Kalkulátor radioaktivního rozpadu - Výpočet poločasu a zbývajícího množství

Co je kalkulačka radioaktivního rozpadu?

Kalkulačka radioaktivního rozpadu určuje, jaké množství radioaktivní látky zůstane po určité době na základě jejího poločasu rozpadu. Zadejte počáteční množství, poločas rozpadu a uplynulý čas; kalkulačka vrátí zbývající množství spolu s grafem křivky rozpadu.

Radioaktivní rozpad je přirozený proces, při kterém nestabilní atomová jádra uvolňují energii ve formě záření a mění se v jiné, stabilnější jádro. Každý radioaktivní izotop se rozpadá vlastní pevně danou rychlostí, popsanou poločasem rozpadu: dobou potřebnou k rozpadu poloviny atomů ve vzorku. Tato rychlost se nemění s teplotou, tlakem ani chemickou formou látky, a proto jsou výpočty rozpadu dostatečně spolehlivé pro použití od léčby rakoviny po datování starověkých artefaktů.

Vzorec radioaktivního rozpadu

Kalkulačka používá standardní rovnici exponenciálního rozpadu:

$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

• $N(t)$ — množství zbývající po uplynutí času $t$
• $N_0$ — počáteční množství
• $t$ — uplynulý čas
• $t_{1/2}$ — poločas rozpadu izotopu

Exponent $t / t_{1/2}$ udává, kolik poločasů uplynulo. Po jednom poločasu zůstává polovina původního množství. Po dvou poločasech zůstává čtvrtina. Po třech osmina a tak dále.

Stejný zákon se často zapisuje pomocí rozpadové konstanty $\lambda$ namísto poločasu rozpadu:

$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}$

Oba tvary poskytují stejné výsledky. Tvar s poločasem se snadněji ručně interpretuje, protože $(1/2)^n$ má pro celé číslo poločasů zřejmý význam.

Jak rozumět poločasu rozpadu

Poločasy rozpadu se mezi izotopy výrazně liší. Polonium-214 má poločas rozpadu přibližně 164 mikrosekund. Tellur-128 má poločas zhruba 2,2 kvadrilionu (2,2 × 10²⁴) let. Po přibližně 10 poločasech zůstává ve vzorku méně než 0,1 %, proto se 10 poločasů často používá jako přibližné pravidlo pro určení, kdy je radioaktivní zdroj „prakticky vyčerpán“.

Jak vypočítat radioaktivní rozpad

1. Zadejte počáteční množství. Může být uvedeno v libovolné jednotce — gramech, počtu atomů, becquerelech nebo curie — a výsledek bude ve stejné jednotce.
2. Zadejte poločas rozpadu izotopu a jeho časovou jednotku (sekundy, minuty, hodiny, dny nebo roky).
3. Zadejte uplynulý čas a jeho jednotku. Jednotka nemusí odpovídat jednotce poločasu; kalkulačka před výpočtem obě hodnoty převede na stejnou jednotku.
4. Přečtěte zbývající množství a prohlédněte si graf křivky rozpadu, který zobrazuje množství za celé zadané časové období.

Příklad výpočtu

Jód-131 používaný k léčbě a zobrazování štítné žlázy má poločas rozpadu 8,02 dne. Kolik zůstane po 24,06 dnech, začneme-li s 1 000 milicurie?

$t / t_{1/2} = 24.06 / 8.02 = 3$ $N(t) = 1000 \times (1/2)^3 = 1000 \times 0.125 = 125 \text{ milicurie}$

Uplynuly tři poločasy, takže vzorek byl třikrát zmenšen na polovinu: 1 000 → 500 → 250 → 125 milicurie.

Běžné izotopy a jejich poločasy rozpadu

Praktické využití výpočtů radioaktivního rozpadu

Medicína. Zdroje pro radioterapii, například kobalt-60, při rozpadu slábnou, takže během životnosti zdroje je třeba prodlužovat dobu ozáření, aby byla podána stejná dávka. Vyšetření v nukleární medicíně využívají izotopy s krátkým poločasem, například technecium-99m, a načasují se tak, aby proběhla v době, kdy je aktivita dostatečně vysoká pro zobrazení, ale dostatečně nízká pro omezení radiační dávky pacienta. Protože jeho poločas je 6 hodin, po 24 hodinách (čtyřech poločasech) zůstává přibližně 6 % původní aktivity; po dvou dnech (osmi poločasech) zůstává méně než 1 %.

Datování. Archeologové odhadují stáří organických pozůstatků měřením množství uhlíku-14, které v nich zůstalo, a využívají jeho poločas 5 730 let. Tato metoda funguje přibližně do 50 000–60 000 let; poté zůstává příliš málo uhlíku-14, aby jej bylo možné změřit. Geologové datují horniny v mnohem delších časových obdobích pomocí rozpadu uranu na olovo a draslíku na argon. Tímto způsobem byl věk Země odhadnut na přibližně 4,54 miliardy let.

Bezpečnost a průmysl. Po jaderné havárii představují krátkodobé izotopy, například jód-131, bezprostřední, avšak dočasné nebezpečí, zatímco izotopy s dlouhým poločasem, například cesium-137 (přibližně 30 let), zůstávají problémem po desetiletí. Zdroje pro průmyslovou radiografii se vyřazují, jakmile kvůli rozpadu trvají expozice neprakticky dlouho, a vyhořelé jaderné palivo se po léta skladuje v chladicích bazénech, protože při rozpadu stále vytváří teplo.

Omezení této kalkulačky

Tato kalkulačka zpracovává jednoduchý rozpad jediného izotopu na stabilní produkt. Nemodeluje:

• Rozpadové řetězce. Mnoho těžkých izotopů se před dosažením stabilního produktu rozpadá přes řadu radioaktivních dceřiných produktů. Uran-238 například prochází přibližně 14 kroky, než se změní na stabilní olovo-206. Určení množství každého meziproduktu vyžaduje řešení Batemanových rovnic, tedy soustavy vzájemně propojených diferenciálních rovnic.
• Malé vzorky. Vzorec popisuje průměrné chování velkého počtu atomů. U pouhých několika desítek atomů skutečný počet rozpadů v libovolném intervalu kolísá kolem předpovězené křivky.
• Kalibraci. U aplikací datování přímo vypočtený věk neodpovídá kalendářním rokům. Radiouhlíkové datování například vyžaduje kalibrační křivky, které zohledňují dřívější změny množství uhlíku-14 v atmosféře.

Často kladené otázky

Jak se definuje poločas rozpadu? Poločas rozpadu je doba potřebná k rozpadu poloviny radioaktivních atomů ve vzorku. Pro daný izotop je konstantní bez ohledu na velikost vzorku nebo fyzikální podmínky.

Lze radioaktivní rozpad urychlit nebo zpomalit? Za běžných podmínek ne. Rychlost rozpadu není ovlivněna teplotou, tlakem ani chemickou vazbou. Právě tato stálost umožňuje spolehlivé radiometrické datování a plánování dávek. Několik neobvyklých typů rozpadu, například elektronový záchyt, vykazuje nepatrné změny rychlosti pouze za extrémních podmínek, například uvnitř hvězdy, které se při běžném použití nevyskytují.

Co se stane po uplynutí mnoha poločasů? Zbývající množství se stále půlí, matematicky však nikdy nedosáhne nuly. Po 10 poločasech zůstává přibližně 0,0977 %. Po 20 poločasech zůstává méně než miliontina původního množství. V radiační ochraně je 10 poločasů běžnou hranicí pro považování zdroje za již nevýznamný.

Jak převádět mezi časovými jednotkami? 1 rok = 365,25 dne, 1 den = 24 hodin, 1 hodina = 60 minut, 1 minuta = 60 sekund. Kalkulačka převádí jednotky automaticky, takže poločas a uplynulý čas lze zadat v různých jednotkách.

Lze tuto kalkulačku použít k radiouhlíkovému datování? Může poskytnout základní odhad pomocí poločasu uhlíku-14, který činí 5 730 let. Profesionální datování používá zveřejněné kalibrační křivky k převodu nezpracovaného výsledku na kalendářní roky, protože množství uhlíku-14 v atmosféře se v průběhu času měnilo.

Zpracovává tato kalkulačka rozpadové řetězce? Ne. Počítá rozpad v jediném kroku od mateřského izotopu ke stabilnímu produktu. Izotopy, které se rozpadají řetězcem radioaktivních dceřiných produktů, například uran-238, vyžadují Batemanovy rovnice, které tento nástroj neřeší.