Μετατροπέας Αριθμητικών Βάσεων: Δυαδικό, Δεκαεξαδικό, Δεκαδικό & Οκταδικό

Μετατροπέας βάσης αριθμών

Ένας μετατροπέας βάσης αριθμών αλλάζει τον τρόπο γραφής ενός αριθμού, από ένα σύστημα θεσιακής αρίθμησης σε ένα άλλο, χωρίς να αλλάζει την τιμή του. Μπορεί να μετατρέψει δυαδικούς αριθμούς σε δεκαδικούς, δεκαδικούς σε δεκαεξαδικούς ή να κάνει μετατροπές μεταξύ οποιωνδήποτε δύο βάσεων από 2 έως 36.

Τι είναι η βάση ενός αριθμού;

Η βάση ενός συστήματος αρίθμησης, που ονομάζεται επίσης radix, είναι το πλήθος των διαφορετικών ψηφίων που χρησιμοποιεί ένα σύστημα πριν αρχίσει να τα επαναλαμβάνει σε νέα θέση. Το δεκαδικό σύστημα, που χρησιμοποιείται στην καθημερινή αρίθμηση, είναι βάση 10. Χρησιμοποιεί δέκα ψηφία, από 0 έως 9. Το δυαδικό είναι βάση 2 και χρησιμοποιεί μόνο τα ψηφία 0 και 1. Όταν μια βάση είναι μεγαλύτερη από 10, τα γράμματα αντικαθιστούν τα ψηφία που λείπουν: το A αντιπροσωπεύει το 10, το B αντιπροσωπεύει το 11 και ούτω καθεξής έως το Z, που αντιπροσωπεύει το 35. Έτσι ένα σύστημα μπορεί να φτάσει έως τη βάση 36, την υψηλότερη βάση που υποστηρίζουν οι περισσότεροι μετατροπείς, χρησιμοποιώντας μόνο τα 26 γράμματα του αλφαβήτου και τα 10 ψηφία.

Κάθε ψηφίο ενός αριθμού έχει μια αξία θέσης που βασίζεται σε δυνάμεις της βάσης. Στο δεκαδικό σύστημα, ο αριθμός που γράφεται ως «205» σημαίνει 2 εκατοντάδες, 0 δεκάδες και 5 μονάδες, επειδή τα 100 και 10 είναι δυνάμεις του 10. Η ίδια ιδέα ισχύει σε κάθε βάση: το ψηφίο που βρίσκεται πιο δεξιά πολλαπλασιάζεται με βάση⁰, το επόμενο με βάση¹, το επόμενο με βάση² και ούτω καθεξής.

Πώς μετατρέπεται ένας αριθμός σε άλλη βάση

Μετατροπή ενός αριθμού σε δεκαδικό

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από οποιαδήποτε βάση σε δεκαδικό, πολλαπλασιάστε κάθε ψηφίο με τη βάση υψωμένη στη δύναμη της θέσης του, μετρώντας από το 0 στα δεξιά, και έπειτα προσθέστε τα αποτελέσματα.

Τύπος: τιμή = dₙ × βάσηⁿ + ... + d₁ × βάση¹ + d₀ × βάση⁰

Παράδειγμα: Μετατρέψτε τον αριθμό βάσης-5 101 σε δεκαδικό.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Επομένως, το 101 στη βάση 5 ισούται με 26 στο δεκαδικό σύστημα.

Μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε άλλη βάση

Για να μετατρέψετε έναν δεκαδικό αριθμό σε άλλη βάση, διαιρέστε τον επανειλημμένα με τη βάση-στόχο και κρατήστε κάθε υπόλοιπο. Σταματήστε όταν ο αριθμός φτάσει στο 0 και έπειτα διαβάστε τα υπόλοιπα από το τελευταίο που βρέθηκε προς το πρώτο.

Παράδειγμα: Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 26 στη βάση 5.

• 26 ÷ 5 = 5, υπόλοιπο 1
• 5 ÷ 5 = 1, υπόλοιπο 0
• 1 ÷ 5 = 0, υπόλοιπο 1
• Διαβάζοντας τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω: 101

Αυτό επιβεβαιώνει το προηγούμενο παράδειγμα: το 26 στο δεκαδικό σύστημα είναι 101 στη βάση 5.

Λυμένο παράδειγμα

Δυαδικό σε δεκαδικό: Ο δυαδικός αριθμός 1101 μετατρέπεται σε δεκαδικό ως εξής: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Δεκαδικό σε δεκαεξαδικό: Ο δεκαδικός αριθμός 202 μετατρέπεται σε δεκαεξαδικό ως εξής: 202 ÷ 16 = 12, υπόλοιπο 10, και έπειτα 12 ÷ 16 = 0, υπόλοιπο 12. Στο δεκαεξαδικό σύστημα, το 10 γράφεται A και το 12 γράφεται C. Διαβάζοντας τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω προκύπτει CA. Επομένως, το 202 στο δεκαδικό σύστημα είναι CA στο δεκαεξαδικό.

Οκταδικό σε δυαδικό: Ο οκταδικός αριθμός 17 μετατρέπεται πρώτα σε δεκαδικό: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Στη συνέχεια, ο δεκαδικός αριθμός 15 μετατρέπεται σε δυαδικό ως 1111. Επομένως, το 17 στο οκταδικό σύστημα ισούται με 1111 στο δυαδικό.

Συνήθεις βάσεις αριθμών

Πολύ μεγάλοι αριθμοί

Ορισμένες μετατροπές περιλαμβάνουν αριθμούς υπερβολικά μεγάλους για να τους χειριστούν με ακρίβεια οι τυπικοί υπολογισμοί διπλής ακρίβειας, όπως μια δεκαεξαδική τιμή 64 bit, όπως η FFFFFFFFFFFFFFFF. Αυτός ο μετατροπέας λειτουργεί με ακέραιους αριθμούς οποιουδήποτε μεγέθους, χρησιμοποιώντας αριθμητική ακεραίων αυθαίρετης ακρίβειας, επομένως δεν στρογγυλοποιεί ούτε χάνει ψηφία σε μεγάλες τιμές.

Τι δέχεται ο μετατροπέας

Το εργαλείο δέχεται μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς, γραμμένους με τα ψηφία της αρχικής βάσης. Τα γράμματα μπορούν να πληκτρολογηθούν είτε με κεφαλαία είτε με πεζά, επομένως τα ff και FF σημαίνουν και τα δύο 255 στη βάση 16. Τα κενά πριν ή μετά τον αριθμό αγνοούνται. Οποιοσδήποτε άλλος χαρακτήρας, όπως το σύμβολο μείον ή η δεκαδική τελεία, απορρίπτεται με το μήνυμα «Η είσοδος περιέχει μη έγκυρους χαρακτήρες για τη βάση 16», όπου αναφέρεται η αρχική βάση που έχει οριστεί.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ δυαδικού και δεκαεξαδικού;

Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί μόνο δύο ψηφία, τα 0 και 1. Το δεκαεξαδικό χρησιμοποιεί δεκαέξι, από 0 έως 9 και από A έως F. Επειδή το 16 είναι 2⁴, κάθε μεμονωμένο δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί ακριβώς σε τέσσερα δυαδικά ψηφία, γι’ αυτό το δεκαεξαδικό χρησιμοποιείται συχνά ως σύντομος τρόπος γραφής δυαδικών τιμών.

Πώς μετατρέπεται χειροκίνητα ένας δεκαδικός αριθμός σε δυαδικό;

Διαιρέστε επανειλημμένα τον δεκαδικό αριθμό με το 2 και καταγράψτε κάθε υπόλοιπο. Διαβάστε τα υπόλοιπα με αντίστροφη σειρά, από την τελευταία διαίρεση προς την πρώτη. Για παράδειγμα, 13 ÷ 2 = 6, υπόλοιπο 1, 6 ÷ 2 = 3, υπόλοιπο 0, 3 ÷ 2 = 1, υπόλοιπο 1, 1 ÷ 2 = 0, υπόλοιπο 1. Διαβάζοντας από κάτω προς τα πάνω προκύπτει το 1101, που είναι το 13 στο δυαδικό σύστημα.

Ποια είναι η μεγαλύτερη βάση που υποστηρίζει αυτό το εργαλείο;

Το εργαλείο υποστηρίζει βάσεις από 2 έως 36. Η βάση 36 είναι η υψηλότερη που μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας μόνο τα δέκα ψηφία 0–9 και τα είκοσι έξι γράμματα A-Z, καθώς έτσι προκύπτουν ακριβώς 36 διαφορετικά σύμβολα.

Μπορεί αυτό το εργαλείο να μετατρέψει αρνητικούς αριθμούς;

Όχι. Δέχεται μόνο το μηδέν και θετικούς ακέραιους αριθμούς. Για να μετατρέψετε έναν αρνητικό αριθμό, μετατρέψτε την απόλυτη τιμή του και έπειτα προσθέστε χειροκίνητα ένα σύμβολο μείον στο αποτέλεσμα.

Γιατί υπάρχουν το δεκαεξαδικό και το οκταδικό σύστημα, αφού οι υπολογιστές χρησιμοποιούν εσωτερικά το δυαδικό;

Οι μεγάλες ακολουθίες από 1 και 0 είναι δύσκολο να διαβαστούν από τους ανθρώπους και εύκολο να καταμετρηθούν λανθασμένα. Επειδή τα 16 και 8 είναι και τα δύο δυνάμεις του 2, τα δεκαεξαδικά και τα οκταδικά ψηφία αντιστοιχίζονται καθαρά σε σταθερές ομάδες δυαδικών ψηφίων: τέσσερα δυαδικά ψηφία για κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο και τρία δυαδικά ψηφία για κάθε οκταδικό ψηφίο. Έτσι οι μεγάλες δυαδικές τιμές γίνονται συντομότερες και ελέγχονται ευκολότερα οπτικά.

Υπάρχει όριο στο μέγεθος του αριθμού που μπορεί να μετατρέψει αυτό το εργαλείο;

Δεν υπάρχει πρακτικό όριο. Το εργαλείο χρησιμοποιεί αριθμητική αυθαίρετης ακρίβειας αντί για τυπικούς αριθμούς κινητής υποδιαστολής, επομένως μετατρέπει πολύ μεγάλες τιμές, ακόμη και μεγαλύτερες από εκείνες που μια συνηθισμένη αριθμομηχανή μπορεί να αναπαραστήσει με ακρίβεια, χωρίς σφάλματα στρογγυλοποίησης.