Calculadora de Secciones Cónicas - Círculo, Elipse, Parábola

¿Qué es una calculadora de secciones cónicas?

Una calculadora de secciones cónicas encuentra la excentricidad y la ecuación estándar de un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola a partir de algunas medidas. Estas cuatro curvas aparecen cuando un plano corta un cono con distintos ángulos.

Las cuatro secciones cónicas

Cortar un cono transversalmente produce un círculo. Inclinar el plano produce una elipse. Cortarlo en paralelo a uno de los lados del cono produce una parábola. Cortar las dos mitades de un cono doble produce una hipérbola.

Cada curva tiene una excentricidad, un número que indica cuánto se diferencia de un círculo perfecto.

• Círculo: $e = 0$
• Elipse: $0 < e < 1$
• Parábola: $e = 1$
• Hipérbola: $e > 1$

Cómo usar esta calculadora

1. Elige un tipo de sección cónica: círculo, elipse, parábola o hipérbola.
2. Introduce las medidas necesarias.
   • Círculo: radio ($r$)
   • Elipse: semieje mayor ($a$) y semieje menor ($b$)
   • Parábola: distancia focal ($f$)
   • Hipérbola: semieje transverso ($a$) y semieje conjugado ($b$)
3. La excentricidad y la ecuación estándar aparecen automáticamente en cuanto se introducen valores positivos válidos para el tipo de cónica seleccionado; no hay que pulsar ningún botón de «Calcular».
4. Debajo de los resultados se dibuja un gráfico de la curva.

La calculadora muestra la ecuación con los números introducidos ya sustituidos, por lo que una elipse con $a = 5$ y $b = 3$ aparece como $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Es la misma ecuación que $x^2/25 + y^2/9 = 1$. La excentricidad se muestra con cuatro cifras decimales.

Todas las entradas deben ser números positivos. En una elipse, el semieje mayor debe tener como mínimo la misma longitud que el semieje menor, porque el semieje mayor se define como el más largo. Una hipérbola no tiene esta condición: su semieje transverso y su semieje conjugado pueden tener cualquier longitud positiva, incluso longitudes iguales.

Fórmula del círculo

Para un círculo de radio $r$ centrado en el origen:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Excentricidad: $e = 0$.

Un círculo es un caso especial de una elipse en el que ambos ejes tienen la misma longitud y los dos focos se encuentran en el centro.

Fórmula de la elipse

Para una elipse centrada en el origen, con semieje mayor $a$ y semieje menor $b$, donde $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Ejemplo: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Ecuación: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Cuando $a = b$, la elipse se convierte en un círculo y $e = 0$.

Fórmula de la parábola

Para una parábola que se abre hacia la derecha, con distancia focal $f$ (la distancia entre el vértice y el foco):

$$y^2 = 4fx$$

Excentricidad: $e = 1$, siempre.

Ejemplo: $f = 2$. Ecuación: $y^2 = 8x$.

Fórmula de la hipérbola

Para una hipérbola centrada en el origen, con semieje transverso $a$ y semieje conjugado $b$, donde $a$ y $b$ son números positivos cualesquiera:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

El semieje transverso $a$ es la mitad de la distancia entre los dos vértices, que son los puntos donde la curva cambia de dirección. El semieje conjugado $b$ es la mitad de la longitud del eje conjugado, el segmento que se traza perpendicularmente a este a través del centro. Determina la rapidez con la que se abren las ramas.

A diferencia de una elipse, una hipérbola no exige que $a$ sea mayor que $b$. Las dos longitudes son independientes, por lo que $b$ puede ser menor, igual o mayor que $a$. Cuando $a = b$, la curva se denomina hipérbola rectangular y su excentricidad es $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Ejemplo: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Ecuación: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Usos de las secciones cónicas en el mundo real

Los planetas y los cometas siguen órbitas con forma de secciones cónicas. La primera ley de Kepler establece que la órbita de un planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos. Algunos cometas siguen trayectorias parabólicas o hiperbólicas y nunca regresan.

Las parábolas concentran en un solo punto los rayos paralelos, por lo que los ingenieros utilizan formas parabólicas en antenas parabólicas, espejos de telescopios y faros de automóviles. Las curvas hiperbólicas aparecen en las paredes de las torres de refrigeración, donde su forma aporta resistencia usando menos material. Las elipses se encuentran en arcos, techos de galerías de los susurros y diseños de engranajes.

Breve historia de las secciones cónicas

El matemático griego Menecmo estudió las secciones cónicas alrededor del año 350 a. C. mientras intentaba resolver el problema de la duplicación del cubo. Apolonio de Perge escribió alrededor del año 200 a. C. un tratado detallado titulado Cónicas. Dio nombre a la elipse, la parábola y la hipérbola, y describió sus propiedades. Siglos después, Johannes Kepler utilizó la elipse para describir el movimiento planetario, e Isaac Newton empleó las secciones cónicas para explicar la gravedad.

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son los cuatro tipos de secciones cónicas?

El círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola. Cada una se forma cuando un plano corta un cono con un ángulo diferente y cada una tiene un intervalo de excentricidad distinto.

¿Cómo se calcula la excentricidad?

La excentricidad es fija para un círculo ($e = 0$) y una parábola ($e = 1$). Para una elipse, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, usando el semieje mayor $a$ y el semieje menor $b$. Para una hipérbola, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, usando el semieje transverso $a$ y el semieje conjugado $b$.

¿El semieje transverso de una hipérbola tiene que ser más largo que su semieje conjugado?

No. A diferencia de los ejes mayor y menor de una elipse, el semieje transverso ($a$) y el semieje conjugado ($b$) de una hipérbola son medidas independientes. Ambos deben ser positivos, pero cualquiera de los dos puede ser el mayor.

¿Puede una elipse convertirse en un círculo?

Sí. Cuando el semieje mayor es igual al semieje menor, la elipse es un círculo y su excentricidad es 0.

¿Por qué las antenas parabólicas tienen forma parabólica?

Una parábola refleja hacia un único punto focal los rayos que viajan paralelos a su eje. Las antenas parabólicas y los espejos de telescopio aprovechan esta propiedad para concentrar señales o luz en un solo punto.

¿Qué es una hipérbola rectangular?

Una hipérbola rectangular es aquella cuyo semieje transverso es igual al semieje conjugado ($a = b$). Sus asíntotas son perpendiculares y su excentricidad es $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Referencias

1. Sección cónica - Wikipedia
2. Excentricidad de las secciones cónicas - Khan Academy
3. Cónicas - OpenStax