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize) {
2  return (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Math.sqrt(sampleSize));
3}
4
5// Example usage:
6const sampleMean = 10;
7const populationMean = 9.5;
8const populationStdDev = 2;
9const sampleSize = 100;
10const z = zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize);
11console.log(`Z-score: ${z.toFixed(4)}`);
12

1z_score <- function(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size) {
2  (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / sqrt(sample_size))
3}
4
5## Example usage:
6sample_mean <- 10
7population_mean <- 9.5
8population_std_dev <- 2
9sample_size <- 100
10z <- z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
11cat(sprintf("Z-score: %.4f\n", z))
12

Visualization

Z-оцінку можна візуалізувати на кривій стандартного нормального розподілу. Ось просте ASCII-представлення: