Конвертор на числени бази: Двоична, Шестнадесетична, Десетична и Осмична

Конвертор на бройни системи

Конверторът на бройни системи променя начина, по който се записва дадено число, като го преобразува от една позиционна бройна система в друга, без да променя стойността му. Той може да преобразува двоично число в десетично, десетично в шестнадесетично или да преобразува между всякакви две основи от 2 до 36.

Какво е основа на бройна система?

Основата на бройна система, наричана още радикс, е броят на различните цифри, които системата използва, преди да започне да ги повтаря на нова позиция. Десетичната система, използвана за всекидневно броене, е с основа 10. Тя използва десет цифри — от 0 до 9. Двоичната система е с основа 2 и използва само 0 и 1. Когато основата е по-голяма от 10, буквите заместват липсващите цифри: A означава 10, B означава 11 и така нататък до Z, което означава 35. Така системата може да достигне основа 36 — най-високата основа, която повечето конвертори поддържат, като използва само 26-те букви от азбуката и 10-те цифри.

Всяка цифра в едно число има позиционна стойност, основана на степените на основата. В десетичната система числото „205“ означава 2 стотици, 0 десетици и 5 единици, защото 100 и 10 са степени на 10. Същият принцип важи за всяка основа: най-дясната цифра се умножава по base⁰, следващата — по base¹, следващата — по base² и така нататък.

Как се преобразува число в друга бройна система

Преобразуване на число в десетична система

За да преобразувате число от произволна основа в десетична система, умножете всяка цифра по основата, повдигната на степен, равна на позицията ѝ, като броите от 0 вдясно, след което съберете резултатите.

Формула: стойност = dₙ × основаⁿ + ... + d₁ × основа¹ + d₀ × основа⁰

Пример: Преобразувайте числото с основа 5 101 в десетична система.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Следователно 101 с основа 5 е равно на 26 в десетичната система.

Преобразуване от десетична система в друга бройна система

За да преобразувате десетично число в друга бройна система, разделяйте го многократно на целевата основа и запазвайте остатъка при всяко деление. Спрете, когато числото достигне 0, след което прочетете остатъците от последния към първия.

Пример: Преобразувайте десетичното число 26 в система с основа 5.

• 26 ÷ 5 = 5, остатък 1
• 5 ÷ 5 = 1, остатък 0
• 1 ÷ 5 = 0, остатък 1
• Четене на остатъците отдолу нагоре: 101

Това потвърждава предишния пример: 26 в десетичната система е 101 с основа 5.

Примери с изчисление

Двоично в десетично: Двоичното число 1101 се преобразува в десетично така: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

От десетична в шестнадесетична система: Десетичното число 202 се преобразува в шестнадесетична система така: 202 ÷ 16 = 12, остатък 10, след това 12 ÷ 16 = 0, остатък 12. В шестнадесетичната система 10 се записва като A, а 12 — като C. Четенето на остатъците отдолу нагоре дава CA. Следователно 202 в десетичната система е CA в шестнадесетичната.

Осмично в двоично: Осмичното число 17 първо се преобразува в десетично: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. След това десетичното число 15 се преобразува в двоично като 1111. Така 17 в осмична система е равно на 1111 в двоична.

Често използвани бройни системи

Много големи числа

При някои преобразувания се получават числа, които са твърде големи, за да бъдат обработени точно с аритметика с двойна точност, тоест цели числа над 2⁵³ − 1 (9,007,199,254,740,991), например 64-битова шестнадесетична стойност като FFFFFFFFFFFFFFFF. Този преобразувател работи с цели числа с произволна големина чрез целочислена аритметика с произволна точност, затова не закръгля и не губи цифри при дълги стойности.

Често задавани въпроси

Каква е разликата между двоичната и шестнадесетичната система?

Двоичната система използва само две цифри — 0 и 1. Шестнадесетичната използва шестнадесет — от 0 до 9 и от A до F. Тъй като 16 е 2⁴, всяка отделна шестнадесетична цифра представя точно четири двоични цифри, поради което шестнадесетичната система често се използва като съкратен начин за записване на двоични стойности.

Как се преобразува десетично число в двоично на ръка?

Разделяйте десетичното число многократно на 2 и записвайте остатъка при всяко деление. Прочетете остатъците в обратен ред — от последното деление към първото. Например 13 ÷ 2 = 6, остатък 1, 6 ÷ 2 = 3, остатък 0, 3 ÷ 2 = 1, остатък 1, 1 ÷ 2 = 0, остатък 1. Четенето отдолу нагоре дава 1101, което е 13 в двоичната система.

Каква е най-голямата основа, която този инструмент поддържа?

Инструментът поддържа основи от 2 до 36. Основа 36 е най-високата основа, която може да се достигне само с десетте цифри 0-9 и двадесет и шестте букви A–Z, тъй като така се получават точно 36 различни символа.

Може ли този инструмент да преобразува отрицателни числа?

Не. Той работи само с положителни цели числа. За да преобразувате отрицателно число, преобразувайте абсолютната му стойност и след това добавете знак минус към резултата ръчно.

Защо съществуват шестнадесетичната и осмичната система, ако компютрите използват двоична система вътрешно?

Дългите поредици от 1 и 0 са трудни за четене от хората и лесно водят до грешно преброяване. Тъй като 16 и 8 са степени на 2, шестнадесетичните и осмичните цифри се съпоставят пряко с фиксирани групи двоични цифри — четири бита за шестнадесетична и три бита за осмична цифра. Това прави дългите двоични стойности по-кратки и по-лесни за проверка с просто око.

Има ли ограничение за размера на числото, което този инструмент може да преобразува?

Няма практическо ограничение. Инструментът използва аритметика с произволна точност вместо стандартни числа с плаваща запетая, така че преобразува много дълги стойности, включително по-големи от тези, които обикновеният калкулатор може да представи точно, без грешки от закръгляване.

Източници

1. Ecma International. ECMAScript Language Specification (ECMA-262), Number.MAX_SAFE_INTEGER. TC39 ECMA-262 — не е гарантирано, че цели числа над 2⁵³ − 1 могат да се представят точно като стойности от тип Number с двойна точност.
2. The Open Group. chmod: change the file modes (POSIX). Open Group Base Specifications — операндът за режим на chmod може да бъде "a non-negative octal integer".
3. World Wide Web Consortium. CSS Color Module Level 4. W3C CSS Color 4 — шестнадесетичният запис на цвят sRGB "represents the RGB and alpha components in hexadecimal notation".