Zahlensystem-Konverter: Binär, Hexadezimal, Dezimal & Oktal

Zahlenbasis-Konverter

Ein Zahlenbasis-Konverter ändert die Schreibweise einer Zahl von einem Positionszahlensystem in ein anderes, ohne ihren Wert zu verändern. Er kann Binärzahlen in Dezimalzahlen, Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen umwandeln oder zwischen beliebigen Basen von 2 bis 36 konvertieren.

Was ist eine Zahlenbasis?

Eine Zahlenbasis, auch Radix genannt, gibt an, wie viele verschiedene Ziffern ein Zahlensystem verwendet, bevor es an einer neuen Stelle wieder von vorn beginnt. Das Dezimalsystem, das beim alltäglichen Zählen verwendet wird, ist das Zahlensystem zur Basis 10. Es nutzt zehn Ziffern, von 0 bis 9. Das Binärsystem hat die Basis 2 und verwendet nur 0 und 1. Sobald eine Basis größer als 10 ist, stehen Buchstaben für die zusätzlichen Ziffern: A steht für 10, B für 11 und so weiter bis Z, das für 35 steht. So kann ein System die Basis 36 erreichen. Dies ist die höchste Basis, die die meisten Konverter unterstützen, da dafür nur die 26 Buchstaben des Alphabets und die 10 Ziffern benötigt werden.

Jede Ziffer einer Zahl hat einen Stellenwert, der auf Potenzen der Basis beruht. Im Dezimalsystem bedeutet die Zahl „205“ 2 Hunderter, 0 Zehner und 5 Einer, weil 100 und 10 Potenzen von 10 sind. Dasselbe Prinzip gilt für jede Basis: Die Ziffer ganz rechts wird mit base⁰ multipliziert, die nächste mit base¹, die nächste mit base² und so weiter.

So wird eine Zahl in eine andere Basis umgerechnet

Eine Zahl in eine Dezimalzahl umrechnen

Um eine Zahl aus einer beliebigen Basis in eine Dezimalzahl umzuwandeln, wird jede Ziffer mit der Basis hoch ihrer Position multipliziert. Dabei wird von rechts beginnend bei 0 gezählt. Anschließend werden die Ergebnisse addiert.

Formel: value = dₙ × baseⁿ + ... + d₁ × base¹ + d₀ × base⁰

Beispiel: Die Zahl 101 zur Basis 5 wird in eine Dezimalzahl umgerechnet.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

101 zur Basis 5 entspricht also 26 im Dezimalsystem.

Eine Dezimalzahl in eine andere Basis umrechnen

Um eine Dezimalzahl in eine andere Basis umzuwandeln, wird sie wiederholt durch die Zielbasis geteilt und jeder Rest notiert. Der Vorgang endet, sobald die Zahl 0 erreicht. Danach werden die Reste vom zuletzt ermittelten bis zum zuerst ermittelten Rest gelesen.

Beispiel: Die Dezimalzahl 26 wird in die Basis 5 umgerechnet.

• 26 ÷ 5 = 5, Rest 1
• 5 ÷ 5 = 1, Rest 0
• 1 ÷ 5 = 0, Rest 1
• Die Reste von unten nach oben gelesen: 101

Damit wird das vorherige Beispiel bestätigt: 26 im Dezimalsystem entspricht 101 zur Basis 5.

Durchgerechnete Beispiele

Binärzahl in Dezimalzahl: Die Binärzahl 1101 wird folgendermaßen in eine Dezimalzahl umgewandelt: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Dezimalzahl in Hexadezimalzahl: Die Dezimalzahl 202 wird folgendermaßen in eine Hexadezimalzahl umgewandelt: 202 ÷ 16 = 12, Rest 10, danach 12 ÷ 16 = 0, Rest 12. Im Hexadezimalsystem wird 10 als A und 12 als C geschrieben. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben CA. 202 im Dezimalsystem entspricht also CA im Hexadezimalsystem.

Oktalzahl in Binärzahl: Die Oktalzahl 17 wird zunächst in eine Dezimalzahl umgewandelt: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Die Dezimalzahl 15 wird anschließend in die Binärzahl 1111 umgewandelt. 17 im Oktalsystem entspricht also 1111 im Binärsystem.

Gängige Zahlenbasen

Sehr große Zahlen

Manche Umrechnungen betreffen Zahlen, die zu groß sind, um mit der standardmäßigen Gleitkommaarithmetik mit doppelter Genauigkeit exakt verarbeitet zu werden, etwa ein 64-Bit-Hexadezimalwert wie FFFFFFFFFFFFFFFF. Dieser Konverter arbeitet mit ganzen Zahlen beliebiger Größe und verwendet dafür Ganzzahlarithmetik mit beliebiger Genauigkeit. Dadurch werden lange Werte weder gerundet noch gehen Ziffern verloren.

Welche Eingaben der Konverter akzeptiert

Das Tool liest ganze Zahlen ab 0, die mit den Ziffern der Quellbasis geschrieben sind. Buchstaben können in Groß- oder Kleinschreibung eingegeben werden. Daher bedeuten ff und FF beide 255 zur Basis 16. Leerzeichen vor oder nach der Zahl werden ignoriert. Jedes andere Zeichen, etwa ein Minuszeichen oder ein Dezimaltrennzeichen, wird mit der Meldung „Die Eingabe enthält ungültige Zeichen für die Basis 16“ abgelehnt. Dabei wird die jeweils eingestellte Quellbasis genannt.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Binär- und Hexadezimalzahlen?

Das Binärsystem verwendet nur zwei Ziffern: 0 und 1. Das Hexadezimalsystem verwendet sechzehn Ziffern: 0 bis 9 und A bis F. Da 16 = 2⁴ ist, steht jede einzelne Hexadezimalziffer genau für vier Binärziffern. Deshalb wird das Hexadezimalsystem häufig als kürzere Schreibweise für Binärwerte verwendet.

Wie rechnet man eine Dezimalzahl von Hand in eine Binärzahl um?

Die Dezimalzahl wird wiederholt durch 2 geteilt und jeder Rest notiert. Die Reste werden in umgekehrter Reihenfolge gelesen, also von der letzten Division bis zur ersten. Beispiel: 13 ÷ 2 = 6, Rest 1, 6 ÷ 2 = 3, Rest 0, 3 ÷ 2 = 1, Rest 1, 1 ÷ 2 = 0, Rest 1. Von unten nach oben gelesen ergibt sich 1101. Das ist 13 im Binärsystem.

Was ist die größte von diesem Tool unterstützte Basis?

Das Tool unterstützt Basen von 2 bis 36. Basis 36 ist die höchste Basis, die sich ausschließlich mit den zehn Ziffern 0-9 und den 26 Buchstaben A-Z darstellen lässt, da dies genau 36 verschiedene Symbole ergibt.

Kann dieses Tool negative Zahlen umwandeln?

Nein. Es akzeptiert nur 0 und positive ganze Zahlen. Um eine negative Zahl umzuwandeln, wird zunächst ihr Absolutwert konvertiert. Anschließend wird dem Ergebnis von Hand ein Minuszeichen vorangestellt.

Warum gibt es Hexadezimal- und Oktalzahlen, wenn Computer intern Binärzahlen verwenden?

Lange Folgen aus 1 und 0 sind für Menschen schwer zu lesen und leicht falsch zu zählen. Da 16 und 8 beides Potenzen von 2 sind, lassen sich Hexadezimal- und Oktalziffern eindeutig festen Gruppen von Binärziffern zuordnen: vier Bits bei Hexadezimalzahlen und drei Bits bei Oktalzahlen. Dadurch werden lange Binärwerte kürzer und lassen sich leichter mit bloßem Auge prüfen.

Gibt es eine Begrenzung für die Größe einer Zahl, die dieses Tool umwandeln kann?

Es gibt keine praktische Begrenzung. Das Tool verwendet Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit statt standardmäßiger Gleitkommazahlen. Daher kann es auch sehr lange Werte umwandeln, einschließlich solcher, die größer sind als das, was ein typischer Taschenrechner exakt darstellen kann, ohne Rundungsfehler.