Конвертор на числени бази: Двоична, Шестнадесетична, Десетична и Осмична

Конвертор на бройни системи

Конверторът на бройни системи променя начина, по който се записва дадено число, като го преобразува от една позиционна бройна система в друга, без да променя стойността му. Той може да преобразува двоично число в десетично, десетично в шестнадесетично или да преобразува между всякакви две основи от 2 до 36.

Какво е основа на бройна система?

Основата на бройна система, наричана още радикс, е броят на различните цифри, които системата използва, преди да започне да ги повтаря на нова позиция. Десетичната система, използвана за всекидневно броене, е с основа 10. Тя използва десет цифри — от 0 до 9. Двоичната система е с основа 2 и използва само 0 и 1. Когато основата е по-голяма от 10, буквите заместват липсващите цифри: A означава 10, B означава 11 и така нататък до Z, което означава 35. Така системата може да достигне основа 36 — най-високата основа, която повечето конвертори поддържат, като използва само 26-те букви от азбуката и 10-те цифри.

Всяка цифра в едно число има позиционна стойност, основана на степените на основата. В десетичната система числото „205“ означава 2 стотици, 0 десетици и 5 единици, защото 100 и 10 са степени на 10. Същият принцип важи за всяка основа: най-дясната цифра се умножава по основата⁰, следващата — по основата¹, следващата — по основата² и така нататък.

Как се преобразува число в друга бройна система

Преобразуване на число в десетична система

За да преобразувате число от произволна основа в десетична система, умножете всяка цифра по основата, повдигната на степен, равна на позицията ѝ, като броите от 0 вдясно, след което съберете резултатите.

Формула: стойност = dₙ × основаⁿ + ... + d₁ × основа¹ + d₀ × основа⁰

Пример: Преобразувайте числото с основа 5 101 в десетична система.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Следователно 101 с основа 5 е равно на 26 в десетичната система.

Преобразуване от десетична система в друга бройна система

За да преобразувате десетично число в друга бройна система, разделяйте го многократно на целевата основа и запазвайте остатъка при всяко деление. Спрете, когато числото достигне 0, след което прочетете остатъците от последния към първия.

Пример: Преобразувайте десетичното число 26 в система с основа 5.

• 26 ÷ 5 = 5, остатък 1
• 5 ÷ 5 = 1, остатък 0
• 1 ÷ 5 = 0, остатък 1
• Четене на остатъците отдолу нагоре: 101

Това потвърждава предишния пример: 26 в десетичната система е 101 с основа 5.

Пример с решение

От двоична в десетична система: Двоичното число 1101 се преобразува в десетична система така: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

От десетична в шестнадесетична система: Десетичното число 202 се преобразува в шестнадесетична система така: 202 ÷ 16 = 12, остатък 10, след това 12 ÷ 16 = 0, остатък 12. В шестнадесетичната система 10 се записва като A, а 12 — като C. Четенето на остатъците отдолу нагоре дава CA. Следователно 202 в десетичната система е CA в шестнадесетичната.

От осмична в двоична система: Осмичното число 17 първо се преобразува в десетична система: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. След това десетичното 15 се преобразува в двоично като 1111. Следователно 17 в осмичната система е 1111 в двоичната.

Често използвани бройни системи

Много големи числа

Някои преобразувания включват числа, които са твърде големи, за да бъдат обработени точно със стандартна аритметика с числа с двойна точност, например шестнадесетична стойност с 64 бита като FFFFFFFFFFFFFFFF. Този конвертор работи с цели числа с произволен размер, като използва целочислена аритметика с произволна точност, затова не закръгля и не губи цифри при дълги стойности.

Какво приема конверторът

Инструментът обработва цели числа, равни на нула или по-големи от нула, записани с цифрите, разрешени в изходната бройна система. Буквите могат да се въвеждат и с малки, и с главни букви, така че ff и FF означават 255 в система с основа 16. Интервалите преди и след числото се игнорират. Всеки друг знак, например знак минус или десетична точка, се отхвърля със съобщението „Във входа има невалидни знаци за основа 16“, като се посочва зададената изходна основа.

Често задавани въпроси

Каква е разликата между двоичната и шестнадесетичната система?

Двоичната система използва само две цифри — 0 и 1. Шестнадесетичната използва шестнадесет — от 0 до 9 и от A до F. Тъй като 16 е 2⁴, всяка отделна шестнадесетична цифра представя точно четири двоични цифри, поради което шестнадесетичната система често се използва като съкратен начин за записване на двоични стойности.

Как се преобразува десетично число в двоично на ръка?

Разделяйте десетичното число многократно на 2 и записвайте остатъка при всяко деление. Прочетете остатъците в обратен ред — от последното деление към първото. Например 13 ÷ 2 = 6, остатък 1, 6 ÷ 2 = 3, остатък 0, 3 ÷ 2 = 1, остатък 1, 1 ÷ 2 = 0, остатък 1. Четенето отдолу нагоре дава 1101, което е 13 в двоичната система.

Каква е най-голямата основа, която този инструмент поддържа?

Инструментът поддържа основи от 2 до 36. Основата 36 е най-високата достижима основа, използваща само десетте цифри 0–9 и двадесет и шестте букви A–Z, тъй като така се получават точно 36 различни символа.

Може ли този инструмент да преобразува отрицателни числа?

Не. Той приема само нула и положителни цели числа. За да преобразувате отрицателно число, преобразувайте абсолютната му стойност и след това добавете знак минус към резултата на ръка.

Защо съществуват шестнадесетичната и осмичната система, ако компютрите използват двоична система вътрешно?

Дългите поредици от 1 и 0 са трудни за четене от хората и лесно водят до грешно преброяване. Тъй като 16 и 8 са степени на 2, шестнадесетичните и осмичните цифри се съпоставят пряко с фиксирани групи двоични цифри — четири бита за шестнадесетична и три бита за осмична цифра. Това прави дългите двоични стойности по-кратки и по-лесни за проверка с просто око.

Има ли ограничение за размера на числото, което този инструмент може да преобразува?

Няма практическо ограничение. Инструментът използва аритметика с произволна точност вместо стандартни числа с плаваща запетая, така че преобразува много дълги стойности, включително по-големи от тези, които обикновеният калкулатор може да представи точно, без грешки от закръгляване.