হাফ-লাইফ ক্যালকুলেটর | রেডিওধর্মী ক্ষয় এবং ওষুধ মেটাবলিজম গণনা

অর্ধায়ু কী?

অর্ধায়ু হলো কোনো রাশির প্রারম্ভিক মানের অর্ধেকে নেমে আসতে যে সময় লাগে। এই অর্ধায়ু ক্যালকুলেটরটি একমুখীভাবে কাজ করে: ক্ষয়ের হার লিখলে এটি অর্ধায়ু দেখায়। এই ধারণা তেজস্ক্রিয় আইসোটোপ, শরীর থেকে বেরিয়ে যাওয়া ওষুধ এবং সূচকীয়ভাবে ক্ষয় হওয়া অন্য যেকোনো প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

অর্ধায়ু উপস্থিত পদার্থের পরিমাণের ওপর নির্ভর করে না। ইউরেনিয়াম-238-এর অর্ধায়ু প্রায় ৪.৫ বিলিয়ন বছর—নমুনাটি এক কিলোগ্রাম হোক বা বৃহৎ সমষ্টির একটি পরমাণুর সমপরিমাণ হোক, তাতে কিছু যায় আসে না। শুধু পদার্থটির ক্ষয়ের হারই অর্ধায়ু নির্ধারণ করে।

অর্ধায়ুর সূত্র

প্রচলিত সূত্রটি হলো:

t½ = ln(২) / λ

• t½ হলো অর্ধায়ু, λ যে সময়ের একক ব্যবহার করে সেই একই এককে।
• ln(২) হলো ২-এর স্বাভাবিক লগারিদম, যার মান প্রায় ০.৬৯৩১।
• λ (ল্যামডা) হলো ক্ষয় ধ্রুবক—প্রতি একক সময়ে ক্ষয় হওয়া পদার্থের ভগ্নাংশ।

এই সূত্রটি সূচকীয় ক্ষয়ের সমীকরণ থেকে পাওয়া যায়:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

এখানে N₀ হলো প্রারম্ভিক পরিমাণ, N(t) হলো t সময় পরে অবশিষ্ট পরিমাণ, এবং e হলো অয়লারের সংখ্যা, যার মান প্রায় ২.৭১৮। N(t)-কে N₀/২-এর সমান ধরে t-এর জন্য সমাধান করলে t½ = ln(২)/λ পাওয়া যায়। ক্ষয়ের হার বেশি হলে অর্ধায়ু কম হয়; ক্ষয়ের হার কম হলে অর্ধায়ু বেশি হয়।

ক্ষয়ের হারের একক

ক্ষয়ের হার λ-এর পরিমাপ বিপরীত সময়ে করা হয়, যেমন প্রতি সেকেন্ডে, প্রতি দিনে বা প্রতি বছরে। উত্তরের জন্য পছন্দসই সময়ের এককের সঙ্গে এটি মিলতে হবে। "প্রতি দিন" হিসেবে দেওয়া কোনো হারকে "প্রতি ঘণ্টা" হিসেবে পড়লে ফল ২৪ গুণ ভুল হবে। তাই হিসাবের ভুল ছড়িয়ে পড়ার আগে একক যাচাই করা জরুরি।

অর্ধায়ু কীভাবে হিসাব করবেন

1. ক্ষয় ধ্রুবক নির্ণয় করুন। পদার্থটির জন্য λ-এর মান খুঁজে নিন, অথবা পরিমাপ করা উপাত্ত থেকে এটি নির্ণয় করুন; সময়ের এককটি সতর্কতার সঙ্গে নোট করুন।
2. ln(২)-কে λ দিয়ে ভাগ করুন। ফল t½ = ln(২)/λ হলো λ-এর ব্যবহৃত একই সময়ের এককে অর্ধায়ু।
3. উত্তরের মান যাচাই করুন। কোনো চিকিৎসায় ব্যবহৃত আইসোটোপের অর্ধায়ু এক মিলিয়ন বছর হওয়ার কথা নয়; ভূতাত্ত্বিক আইসোটোপের অর্ধায়ু দিনে মাপার কথা নয়। প্রত্যাশিত সীমার অনেক বাইরে কোনো ফল সাধারণত এককের অসামঞ্জস্য নির্দেশ করে।

অত্যন্ত দীর্ঘস্থায়ী আইসোটোপের ক্ষেত্রে λ প্রায়ই বৈজ্ঞানিক সংকেতে লেখা হয়, যেমন ইউরেনিয়াম-২৩৮-এর জন্য প্রতি বছরে 1.54 × 10⁻¹⁰। ক্ষয়ের হারের ঘরটি এটি e-নোটেশনে গ্রহণ করে; লিখতে হবে 1.54e-10।

এই ক্যালকুলেটর কী দেখায়

ক্যালকুলেটরে দুটি ইনপুট থাকে। প্রারম্ভিক পরিমাণ হলো সময় শূন্যে উপস্থিত রাশি, ব্যবহারকারী যে কোনো এককে এটি দিতে পারেন, তবে এর মান অন্তত ০.১ হতে হবে। ক্ষয়ের হার হলো λ, যা সময়ের প্রতি এককে দেওয়া হয়।

ফলাফল হলো অর্ধায়ু, যা চার ঘর দশমিক পর্যন্ত দেখানো হয় এবং λ-এর ব্যবহৃত একই সময়ের এককে প্রকাশিত হয়। এর নিচে একটি বাক্যে ফলাফলটি আবার বলা হয়—প্রারম্ভিক পরিমাণ অর্ধেকে নামতে যে সময় লাগে। শূন্য বা তার কম ক্ষয়ের হার গ্রহণ করা হয় না, কারণ ln(২)/০-এর কোনো মান নেই।

লেখচিত্রে সময় শূন্য থেকে পাঁচ অর্ধায়ু পর্যন্ত N(t) = N₀ × e^(−λt) দেখানো হয় এবং ১০১টি সমান ব্যবধানে বিন্যস্ত বিন্দু ব্যবহার করা হয়। পাঁচ অর্ধায়ু পরে প্রারম্ভিক পরিমাণের 1/32 অংশ, অর্থাৎ প্রায় ৩.১%, অবশিষ্ট থাকে। ব্যবহারকারী নির্ধারিত ধাপের ব্যবধানে বক্ররেখাটি স্প্রেডশিট হিসেবে ডাউনলোড করা যায়।

সমাধানসহ উদাহরণ

উদাহরণ ১: কার্বন-14 দিয়ে কালনির্ণয়

কার্বন-14-এর ক্ষয়ের হার প্রতি বছরে প্রায় 1.21 × 10⁻⁴।

t½ = ln(২) / (1.21 × 10⁻⁴) ≈ ৫,৭৩০ বছর

জীবিত জীব বায়ুমণ্ডলের সঙ্গে অবিরাম কার্বন বিনিময় করে, ফলে তাদের কার্বন-14-এর মাত্রা স্থির থাকে। মৃত্যুর পর সেই বিনিময় বন্ধ হয়ে যায় এবং ইতিমধ্যে উপস্থিত কার্বন-14 এই সময়সূচি অনুযায়ী ক্ষয় হতে শুরু করে। অবশিষ্ট কার্বন-14-এর সঙ্গে স্থিতিশীল কার্বন-12-এর তুলনা করে বিজ্ঞানীরা কোনো জীব কত আগে মারা গেছে তা অনুমান করতে পারেন। প্রায় ৬০,০০০ বছরের পর এই পদ্ধতি নির্ভরযোগ্য থাকে না, কারণ তত দিনে সঠিকভাবে মাপার মতো যথেষ্ট কার্বন-14 অবশিষ্ট থাকে না।

উদাহরণ ২: চিকিৎসায় আয়োডিন-131

থাইরয়েডের চিকিৎসা ও ইমেজিংয়ে ব্যবহৃত আয়োডিন-131-এর ক্ষয়ের হার প্রতি দিনে প্রায় ০.০৮৬২।

t½ = ln(২) / ০.০৮৬২ ≈ ৮.০৪ দিন

প্রায় ৮ দিন পরে প্রয়োগ করা আয়োডিন-131-এর অর্ধেক ক্ষয় হয়ে যায়। দশ অর্ধায়ু, অর্থাৎ আনুমানিক ৮০ দিন পরে, তেজস্ক্রিয়তা প্রাথমিক মাত্রার প্রায় এক-সহস্রাংশে নেমে আসে। রোগীর নিরাপত্তা ব্যবস্থা ও কক্ষ পুনর্ব্যবহারের পরিকল্পনায় হাসপাতালগুলো এই তথ্য ব্যবহার করে।

উদাহরণ ৩: ওষুধ নির্মূলের হার

একটি ওষুধ শরীর থেকে প্রতি ঘণ্টায় ০.২ হারে নির্মূল হয়।

t½ = ln(২) / ০.২ ≈ ৩.৪৭ ঘণ্টা

প্রায় ৩.৫ ঘণ্টায় ওষুধটির অর্ধেক রক্তপ্রবাহ থেকে বেরিয়ে যায়। ওষুধের মাত্রা চিকিৎসাগত কার্যকর সীমার মধ্যে রাখতে চিকিৎসকেরা এই মান ব্যবহার করে ডোজের ব্যবধান নির্ধারণ করেন: ব্যবধান খুব কম হলে বিষাক্ত মাত্রার দিকে সঞ্চয় হওয়ার ঝুঁকি থাকে, আর ব্যবধান খুব বেশি হলে মাত্রা কার্যকারিতার নিচে নেমে যায়।

সম্পর্কিত রাশি

আরও কয়েকটি পরিভাষা বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে একই ক্ষয় প্রক্রিয়াকে বর্ণনা করে।

• ক্ষয় ধ্রুবক (λ) অর্ধায়ুর সূত্রের ইনপুট। এর মান ln(২)/t½ এবং এটি কোনো নির্দিষ্ট পরমাণু ক্ষয় হওয়ার প্রতি একক সময়ের সম্ভাবনা নির্দেশ করে।
• গড় আয়ুষ্কাল (τ) হলো কোনো কণা ক্ষয় হওয়ার আগে গড়ে যত সময় অস্তিত্বশীল থাকে; এর মান ১/λ, অথবা t½/ln(২)। এটি অর্ধায়ুর তুলনায় প্রায় ১.৪৪ গুণ দীর্ঘ।
• অ্যাক্টিভিটি, যা বেকেরেল বা কিউরিতে মাপা হয়, কোনো প্রকৃত নমুনায় প্রতি সেকেন্ডে সংঘটিত ক্ষয়ের সংখ্যা। λ-এর বিপরীতে, অ্যাক্টিভিটি উপস্থিত পদার্থের পরিমাণের ওপর নির্ভর করে: স্বল্পায়ু আইসোটোপের এক গ্রাম দীর্ঘায়ু আইসোটোপের এক গ্রামের তুলনায় অনেক বেশি অ্যাক্টিভিটি প্রদর্শন করে।
• কার্যকর অর্ধায়ু জীবিত জীবের ভেতরে প্রযোজ্য, যেখানে কোনো পদার্থ ভৌত ক্ষয় এবং রেচনের মতো জৈবিক উভয় প্রক্রিয়ায় অপসারিত হয়। এটি ১/t_eff = ১/t_physical + ১/t_biological সূত্র থেকে নির্ণয় করা হয় এবং একমাত্র ভৌত অর্ধায়ুর চেয়ে সবসময় কম।

অর্ধায়ুর প্রয়োগ

রেডিওমেট্রিক কালনির্ণয়। কার্বন-14 দিয়ে প্রায় ৬০,০০০ বছর পর্যন্ত পুরোনো জৈব পদার্থের বয়স নির্ণয় করা যায়। আরও দীর্ঘায়ু আইসোটোপ দিয়ে পুরোনো পদার্থের বয়স নির্ণয় করা হয়: ইউরেনিয়াম-238 ক্ষয় হয়ে সীসা-206-এ পরিণত হয় এবং এর অর্ধায়ু প্রায় ৪.৫ বিলিয়ন বছর; পৃথিবীর উৎপত্তির পর থেকে গঠিত শিলার বয়স নির্ণয়ে এটি ব্যবহৃত হয়।

পারমাণবিক বর্জ্য ব্যবস্থাপনা। ব্যবহৃত জ্বালানিতে খুব ভিন্ন অর্ধায়ুর আইসোটোপের মিশ্রণ থাকে। আয়োডিন-131 কয়েক মাসের মধ্যে নিরাপদ হয়ে যায়, কিন্তু প্লুটোনিয়াম-239-এর অর্ধায়ু প্রায় ২৪,০০০ বছর হওয়ায় এটিকে কয়েক লক্ষ বছর ধরে সংরক্ষণ করতে হয়।

ফার্মাকোলজি। কোনো ওষুধের অর্ধায়ু তার ডোজ দেওয়ার সময়সূচি নির্ধারণ করে। নিয়মিত ডোজে প্রায় পাঁচ অর্ধায়ুর পরে রক্তে স্থিতিশীল ঘনত্ব তৈরি হয়, এবং শরীর থেকে ওষুধকে নগণ্য মাত্রায় নামাতেও প্রায় পাঁচ অর্ধায়ু লাগে।

নিউক্লিয়ার মেডিসিন। টেকনেশিয়াম-99m-এর অর্ধায়ু প্রায় ৬ ঘণ্টা। রোগনির্ণয়মূলক ইমেজিংয়ে এটি প্রচলিত, কারণ ছবি তৈরির মতো দীর্ঘ সময় এটি সক্রিয় থাকে, আবার রোগীর বিকিরণ-সংস্পর্শ সীমিত করার মতো দ্রুতও ক্ষয় হয়।

পরিবেশগত অনুসরণ। সিজিয়াম-137 (প্রায় ৩০ বছর) এবং স্ট্রনশিয়াম-90 (প্রায় ২৯ বছর) পারমাণবিক দুর্ঘটনা থেকে ছড়ানো দূষণ অনুসরণে ব্যবহৃত হয়। তাদের অর্ধায়ু কয়েক দশক টিকে থাকার মতো দীর্ঘ, আবার শেষ পর্যন্ত ক্ষয় হয়ে যাওয়ার মতো সংক্ষিপ্ত।

প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

সহজ ভাষায় অর্ধায়ু কী?

অর্ধায়ু হলো কোনো পরিমাণের অর্ধেক অদৃশ্য হয়ে যেতে বা অন্য কিছুতে রূপান্তরিত হতে যে সময় লাগে। তেজস্ক্রিয় আইসোটোপের ১০০ গ্রাম দিয়ে শুরু করলে, এক অর্ধায়ু পরে ৫০ গ্রাম এবং আরও এক অর্ধায়ু পরে ২৫ গ্রাম অবশিষ্ট থাকে। শুরুতে যত পরিমাণ পদার্থই থাকুক, এই সময় একই থাকে।

ক্ষয়ের হার থেকে অর্ধায়ু কীভাবে হিসাব করা হয়?

ln(২), যার মান প্রায় ০.৬৯৩, ক্ষয়ের হার λ দিয়ে ভাগ করুন: t½ = ln(২)/λ। ফল λ যে সময়ের এককে মাপা হয়েছিল সেই একই এককে পাওয়া যায়; তাই প্রতি বছরের হার হলে অর্ধায়ুও বছরে হবে।

তাপমাত্রা বা চাপ কি অর্ধায়ু পরিবর্তন করে?

না। তেজস্ক্রিয় অর্ধায়ু পরমাণুর নিউক্লিয়াসের অভ্যন্তরের প্রক্রিয়া দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং তাপমাত্রা, চাপ বা রাসায়নিক অবস্থায় প্রভাবিত হয় না। এটি জৈবিক বা কার্যকর অর্ধায়ু থেকে ভিন্ন, যা বিপাকের মতো কারণের সঙ্গে পরিবর্তিত হতে পারে।

কোনো পদার্থ প্রায় সম্পূর্ণ বিলীন হতে কত অর্ধায়ু লাগে?

সূচকীয় ক্ষয় কখনো ঠিক শূন্যে পৌঁছায় না, কিন্তু ১০ অর্ধায়ু পরে প্রাথমিক পরিমাণের মাত্র প্রায় ০.১% অবশিষ্ট থাকে, যা বাস্তবে সাধারণত নগণ্য হিসেবে বিবেচিত হয়।

অর্ধায়ু কি তেজস্ক্রিয় নয় এমন জিনিসের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য?

হ্যাঁ। সূচকীয়ভাবে ক্ষয় হওয়া যেকোনো রাশির অর্ধায়ু আছে; এর মধ্যে রয়েছে রক্তপ্রবাহ থেকে ক্যাফেইন বেরিয়ে যাওয়া, শরীর থেকে ওষুধ নির্মূল হওয়া এবং মাটি বা পানিতে কিছু দূষকের ভেঙে যাওয়া। প্রতিটি ক্ষেত্রেই একই সূত্র t½ = ln(২)/λ প্রযোজ্য।

কার্বন-14 দিয়ে কালনির্ণয় কতটা নির্ভুল?

প্রায় ৩০,০০০ বছরের কম পুরোনো নমুনার ক্ষেত্রে, অতীতে বায়ুমণ্ডলীয় কার্বন-14-এর মাত্রার পরিবর্তন হিসাব করতে বৃক্ষবৃত্তের নথির সঙ্গে ক্রমাঙ্কন করার পর ফল সাধারণত কয়েক শত বছরের মধ্যে নির্ভুল হয়। প্রায় ৬০,০০০ বছরের বেশি পুরোনো নমুনায় নির্ভরযোগ্যভাবে মাপার মতো যথেষ্ট কার্বন-14 অবশিষ্ট থাকে না।

তথ্যসূত্র

1. L'Annunziata, Michael F. (২০১৬)। Radioactivity: Introduction and History, From the Quantum to Quarks। Elsevier Science। ISBN 978-0444634979।
2. Krane, Kenneth S. (১৯৮৮)। Introductory Nuclear Physics। Wiley। ISBN 978-0471805533।
3. National Institute of Standards and Technology। "Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. International Atomic Energy Agency। "Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html