Zahlensystem-Konverter: Binär, Hexadezimal, Dezimal & Oktal

Zahlensystem-Umrechner

Ein Zahlensystem-Umrechner ändert die Schreibweise einer Zahl von einem Stellenwertsystem in ein anderes, ohne ihren Wert zu verändern. Er kann Binär in Dezimal, Dezimal in Hexadezimal oder zwischen zwei beliebigen Basen von 2 bis 36 umrechnen.

Was ist eine Zahlenbasis?

Eine Zahlenbasis, auch Radix genannt, ist die Anzahl der verschiedenen Ziffern, die ein System verwendet, bevor es sie an einer neuen Stelle wiederholt. Dezimal, das System für das alltägliche Zählen, hat die Basis 10. Es verwendet zehn Ziffern, 0 bis 9. Binär hat die Basis 2 und verwendet nur 0 und 1. Liegt die Basis über 10, stehen Buchstaben für die fehlenden Ziffern: A steht für 10, B für 11 und so weiter bis Z, das für 35 steht. So erreicht ein System die Basis 36, die höchste Basis, die die meisten Umrechner unterstützen, und braucht dafür nur die 26 Buchstaben des Alphabets und die 10 Ziffern.

Jede Ziffer einer Zahl hat einen Stellenwert, der auf Potenzen der Basis beruht. Im Dezimalsystem bedeutet die Zahl „205“ 2 Hunderter, 0 Zehner und 5 Einer, weil 100 und 10 Potenzen von 10 sind. Dasselbe Prinzip gilt in jeder Basis: Die Ziffer ganz rechts wird mit Basis⁰ multipliziert, die nächste mit Basis¹, die nächste mit Basis² und so weiter.

So rechnen Sie eine Zahl in eine andere Basis um

Eine Zahl in Dezimal umrechnen

Um eine Zahl aus einer beliebigen Basis in Dezimal umzurechnen, multiplizieren Sie jede Ziffer mit der Basis hoch ihrer Position, wobei Sie rechts bei 0 beginnen, und addieren Sie dann die Ergebnisse.

Formel: Wert = dₙ × Basisⁿ + ... + d₁ × Basis¹ + d₀ × Basis⁰

Beispiel: Rechnen Sie die Zahl zur Basis 5, nämlich 101, in Dezimal um.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Also entspricht 101 zur Basis 5 der Dezimalzahl 26.

Dezimal in eine andere Basis umrechnen

Um eine Dezimalzahl in eine andere Basis umzurechnen, teilen Sie sie wiederholt durch die Zielbasis und notieren Sie jeden Rest. Hören Sie auf, wenn die Zahl 0 erreicht, und lesen Sie dann die Reste vom zuletzt gefundenen bis zum ersten.

Beispiel: Rechnen Sie die Dezimalzahl 26 in die Basis 5 um.

• 26 ÷ 5 = 5, Rest 1
• 5 ÷ 5 = 1, Rest 0
• 1 ÷ 5 = 0, Rest 1
• Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben: 101

Das bestätigt das vorherige Beispiel: 26 im Dezimalsystem ist 101 zur Basis 5.

Beispiele

Binär in Dezimal: Die Binärzahl 1101 wird so in Dezimal umgerechnet: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Dezimal in Hexadezimal: Die Dezimalzahl 202 wird so in Hexadezimal umgerechnet: 202 ÷ 16 = 12 Rest 10, dann 12 ÷ 16 = 0 Rest 12. Im Hexadezimalsystem wird 10 als A und 12 als C geschrieben. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben CA. Also ist 202 im Dezimalsystem CA im Hexadezimalsystem.

Oktal in Binär: Die Oktalzahl 17 wird zuerst in Dezimal umgerechnet: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Die Dezimalzahl 15 wird dann als 1111 in Binär umgerechnet. Also entspricht 17 im Oktalsystem 1111 im Binärsystem.

Gängige Zahlenbasen

Sehr große Zahlen

Manche Umrechnungen betreffen Zahlen, die zu groß sind, als dass die Gleitkommarechnung mit doppelter Genauigkeit sie exakt verarbeiten könnte. Gemeint sind ganze Zahlen über 2⁵³ − 1 (9,007,199,254,740,991), etwa ein 64-Bit-Hexadezimalwert wie FFFFFFFFFFFFFFFF. Dieser Umrechner arbeitet mit ganzen Zahlen beliebiger Größe und nutzt dafür Ganzzahlarithmetik mit beliebiger Genauigkeit. Lange Werte werden daher weder gerundet noch verlieren sie Ziffern.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Binär und Hexadezimal?

Binär verwendet nur zwei Ziffern, 0 und 1. Hexadezimal verwendet sechzehn, 0 bis 9 sowie A bis F. Weil 16 gleich 2⁴ ist, steht jede einzelne Hexadezimalziffer für genau vier Binärziffern. Deshalb wird Hexadezimal oft als kurze Schreibweise für Binärwerte verwendet.

Wie rechnet man Dezimal von Hand in Binär um?

Teilen Sie die Dezimalzahl wiederholt durch 2 und notieren Sie jeden Rest. Lesen Sie die Reste in umgekehrter Reihenfolge, von der letzten Division bis zur ersten. Zum Beispiel: 13 ÷ 2 = 6 Rest 1, 6 ÷ 2 = 3 Rest 0, 3 ÷ 2 = 1 Rest 1, 1 ÷ 2 = 0 Rest 1. Von unten nach oben gelesen ergibt das 1101, also 13 im Binärsystem.

Welche ist die größte Basis, die dieses Werkzeug unterstützt?

Das Werkzeug unterstützt Basen von 2 bis 36. Die Basis 36 ist die höchste Basis, die sich allein mit den zehn Ziffern 0-9 und den sechsundzwanzig Buchstaben A–Z erreichen lässt, denn das ergibt genau 36 verschiedene Symbole.

Kann dieses Werkzeug negative Zahlen umrechnen?

Nein. Es arbeitet nur mit positiven ganzen Zahlen. Um eine negative Zahl umzurechnen, rechnen Sie ihren Betrag um und setzen Sie dann von Hand ein Minuszeichen vor das Ergebnis.

Warum gibt es Hexadezimal und Oktal, wenn Computer intern Binär verwenden?

Lange Folgen aus 1en und 0en sind für Menschen schwer zu lesen und leicht falsch zu zählen. Weil 16 und 8 beide Potenzen von 2 sind, lassen sich Hexadezimal- und Oktalziffern sauber auf feste Gruppen von Binärziffern abbilden: vier Bits bei Hexadezimal und drei Bits bei Oktal. Dadurch werden lange Binärwerte kürzer und lassen sich leichter mit bloßem Auge prüfen.

Gibt es eine Obergrenze für die Größe der Zahl, die dieses Werkzeug umrechnen kann?

Keine praktische Grenze. Das Werkzeug nutzt Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit statt der üblichen Gleitkommazahlen. Es rechnet daher auch sehr lange Werte um, einschließlich solcher, die ein typischer Taschenrechner nicht exakt darstellen kann, und das ohne Rundungsfehler.

Referenzen

1. Ecma International. ECMAScript Language Specification (ECMA-262), Number.MAX_SAFE_INTEGER. TC39 ECMA-262 – Ganze Zahlen über 2⁵³ − 1 sind als Number-Werte mit doppelter Genauigkeit nicht garantiert exakt darstellbar.
2. The Open Group. chmod: change the file modes (POSIX). Open Group Base Specifications – Der Modus-Operand von chmod kann "a non-negative octal integer" sein.
3. World Wide Web Consortium. CSS Color Module Level 4. W3C CSS Color 4 – Die hexadezimale sRGB-Farbnotation "represents the RGB and alpha components in hexadecimal notation".