حاسبة أمان حمل العارضة

تتحقق حاسبة أمان حمل العارضة مما إذا كانت العارضة قادرة على تحمّل حمل معيّن دون تجاوز حد الإجهاد الآمن لمادتها. فهي تحسب إجهاد الانحناء الذي يولّده الحمل داخل العارضة، وتقارنه بالإجهاد المسموح لمادتها، وتعرض عامل الأمان مع حكم بأن العارضة آمنة أو غير آمنة.

المقصود بـ «أمان العارضة»

العارضة عنصر إنشائي يمتد بين نقطتي إسناد وينقل الحمل جانبيًا إليهما، مثل رافدة الأرضية، أو عتبة فوق باب، أو حامل رف. وعندما يضغط الحمل على العارضة إلى الأسفل تنحني. ويؤدي الانحناء إلى شدّ الألياف في أحد الجانبين وضغط الألياف في الجانب الآخر. ويعتمد مقدار الإجهاد الناتج على ثقل الحمل، والمسافة بين نقطتي الإسناد، وشكل المقطع العرضي للعارضة.

تنهار العارضة، أو يُحكم بأنها غير آمنة، حين يتجاوز الإجهاد داخلها ما تتحمله المادة. ولا يصمم المهندسون حتى هذا الحد، بل يتركون هامشًا يسمى عامل الأمان، كي تظل العارضة صامدة حتى لو اختلف الحمل الفعلي أو متانة المادة أو جودة التنفيذ قليلًا عن المخطط.

تعالج هذه الحاسبة حالة شائعة واحدة: عارضة مرتكزة على نقطتي إسناد يضغط عليها حمل واحد إلى الأسفل في منتصفها. وتسمى هذه الحالة عارضة بسيطة الإسناد بحمل مركّز في المنتصف. ولا تشمل الحاسبة العارضات الكابولية (المثبّتة من طرف واحد فقط)، ولا الأحمال الموزعة على كامل الفتحة، ولا الأحمال المتعددة، ولا وزن العارضة نفسها.

صيغة أمان حمل العارضة

إجهاد الانحناء

الإجهاد الذي يولّده الحمل داخل العارضة هو:

$\sigma = \frac{M}{S}$

• σ (سيغما) هو إجهاد الانحناء بالميغاباسكال (MPa)
• M هو أقصى عزم انحناء بالنيوتن·متر (N·m)
• S هو معامل المقطع للمقطع العرضي للعارضة بالمتر المكعب (m³)

بالنسبة إلى عارضة مرتكزة على نقطتي إسناد ويؤثر في منتصفها حمل واحد، فإن أقصى عزم انحناء هو:

$M = \frac{P \times L}{4}$

• P هو الحمل المؤثر بالنيوتن (N)
• L هي الفتحة بين نقطتي الإسناد بالمتر (m)

معامل المقطع بحسب الشكل

يعتمد معامل المقطع S على شكل المقطع العرضي للعارضة. وهو يساوي عزم القصور الذاتي (I)، وهو مقياس لكيفية توزع المادة بعيدًا عن المركز، مقسومًا على المسافة من المركز إلى الحافة الخارجية (c). وبالنسبة إلى الشكلين المصمتين أدناه يؤول ذلك إلى القيمتين S = bh²/6 وS = πd³/32 المذكورتين في المراجع الدراسية، واللتين يوردهما دليل الخشب الصادر عن مختبر المنتجات الحرجية التابع لوزارة الزراعة الأمريكية لإجهاد الانحناء.

المستطيل (مصمت، مثل رافدة خشبية):

$I = \frac{b \times h^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

b هو العرض وh هو الارتفاع.

الدائرة (قضيب أو أنبوب):

$I = \frac{\pi \times d^4}{64}, \qquad S = \frac{I}{d/2}$

d هو القطر.

العارضة I (مقطع فولاذي له شفتان في الأعلى والأسفل وعصب رفيع بينهما):

$I = \frac{b \times h^3}{12} - \frac{(b - t_w) \times h_w^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

هنا b هو عرض الشفة، وh هو الارتفاع الكلي، و$t_w$ هو سماكة العصب، و$h_w$ هو ارتفاع العصب (الارتفاع الكلي مطروحًا منه ضعف سماكة الشفة). وهذا يعامل العارضة I على أنها مستطيل مصمت تُقتطع من وسطه فتحة مستطيلة.

عامل الأمان

$\text{عامل الأمان} = \frac{\text{الإجهاد المسموح}}{\text{الإجهاد الفعلي}}$

يعني عامل الأمان 1.0 أن العارضة محمّلة تمامًا إلى حدها الأقصى. وتعني القيمة الأقل من 1.0 أن العارضة غير آمنة: فالحمل يولّد إجهادًا أكبر مما تتحمله المادة. وتعني القيمة الأكبر من 1.0 أن للعارضة هامشًا. وتعدّ الحاسبة العارضة آمنة متى بلغ عامل الأمان 1.0.

الإجهاد المسموح بحسب المادة

تستخدم الحاسبة إجهاد انحناء مسموحًا ثابتًا لكل مادة. وهو لا يساوي النقطة التي تبدأ عندها المادة في الانكسار؛ إنما هو قيمة تصميمية تتضمن هامشًا مدمجًا فيها، تشبه القيم التي تستخدمها الأكواد الإنشائية مثل دليل AISC للفولاذ.

هذه قيم مبسطة وعامة الغرض. أما الإجهاد المسموح الفعلي فيختلف باختلاف درجة الفولاذ، ونوع الخشب ودرجته، وسبيكة الألومنيوم وحالة معالجتها الحرارية. وفي مشروع بناء حقيقي، تحقق من درجة المادة المحددة وفق كود البناء المعمول به قبل اعتماد التصميم.

كيف تحسب أمان حمل العارضة: مثال محلول

يريد صاحب منزل أن يتحقق مما إذا كانت رافدة أرضية قائمة تستطيع تحمّل حوض استحمام للنقع.

المعطيات:

• الشكل: مستطيل، العرض 0.05 متر والارتفاع 0.2 متر (نحو لوح بقياس 2 في 8)
• المادة: خشب
• الفتحة بين نقطتي الإسناد: 3.5 متر
• الحمل في المنتصف: 2000 N (نحو وزن الحوض والماء وشخص)

الخطوة 1: عزم القصور الذاتي. $I = \frac{0.05 \times 0.2^3}{12} = 3.33 \times 10^{-5}\ \text{m}^4$

الخطوة 2: معامل المقطع. $S = \frac{3.33 \times 10^{-5}}{0.2 / 2} = 3.33 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$

الخطوة 3: عزم الانحناء. $M = \frac{2000 \times 3.5}{4} = 1750\ \text{N·m}$

الخطوة 4: إجهاد الانحناء. $\sigma = \frac{1750}{3.33 \times 10^{-4}} \approx 5.25\ \text{MPa}$

الخطوة 5: عامل الأمان. الإجهاد المسموح للخشب هو 10 MPa، ومن ثم: $\text{عامل الأمان} = \frac{10}{5.25} \approx 1.90$

عامل الأمان 1.90 أكبر من 1.0، ولذلك فإن الرافدة آمنة لهذا الحمل، بهامش معقول.

مثالان آخران

عارضة I فولاذية. الارتفاع 0.2 متر، وعرض الشفة 0.1 متر، وسماكة الشفة 0.01 متر، وسماكة العصب 0.006 متر، والفتحة 5 متر، والحمل في المنتصف 50,000 N. يبلغ عزم القصور الذاتي نحو 2.10 × 10⁻⁵ m⁴، فينتج إجهاد انحناء نحو 298 MPa مقابل الإجهاد المسموح للفولاذ البالغ 165 MPa. وعامل الأمان نحو 0.55، وهذا غير آمن: فالعارضة أصغر من أن تناسب هذه الفتحة وهذا الحمل. ويلزم مقطع أعمق، أو فتحة أقصر، أو حمل أخف.

قضيب ألومنيوم. القطر 0.08 متر، والفتحة 4 متر، والحمل في المنتصف 800 N. يبلغ معامل المقطع نحو 5.03 × 10⁻⁵ m³، فينتج إجهاد انحناء نحو 15.9 MPa مقابل الإجهاد المسموح للألومنيوم البالغ 100 MPa. وعامل الأمان نحو 6.28، وهو آمن بهامش مريح.

ما لا تغطيه الحاسبة

• العارضات الكابولية. العارضة المثبّتة من طرف واحد والمحمّلة عند الطرف الحر يتولد فيها عزم انحناء مختلف وأكبر ($M = P \times L$، لا $P \times L / 4$) من حالة العارضة بسيطة الإسناد التي تنمذجها هذه الحاسبة.
• الأحمال الموزعة. الأحمال المنتشرة بالتساوي على الفتحة، مثل وزن الأرضية، تختلف عن حمل مركّز واحد في المنتصف.
• الوزن الذاتي. تأخذ الحاسبة في الحسبان الحمل المؤثر فقط. ولا تضيف وزن العارضة نفسها.
• الانحراف. قد تجتاز العارضة فحص الإجهاد ومع ذلك تتدلى أكثر مما هو مقبول في أرضية أو سقف. ويتطلب فحص التدلي حساب انحراف منفصلًا.
• الأحمال الديناميكية والمتكررة. تنطوي هبّات الرياح والاهتزاز وأحمال الصدم على قوى تتجاوز الفحص الاستاتيكي البسيط.

في أي منشأ حقيقي، ولا سيما حيث قد يؤدي الانهيار إلى إصابة أحد، يُستحسن أن يراجع مهندس إنشائي مرخّص التصميم.

الأسئلة الشائعة

ما حاسبة أمان حمل العارضة؟ هي أداة تقارن الإجهاد الذي يولّده الحمل في العارضة بالإجهاد المسموح لمادتها، ثم تعرض عامل الأمان ونتيجة بأن العارضة آمنة أو غير آمنة.

ما عامل الأمان الكافي؟ لا توجد إجابة واحدة؛ فهو يعتمد على كود البناء المعمول به ومدى معرفة الحمل بدقة. والعامل 1.0 هو الحد الأدنى المطلق ولا يترك أي هامش. وتعتمد تصاميم يومية كثيرة عوامل أعلى، غالبًا في نطاق 1.5 إلى 3، لكن الكود الذي يحكم المشروع المعيّن هو الذي يحدد المتطلب الفعلي.

هل تستطيع هذه الحاسبة فحص عارضة كابولية؟ لا. فهي تنمذج فقط عارضة مسنودة من طرفيها بحمل واحد في المنتصف. أما العارضة الكابولية، المثبّتة من طرف والمحمّلة عند الطرف الآخر، فلها عزم انحناء مختلف وأكبر عمومًا للحمل والطول نفسيهما.

لماذا إجهاد الفولاذ المسموح أقل من إجهاد خضوعه؟ إجهاد الخضوع هو الإجهاد الذي يبدأ عنده الفولاذ في التشوه الدائم. وتحدد الأكواد الإنشائية إجهاد التصميم المسموح دون حد الخضوع، وعادةً بنحو ثلثيه، كي لا تكون العارضة عند نقطة التشوه الدائم تحت حملها التشغيلي.

هل تعني النتيجة الآمنة أن العارضة لن تتدلى؟ لا. فهذه الحاسبة تفحص إجهاد الانحناء فقط. وقد تكون العارضة آمنة من ناحية الإجهاد ومع ذلك تنحرف، أي تتدلى، أكثر مما هو مريح أو مسموح به للاستخدام. ويُفحص التدلي بحساب انحراف منفصل.

لماذا يؤثر ارتفاع العارضة كثيرًا؟ يدخل الارتفاع في صيغة عزم القصور الذاتي بالصيغة $h^3$، لكن معامل المقطع الذي يحدد قدرة التحمل في هذه الحاسبة هو $S = bh^2/6$ للمستطيل، ولذلك يدخل الارتفاع بالصيغة $h^2$. ومضاعفة ارتفاع العارضة المستطيلة تضاعف معامل مقطعها أربع مرات، وبذلك تضاعف الحمل المسموح الذي تعرضه هذه الحاسبة أربع مرات، أي أكثر بكثير من مضاعفة العرض (الذي يضاعف S مرتين فقط)، ولهذا فإن العارضات الأعمق أكفأ بكثير في مقاومة الانحناء من العارضات الأعرض. أما زيادة عزم القصور الذاتي ثماني مرات فتهم الصلابة والانحراف، وهما ما لا تحسبه هذه الحاسبة.

المراجع

1. دائرة الغابات الأمريكية، مختبر المنتجات الحرجية. Wood Handbook: Wood as an Engineering Material (FPL-GTR-190), Chapter 9: Structural Analysis Equations. دليل الخشب الصادر عن مختبر المنتجات الحرجية التابع لوزارة الزراعة الأمريكية — المعادلة 9-13: إجهاد الانحناء = M / معامل المقطع، مع معامل مقطع bh²/6 للمقطع المستطيل وπD³/32 للمقطع الدائري.