Kalkulačka poločasu rozpadu | Výpočet radioaktivního rozpadu a metabolismu léčiv

Co je poločas?

Poločas je doba, za kterou množství klesne na polovinu své počáteční hodnoty. Tato kalkulačka poločasu pracuje jedním směrem: zadáte rychlost rozpadu a kalkulačka vrátí poločas. Tento pojem se vztahuje na radioaktivní izotopy, léky opouštějící tělo a jakýkoli jiný proces, který exponenciálně zaniká.

Poločas nezávisí na množství přítomného materiálu. Uran-238 má poločas přibližně 4,5 miliardy let, ať už vzorek váží jeden kilogram, nebo odpovídá jedinému atomu z velkého souboru. Poločas určuje pouze rychlost rozpadu látky.

Vzorec pro poločas

Standardní vzorec je:

t½ = ln(2) / λ

• t½ je poločas v časové jednotce, kterou používá λ.
• ln(2) je přirozený logaritmus čísla 2, přibližně 0,6931.
• λ (lambda) je konstanta rozpadu, tedy podíl látky, který se rozpadne za jednotku času.

Tento vzorec vychází z rovnice exponenciálního rozpadu:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Zde je N₀ počáteční množství, N(t) je množství zbývající po čase t a e je Eulerovo číslo, přibližně 2,718. Položíme-li N(t) rovno N₀/2 a vyřešíme-li rovnici pro t, dostaneme t½ = ln(2)/λ. Vyšší rychlost rozpadu znamená kratší poločas, nižší rychlost rozpadu delší poločas.

Jednotky rychlosti rozpadu

Rychlost rozpadu λ se měří v převrácených časových jednotkách, například za sekundu, za den nebo za rok. Musí odpovídat časové jednotce požadované u výsledku. Rychlost uvedená jako „za den“, která je interpretována jako „za hodinu“, způsobí chybu výsledku o faktor 24, takže kontrola jednotek na začátku zabrání tomu, aby se chyba šířila celým výpočtem.

Jak vypočítat poločas

1. Určete konstantu rozpadu. Vyhledejte λ pro danou látku nebo ji odvoďte z naměřených údajů a pečlivě přitom sledujte její časovou jednotku.
2. Vydělte ln(2) hodnotou λ. Výsledek t½ = ln(2)/λ je poločas ve stejné časové jednotce, v jaké je vyjádřeno λ.
3. Zkontrolujte velikost výsledku. Lékařský izotop by neměl mít poločas milion let a geologický izotop by neměl mít poločas měřený ve dnech. Výsledek výrazně mimo očekávaný rozsah obvykle ukazuje na nesoulad jednotek.

U izotopů s velmi dlouhým poločasem se λ často zapisuje ve vědeckém zápisu, například jako 1,54 × 10⁻¹⁰ za rok pro uran-238. Pole pro rychlost rozpadu tento zápis přijímá v e-notaci, zadaný jako 1.54e-10.

Co tato kalkulačka zobrazuje

Kalkulačka přijímá dva vstupy. Počáteční množství je množství přítomné v čase nula, v libovolné jednotce zvolené uživatelem, a musí být alespoň 0,1. Rychlost rozpadu je λ, zadaná na jednotku času.

Výsledkem je poločas, zobrazený na čtyři desetinná místa, ve stejné časové jednotce, v jaké je vyjádřeno λ. Pod ním věta znovu uvádí výsledek jako dobu potřebnou k poklesu počátečního množství na polovinu. Rychlost rozpadu rovná nule nebo menší se odmítá, protože ln(2)/0 nemá hodnotu.

Graf zobrazuje N(t) = N₀ × e^(−λt) od času nula do pěti poločasů s využitím 101 rovnoměrně rozmístěných bodů. Po pěti poločasech zbývá 1/32 počátečního množství, přibližně 3,1 %. Křivku lze stáhnout jako tabulku v kroku, který uživatel zvolí.

Příklad výpočtu

Příklad 1: datování uhlíkem-14

Uhlík-14 má rychlost rozpadu přibližně 1,21 × 10⁻⁴ za rok.

t½ = ln(2) / (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 5 730 let

Živé organismy si nepřetržitě vyměňují uhlík s atmosférou, a udržují tak stálou hladinu uhlíku-14. Po úhynu se tato výměna zastaví a již přítomný uhlík-14 se začne rozpadat podle tohoto průběhu. Porovnáním zbývajícího uhlíku-14 se stabilním uhlíkem-12 mohou vědci odhadnout, jak dávno organismus uhynul. Po uplynutí přibližně 60 000 let se metoda stává nespolehlivou, protože zbývá příliš málo uhlíku-14 pro přesné měření.

Příklad 2: Jód-131 v lékařství

Jód-131, používaný k léčbě a zobrazování štítné žlázy, má rychlost rozpadu přibližně 0,0862 za den.

t½ = ln(2) / 0,0862 ≈ 8,04 dní

Po přibližně 8 dnech se rozpadne polovina podané dávky jódu-131. Deset poločasů, tedy zhruba 80 dní, sníží radioaktivitu na přibližně tisícinu původní úrovně, což nemocnice zohledňují při plánování opatření na ochranu pacientů a dalšího využití místností.

Příklad 3: Rychlost vylučování léčiva

Léčivo se z těla vylučuje rychlostí 0,2 za hodinu.

t½ = ln(2) / 0,2 ≈ 3,47 hodiny

Polovina léčiva opustí krevní oběh přibližně za 3,5 hodiny. Lékaři tento údaj používají k rozvržení dávek tak, aby hladina léčiva zůstala v terapeutickém rozmezí: příliš krátký interval zvyšuje riziko nahromadění až na toxickou úroveň, zatímco příliš dlouhý interval umožní pokles hladiny pod účinnou hodnotu.

Související veličiny

Stejný proces rozpadu popisuje z různých hledisek několik dalších pojmů.

• Konstanta rozpadu (λ) je vstupem do vzorce pro poločas. Rovná se ln(2)/t½ a udává pravděpodobnost, že se daný atom rozpadne za jednotku času.
• Střední doba života (τ) je průměrná doba existence částice před rozpadem, rovná 1/λ neboli t½/ln(2). Je přibližně 1,44krát delší než poločas.
• Aktivita, měřená v becquerelech nebo curie, je počet rozpadů za sekundu ve skutečném vzorku. Na rozdíl od λ závisí aktivita na množství přítomného materiálu: gram izotopu s krátkým poločasem má mnohem vyšší aktivitu než gram izotopu s dlouhým poločasem.
• Efektivní poločas se používá u živých organismů, kde je látka odstraňována fyzikálním rozpadem i biologickými procesy, jako je vylučování. Určuje se ze vztahu 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological a vždy je kratší než samotný fyzikální poločas.

Použití poločasu

Radiometrické datování. Uhlík-14 umožňuje datovat organický materiál starý až přibližně 60 000 let. Izotopy s delším poločasem slouží k datování staršího materiálu: uran-238, který se rozpadá na olovo-206 a má poločas téměř 4,5 miliardy let, se používá k datování hornin vzniklých od počátku Země.

Nakládání s jaderným odpadem. Vyhořelé palivo obsahuje směs izotopů s velmi rozdílnými poločasy. Jód-131 se stává bezpečným během několika měsíců, zatímco plutonium-239 s poločasem téměř 24 000 let vyžaduje skladování po dobu stovek tisíc let.

Farmakologie. Poločas léčiva určuje režim jeho podávání. Při pravidelném dávkování se stabilní koncentrace v krvi dosáhne přibližně po pěti poločasech a přibližně pět poločasů trvá také odstranění léčiva z těla na zanedbatelnou úroveň.

Jaderná medicína. Technecium-99m s poločasem přibližně 6 hodin se běžně používá při diagnostickém zobrazování, protože zůstává aktivní dostatečně dlouho k vytvoření snímku, ale zároveň se rozpadá dost rychle na to, aby omezilo ozáření pacienta.

Sledování znečištění v životním prostředí. Cesium-137 (přibližně 30 let) a stroncium-90 (přibližně 29 let) se používají ke sledování kontaminace po jaderných haváriích, protože jejich poločasy jsou dost dlouhé na přetrvávání po desetiletí, ale zároveň dost krátké na to, aby časem zanikly.

Často kladené otázky

Co je poločas jednoduše?

Poločas je doba potřebná k tomu, aby polovina množství zmizela nebo se přeměnila na něco jiného. Začneme-li se 100 gramy radioaktivního izotopu, po jednom poločase zbude 50 gramů a po dalším poločase 25 gramů. Tato doba je stejná bez ohledu na počáteční množství materiálu.

Jak se poločas vypočítá z rychlosti rozpadu?

Vydělte ln(2), přibližně 0,693, rychlostí rozpadu λ: t½ = ln(2)/λ. Výsledek je ve stejné časové jednotce, v jaké byla měřena hodnota λ, takže rychlost za rok dává poločas v letech.

Mění teplota nebo tlak poločas?

Ne. Radioaktivní poločasy jsou určeny procesy uvnitř atomového jádra a teplota, tlak ani chemický stav je neovlivňují. To se liší od biologických nebo efektivních poločasů, které se mohou měnit v závislosti na faktorech, jako je metabolismus.

Po kolika poločasech je látka v podstatě pryč?

Exponenciální rozpad nikdy nedosáhne přesně nuly, ale po 10 poločasech zůstává pouze přibližně 0,1 % původního množství, což se v praxi obvykle považuje za zanedbatelnou úroveň.

Vztahuje se poločas i na neradioaktivní látky?

Ano. Poločas má každé množství, které exponenciálně ubývá, včetně kofeinu opouštějícího krevní oběh, léčiv odstraňovaných z těla a některých znečišťujících látek rozkládajících se v půdě nebo ve vodě. V každém případě platí stejný vzorec t½ = ln(2)/λ.

Jak přesné je radiouhlíkové datování uhlíku-14?

U vzorků mladších než přibližně 30 000 let jsou výsledky po kalibraci podle letokruhových záznamů obvykle přesné na několik set let; kalibrace zohledňuje dřívější změny hladiny uhlíku-14 v atmosféře. Po více než přibližně 60 000 letech zůstává příliš málo uhlíku-14 pro spolehlivé měření.

Reference

1. L'Annunziata, Michael F. (2016). Radioaktivita: Úvod a historie, od kvant po kvarky. Elsevier Science. ISBN 978-0444634979.
2. Krane, Kenneth S. (1988). Úvod do jaderné fyziky. Wiley. ISBN 978-0471805533.
3. Národní institut pro standardy a technologie. "Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. Mezinárodní agentura pro atomovou energii. "Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html