Υπολογιστής Ενέργειας Πλέγματος | Δωρεάν Εργαλείο Εξίσωσης Born-Landé

Τι είναι η ενέργεια πλέγματος;

Η ενέργεια πλέγματος είναι η ενέργεια που εκλύεται όταν ξεχωριστά ιόντα στην αέρια φάση ενώνονται για να σχηματίσουν ένα mol στερεού ιοντικού ενώματος. Ένας υπολογιστής ενέργειας πλέγματος χρησιμοποιεί την εξίσωση Born-Landé για να εκτιμήσει αυτή την τιμή από τα φορτία των ιόντων, τα μεγέθη τους και μία ρυθμιζόμενη παράμετρο που ονομάζεται εκθέτης Born.

Η διεργασία που περιγράφει η ενέργεια πλέγματος είναι:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

Εδώ το $M^{n+}$ είναι μεταλλικό κατιόν (ιόν με θετικό φορτίο) και το $X^{n-}$ είναι ανιόν αμέταλλου (ιόν με αρνητικό φορτίο). Η ενέργεια πλέγματος είναι πάντα αρνητική, επειδή η ενέργεια απομακρύνεται από το σύστημα καθώς τα ιόντα σταθεροποιούνται σε κρύσταλλο. Οι χημικοί ονομάζουν μια διεργασία που εκλύει ενέργεια «εξώθερμη».

Τρία πράγματα καθορίζουν το μέγεθος της ενέργειας πλέγματος:

1. Φορτίο ιόντων. Τα ιόντα με μεγαλύτερα φορτία έλκονται ισχυρότερα μεταξύ τους.
2. Μέγεθος ιόντων. Τα μικρότερα ιόντα μπορούν να πλησιάσουν περισσότερο, γεγονός που ενισχύει την έλξη.
3. Κρυσταλλική δομή. Το γεωμετρικό πρότυπο που σχηματίζουν τα ιόντα αλλάζει τον αριθμό των γειτονικών ιόντων κάθε ιόντος· αυτό εκφράζεται με έναν αριθμό που ονομάζεται σταθερά Madelung.

Τύπος της ενέργειας πλέγματος (εξίσωση Born-Landé)

Η εξίσωση Born-Landé, που δημοσιεύτηκε από τους φυσικούς Max Born και Alfred Landé το 1918, είναι:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

Όπου:

• $U$ = ενέργεια πλέγματος, σε κιλοτζάουλ ανά mol (kJ/mol)
• $N_0$ = αριθμός του Avogadro, 6,022 × 10²³ ανά mol
• $A$ = σταθερά Madelung (ο παρών υπολογιστής χρησιμοποιεί 1,7476, την τιμή για τη δομή τύπου αλίτη, την οποία έχουν από κοινού τα NaCl, MgO και πολλά άλλα απλά άλατα)
• $z_1$, $z_2$ = τα φορτία του κατιόντος και του ανιόντος
• $e$ = το φορτίο ενός ηλεκτρονίου, 1,602 × 10⁻¹⁹ coulomb
• $\varepsilon_0$ = η διηλεκτρική διαπερατότητα του κενού, 8,854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = η διαϊοντική απόσταση, δηλαδή η απόσταση μεταξύ των κέντρων των δύο ιόντων
• $n$ = ο εκθέτης Born, ένας αριθμός που λαμβάνει υπόψη πόσο έντονα αντιστέκονται τα ιόντα στη συμπίεση μεταξύ τους (συνήθως μεταξύ 5 και 12 και πάντα μεγαλύτερος από 1)

Το πρώτο μέρος της εξίσωσης υπολογίζει την έλξη μεταξύ δύο αντίθετων φορτίων. Ο όρος $(1 - 1/n)$ αφαιρεί την άπωση που εμφανίζεται όταν τα ηλεκτρονιακά νέφη των ιόντων αρχίζουν να επικαλύπτονται. Ο όρος αυτός έχει νόημα μόνο για $n$ μεγαλύτερο από 1. Για $n = 1$ είναι μηδενικός, ενώ κάτω από 1 γίνεται αρνητικός, οπότε ο υπολογιστής απορρίπτει αυτές τις τιμές.

Διαϊοντική απόσταση

Η απόσταση μεταξύ των κέντρων των ιόντων, $r_0$, είναι απλώς το άθροισμα των δύο ιοντικών ακτίνων:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

Οι ιοντικές ακτίνες δίνονται συνήθως σε πικόμετρα (pm), όπου ένα πικόμετρο είναι ένα τρισεκατομμυριοστό του μέτρου.

Πώς υπολογίζεται η ενέργεια πλέγματος

1. Εισαγάγετε το φορτίο του κατιόντος ως θετικό ακέραιο αριθμό (1 για Na⁺, 2 για Mg²⁺).
2. Εισαγάγετε το φορτίο του ανιόντος ως αρνητικό ακέραιο αριθμό (-1 για Cl⁻, -2 για O²⁻).
3. Εισαγάγετε την ακτίνα του κατιόντος σε πικόμετρα.
4. Εισαγάγετε την ακτίνα του ανιόντος σε πικόμετρα.
5. Εισαγάγετε έναν εκθέτη Born. Η τιμή 9 λειτουργεί για πολλές ενώσεις. Ο εκθέτης πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 1.
6. Διαβάστε τη διαϊοντική απόσταση και την ενέργεια πλέγματος στον πίνακα αποτελεσμάτων.

Παράδειγμα: ενέργεια πλέγματος του χλωριούχου νατρίου (NaCl)

Το χλωριούχο νάτριο, το κοινό μαγειρικό αλάτι, είναι χρήσιμο πρώτο παράδειγμα, επειδή τα ιόντα του φέρουν μοναδιαία φορτία.

• Φορτίο κατιόντος: +1 (Na⁺)
• Φορτίο ανιόντος: -1 (Cl⁻)
• Ακτίνα κατιόντος: 102 pm
• Ακτίνα ανιόντος: 181 pm
• Εκθέτης Born: 9

Βήμα 1: Βρείτε τη διαϊοντική απόσταση.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

Βήμα 2: Εφαρμόστε την εξίσωση Born-Landé.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

Η τιμή αυτή είναι κοντά, αλλά όχι ίδια, με την τιμή που συνήθως παρατίθεται στα εγχειρίδια, περίπου -787 kJ/mol, η οποία προκύπτει από πειραματικά θερμοδυναμικά δεδομένα που μετρήθηκαν μέσω κύκλου Born-Haber και όχι από αυτή την εξίσωση. Η διαφορά υπάρχει επειδή η εξίσωση Born-Landé θεωρεί τα ιόντα τέλειες άκαμπτες σφαίρες και χρησιμοποιεί έναν εκθέτη άπωσης για ολόκληρο τον κρύσταλλο, επομένως αποτελεί προσέγγιση και όχι ακριβή αντιστοίχιση με την πραγματικότητα.

Παράδειγμα: ενέργεια πλέγματος του οξειδίου του μαγνησίου (MgO)

Το οξείδιο του μαγνησίου έχει ιόντα με διπλά φορτία, επομένως αποτελεί καλό σημείο σύγκρισης.

• Φορτίο κατιόντος: +2 (Mg²⁺), ακτίνα 72 pm
• Φορτίο ανιόντος: -2 (O²⁻), ακτίνα 140 pm
• Εκθέτης Born: 9
• Διαϊοντική απόσταση: 72 pm + 140 pm = 212 pm

Η εισαγωγή αυτών των αριθμών στην ίδια εξίσωση δίνει ενέργεια πλέγματος περίπου -4071 kJ/mol, περισσότερο από πέντε φορές πιο αρνητική από εκείνη του NaCl. Η πειραματικά μετρημένη τιμή είναι περίπου -3795 kJ/mol. Ο διπλασιασμός και των δύο φορτίων των ιόντων τετραπλασιάζει περίπου την ηλεκτροστατική έλξη, επειδή η εξίσωση πολλαπλασιάζει το $z_1$ με το $z_2$, ενώ η μικρότερη διαϊοντική απόσταση στο MgO ενισχύει ακόμη περισσότερο την έλξη.

Συνήθεις ιοντικές ακτίνες και εκθέτες Born

Επιλεγμένες ακτίνες κατιόντων

Επιλεγμένες ακτίνες ανιόντων

Τυπικοί εκθέτες Born

Αυτά αποτελούν σημεία εκκίνησης. Οι δημοσιευμένες πηγές δίνουν μερικές φορές ελαφρώς διαφορετικούς αριθμούς.

Τι επηρεάζει την ενέργεια πλέγματος

Η ενέργεια πλέγματος συνδέεται με διάφορες ιδιότητες που οι χημικοί μπορούν να μετρήσουν άμεσα.

• Σημείο τήξης. Η ισχυρότερη ιοντική έλξη συνήθως σημαίνει υψηλότερο σημείο τήξης. Τα ιόντα του οξειδίου του μαγνησίου φέρουν διπλάσιο φορτίο από τα ιόντα του χλωριούχου νατρίου και βρίσκονται πιο κοντά μεταξύ τους, προσδίδοντας στο MgO πολύ πιο αρνητική ενέργεια πλέγματος. Αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους το MgO τήκεται περίπου στους 2852 °C, ενώ το NaCl περίπου στους 801 °C.
• Σκληρότητα. Οι κρύσταλλοι με υψηλότερη ενέργεια πλέγματος τείνουν να αντιστέκονται καλύτερα στη χάραξη και στην παραμόρφωση.
• Διαλυτότητα. Οι ενώσεις με πολύ υψηλή ενέργεια πλέγματος συχνά διαλύονται δυσκολότερα στο νερό, επειδή η διάσπαση του κρυστάλλου απαιτεί περισσότερη ενέργεια από εκείνη που μπορούν να προσφέρουν τα μόρια του νερού περιβάλλοντας τα ιόντα.

Η ενέργεια πλέγματος είναι επίσης ένας όρος στον κύκλο Born-Haber, μια μέθοδο καταγραφής που χρησιμοποιούν οι χημικοί για να υπολογίσουν τις ενεργειακές μεταβολές κατά τον σχηματισμό μιας ιοντικής ένωσης από τα στοιχεία της.

Περιορισμοί της εξίσωσης Born-Landé και αυτού του υπολογιστή

Αυτός ο υπολογιστής χρησιμοποιεί πάντα τη σταθερά Madelung για τη δομή τύπου αλίτη (1,7476). Η τιμή αυτή είναι σωστή για ενώσεις που κρυσταλλώνονται όπως το NaCl και το MgO, αλλά δεν είναι σωστή για ενώσεις με άλλες δομές, όπως το χλωριούχο καίσιο ή το φθοριούχο ασβέστιο, που έχουν διαφορετικές σταθερές Madelung. Η εξίσωση Born-Landé θεωρεί επίσης τα ιόντα τέλειες σφαίρες και αγνοεί επιδράσεις όπως ο ομοιοπολικός χαρακτήρας του δεσμού, επομένως τα αποτελέσματά της είναι κοντινές εκτιμήσεις και όχι ακριβείς πειραματικές τιμές.

Συχνές ερωτήσεις

Τι είναι η ενέργεια πλέγματος με απλά λόγια; Είναι η ενέργεια που εκλύεται όταν φορτισμένα σωματίδια, τα οποία ονομάζονται ιόντα, ενώνονται και σταθεροποιούνται σε έναν στερεό κρύσταλλο. Μια πιο αρνητική τιμή σημαίνει ότι τα ιόντα συγκρατούνται ισχυρότερα μεταξύ τους.

Γιατί η ενέργεια πλέγματος είναι πάντα αρνητική; Επειδή ο σχηματισμός του στερεού εκλύει ενέργεια αντί να την απορροφά. Ορισμένα εγχειρίδια ορίζουν αντίθετα την «ενθαλπία πλέγματος» ως τη θετική ενέργεια που απαιτείται για τη διάσπαση του κρυστάλλου· και οι δύο ορισμοί περιγράφουν την ίδια ισχύ δεσμού, αλλά με αντίθετα πρόσημα.

Ποιον εκθέτη Born πρέπει να χρησιμοποιήσω; Το εννέα είναι μια συνηθισμένη προεπιλεγμένη τιμή που λειτουργεί αρκετά καλά για πολλές ιοντικές ενώσεις. Για μια συγκεκριμένη ένωση, ένα εγχειρίδιο χημείας ή μια βάση δεδομένων κρυσταλλογραφίας θα παραθέσει ακριβέστερη τιμή, βασισμένη στις ηλεκτρονιακές διαμορφώσεις των ιόντων της.

Γιατί ο υπολογιστής δεν συμφωνεί ακριβώς με τον αριθμό στο εγχειρίδιό μου; Οι τιμές των εγχειριδίων συχνά προέρχονται από πειράματα (κύκλο Born-Haber), ενώ αυτός ο υπολογιστής χρησιμοποιεί τη θεωρητική εξίσωση Born-Landé. Οι δύο μέθοδοι συνήθως συμφωνούν μέσα σε λίγα τοις εκατό, αλλά σπάνια συμπίπτουν ακριβώς.

Σημαίνει πάντα ένα μεγαλύτερο ιόν μικρότερη ενέργεια πλέγματος; Συνήθως, ναι. Τα μεγαλύτερα ιόντα αυξάνουν τη διαϊοντική απόσταση $r_0$, η οποία βρίσκεται στον παρονομαστή της εξίσωσης, οπότε η ενέργεια πλέγματος γίνεται λιγότερο αρνητική καθώς μεγαλώνουν τα ιόντα, με όλους τους άλλους παράγοντες σταθερούς.

Μπορεί αυτός ο υπολογιστής να χειριστεί οποιαδήποτε ιοντική ένωση; Λειτουργεί καλύτερα για απλές ενώσεις που έχουν την κρυσταλλική δομή ορυκτού άλατος, όπως τα NaCl, MgO και CaO. Είναι λιγότερο αξιόπιστος για ενώσεις με διαφορετικές κρυσταλλικές δομές ή με σημαντικό ομοιοπολικό χαρακτήρα.

Παραπομπές

1. Atkins, P. W., & De Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10th έκδοση). Oxford University Press.
2. Housecroft, C. E., & Sharpe, A. G. (2018). Ανόργανη Χημεία (5η έκδ.). Pearson.
3. Born, M., & Landé, A. (1918). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 20, 210-216.
4. Shannon, R. D. (1976). Revised effective ionic radii and systematic studies of interatomic distances in halides and chalcogenides. Acta Crystallographica Section A, 32(5), 751-767.