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Binär-zu-Dezimal-Umrechner

Ein Binär-zu-Dezimal-Umrechner wandelt eine Zahl zwischen dem Zahlensystem zur Basis 2 (binär) und dem Zahlensystem zur Basis 10 (dezimal) um. Binär ist das Zahlensystem, das Computer intern verwenden; es wird nur mit 0en und 1en geschrieben. Dezimal ist das Zahlensystem, das Menschen im Alltag verwenden; es wird mit den Ziffern von 0 bis 9 geschrieben. Dieses Werkzeug wandelt einen in eines der beiden Felder eingegebenen Wert sofort in das jeweils andere Zahlensystem um und zeigt den Rechenweg hinter dem Ergebnis.

So funktioniert das Dezimalsystem

Dezimalzahlen verwenden zehn Ziffern, von 0 bis 9. Jede Stelle einer Dezimalzahl steht für eine Potenz von 10. Von rechts nach links haben die Stellen den Wert 1, 10, 100, 1.000 und so weiter.

Betrachten wir die Zahl 427:

• 4 × 100 = 400
• 2 × 10 = 20
• 7 × 1 = 7

Die Addition dieser Werte ergibt 400 + 20 + 7 = 427.

So funktioniert das Binärsystem

Binärzahlen verwenden nur zwei Ziffern, 0 und 1. Jede Stelle steht statt für eine Potenz von 10 für eine Potenz von 2. Von rechts nach links haben die Stellen den Wert 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter; der Wert verdoppelt sich jedes Mal.

Betrachten wir die Binärzahl 1010:

• 1 × 8 = 8
• 0 × 4 = 0
• 1 × 2 = 2
• 0 × 1 = 0

Die Addition dieser Werte ergibt 8 + 0 + 2 + 0 = 10.

Formel zur Umwandlung von Binär- in Dezimalzahlen

Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, wird jede Ziffer mit der Potenz von 2 für ihre Stelle multipliziert; anschließend werden die Ergebnisse addiert:

Dezimalzahl = die Summe aus bᵢ × 2ⁱ für jede Ziffer, wobei bᵢ die Ziffer (0 oder 1) an der Stelle i ist, gezählt ab 0 rechts.

Beispiel: Umwandlung von 1101 in eine Dezimalzahl

1. 1 × 2³ = 8
2. 1 × 2² = 4
3. 0 × 2¹ = 0
4. 1 × 2⁰ = 1
5. Summe: 8 + 4 + 0 + 1 = 13

Binär 1101 entspricht dezimal 13. Nur die Stellen mit einer 1 tragen zur Summe bei. Daher ist es beim Rechnen von Hand hilfreich, die 0en zu überspringen.

Formel zur Umwandlung von Dezimal- in Binärzahlen (Divisionsmethode)

Um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, wird sie wiederholt durch 2 geteilt und jeder Rest notiert.

1. Die Zahl durch 2 teilen.
2. Den Rest notieren; er ist immer 0 oder 1.
3. Den Quotienten erneut durch 2 teilen.
4. Dies wiederholen, bis der Quotient 0 erreicht.
5. Die Reste von unten nach oben lesen.

Beispiel: Umwandlung von 25 in eine Binärzahl

1. 25 ÷ 2 = 12, Rest 1
2. 12 ÷ 2 = 6, Rest 0
3. 6 ÷ 2 = 3, Rest 0
4. 3 ÷ 2 = 1, Rest 1
5. 1 ÷ 2 = 0, Rest 1

Liest man die Reste von der letzten Zeile zurück bis zur ersten, ergibt sich 11001. Dezimal 25 entspricht binär 11001.

So verwenden Sie diesen Umrechner

Geben Sie eine Zahl in das Feld „Binär“ oder „Dezimal“ ein. Das andere Feld wird sofort aktualisiert. Eine ungültige Eingabe, etwa eine 2 im Binärfeld oder ein Buchstabe im Dezimalfeld, zeigt statt eines Ergebnisses eine Fehlermeldung an.

Das Feld unter den beiden Eingabefeldern zeigt die Rechnung hinter der aktuellen Umrechnung: die Aufschlüsselung nach Zweierpotenzen (Potenzen von 2) bei der Umrechnung von Binär in Dezimal und die Schritte der Division durch 2 bei der Umrechnung von Dezimal in Binär.

Der Umrechner akzeptiert Binär- und Dezimalzahlen beliebiger Größe. Er rechnet mit exakter Arithmetik beliebiger Genauigkeit statt mit üblicher Gleitkommaarithmetik, sodass lange Werte nicht gerundet werden. Negative Zahlen und Brüche werden nicht akzeptiert.

Verwendung der Umwandlung von Binär- in Dezimalzahlen

• IP-Adressen. Eine IPv4-Adresse wie 192.168.1.1 besteht aus vier Binärbytes (32 Bit), die als Dezimalzahlen geschrieben werden. 192 ist 11000000, 168 ist 10101000 und 1 ist 00000001.
• Dateiberechtigungen. Ein Unix-Berechtigungscode wie 755 ist eine Oktalzahl, deren Bits die Dateiberechtigungen festlegen, eine Kurzschreibweise für das Binärmuster 111 101 101: Vollzugriff für den Besitzer, Lese- und Ausführungsrechte für alle anderen.
• Bitflags. Das Setzen eines Bytes auf 255 aktiviert alle 8 Bits, also 11111111. Software verwendet auf diese Weise häufig eine Zahl, um mehrere Einstellungen gleichzeitig zu aktivieren.
• Digitale Hardware. Schaltungsregister speichern Einstellungen als Bits. Daher kann die Konfiguration eines Geräts bedeuten, einen Dezimalwert in das benötigte exakte Bitmuster umzuwandeln.

Verwandte Zahlensysteme

Das Hexadezimalsystem (Basis 16) und das Oktalsystem (Basis 8) sind Kurzformen für die Darstellung von Binärzahlen. Jede hexadezimale Ziffer steht genau für 4 Binärbits, und jede oktale Ziffer steht genau für 3 Binärbits.

• Binär 10101101 entspricht hexadezimal AD und dezimal 173.
• Binär 101011 entspricht oktal 53.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Binärzahl?

Eine Binärzahl wird nur mit den beiden Ziffern 0 und 1 geschrieben. Jede Ziffer wird Bit genannt. Jede ganze Zahl kann durch die Kombination ausreichend vieler Bits binär geschrieben werden, genauso wie jedes Wort mit einem begrenzten Alphabet von Buchstaben geschrieben werden kann.

Warum verwenden Computer Binärzahlen statt Dezimalzahlen?

Elektronische Schaltungen können zwei klar unterscheidbare Zustände, etwa eine hohe und eine niedrige Spannung, kostengünstiger und zuverlässiger speichern und schalten als zehn verschiedene Spannungspegel. Die Zwei-Zustands-Logik entspricht außerdem der Booleschen Algebra, dem Teilgebiet der Mathematik, das digitale Schaltungen für Berechnungen verwenden.

Wie kann ich Binärzahlen von Hand in Dezimalzahlen umwandeln?

Multiplizieren Sie jede Binärziffer mit der Potenz von 2, die ihrer Stelle entspricht, von rechts bei 0 beginnend gezählt, und addieren Sie dann die Ergebnisse. Für die Binärzahl 1101: 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

Wie kann ich Dezimalzahlen von Hand in Binärzahlen umwandeln?

Teilen Sie die Dezimalzahl wiederholt durch 2 und notieren Sie jeden Rest, bis der Quotient 0 erreicht. Lesen Sie anschließend die Reste vom letzten bis zum ersten. Auf diese Weise wird dezimal 13 zu binär 1101.

Unterstützt dieser Umrechner negative Zahlen oder Brüche?

Nein. Er akzeptiert nur nichtnegative ganze Zahlen. Für negative Binärzahlen wird ein separates Verfahren namens Zweierkomplement verwendet; Binärbrüche sind ein anderes Thema als die Umwandlung ganzer Zahlen.

Was ist die größte Zahl, die dieser Umrechner verarbeiten kann?

Es gibt keine feste Größenbeschränkung. Der Umrechner verwendet Arithmetik beliebiger Genauigkeit und rechnet daher sehr lange Binär- oder Dezimalzahlen exakt um, auch Werte weit jenseits dessen, was gewöhnliche Gleitkommaarithmetik ohne Rundungsfehler darstellen kann.

Was ist der Unterschied zwischen Binär-, Oktal- und Hexadezimalsystem?

Alle drei sind wie das Dezimalsystem Stellenwertsysteme, verwenden jedoch unterschiedliche Basen: Das Binärsystem verwendet die Basis 2, das Oktalsystem die Basis 8 und das Hexadezimalsystem die Basis 16. Eine hexadezimale Ziffer entspricht immer genau 4 Binärbits und eine oktale Ziffer immer genau 3 Binärbits. Deshalb werden sie als kompakte Kurzformen für lange Binärzahlen verwendet.

Referenzen

1. Internet Engineering Task Force. RFC 791: Internet Protocol. RFC 791 — IPv4-Adressen sind auf vier Oktette (32 Bit) festgelegt.
2. The Open Group. The Open Group Base Specifications (POSIX): chmod. POSIX-Dienstprogramm chmod — Ein oktaler Modus setzt für jedes Bit der Oktalzahl ein Dateiberechtigungsbit.