Calculadora de Secciones Cónicas - Círculo, Elipse, Parábola

¿Qué es una calculadora de secciones cónicas?

Una calculadora de secciones cónicas halla la excentricidad y la ecuación canónica de una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola a partir de unas pocas medidas. Estas cuatro curvas aparecen cuando un plano corta un cono con distintos ángulos.

Las cuatro secciones cónicas

Cortar un cono en sentido transversal produce una circunferencia. Inclinar el plano produce una elipse. Cortar en paralelo a la generatriz del cono produce una parábola. Cortar ambas mitades de un cono doble produce una hipérbola.

Cada curva tiene una excentricidad, un número que indica cuánto se aparta de una circunferencia perfecta. Solo la excentricidad identifica el tipo de cónica:

• Circunferencia: $e = 0$
• Elipse: $0 < e < 1$
• Parábola: $e = 1$
• Hipérbola: $e > 1$

Cómo usar esta calculadora

1. Elegir un tipo de sección cónica: circunferencia, elipse, parábola o hipérbola.
2. Introducir las medidas necesarias.
   • Circunferencia: radio ($r$)
   • Elipse: semieje mayor ($a$) y semieje menor ($b$)
   • Parábola: distancia focal ($f$)
   • Hipérbola: semieje transverso ($a$) y semieje conjugado ($b$)
3. La excentricidad y la ecuación canónica aparecen automáticamente en cuanto se introducen valores positivos válidos para el tipo de cónica elegido; no hay ningún botón de calcular que pulsar.

Todos los valores introducidos deben ser números positivos. En una elipse, el semieje mayor debe ser al menos tan largo como el semieje menor, porque el semieje mayor se define como el más largo. En una hipérbola no rige esa regla: sus semiejes transverso y conjugado pueden tener cualquier longitud positiva, incluso iguales.

Fórmula de la circunferencia

Para una circunferencia de radio $r$ con centro en el origen:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Excentricidad: $e = 0$.

Una circunferencia es un caso particular de elipse en el que ambos ejes tienen la misma longitud y ambos focos están en el centro.

Fórmula de la elipse

Para una elipse con centro en el origen, semieje mayor $a$ y semieje menor $b$, donde $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Esto se deduce de $e = c/a$, donde $c$ es la distancia del centro a un foco y $c^2 = a^2 - b^2$ en una elipse.

Ejemplo: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Ecuación: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Cuando $a = b$, la elipse se convierte en una circunferencia y $e = 0$.

Fórmula de la parábola

Para una parábola que se abre hacia la derecha, con distancia focal $f$ (la distancia del vértice al foco):

$$y^2 = 4fx$$

Excentricidad: $e = 1$, siempre.

Ejemplo: $f = 2$. Ecuación: $y^2 = 8x$.

Fórmula de la hipérbola

Para una hipérbola con centro en el origen, semieje transverso $a$ y semieje conjugado $b$, donde $a$ y $b$ son números positivos cualesquiera:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Para una hipérbola, de nuevo $e = c/a$, pero $c^2 = a^2 + b^2$, por lo que $e$ es siempre mayor que 1.

A diferencia de una elipse, una hipérbola no exige que $a$ sea mayor que $b$. Los dos semiejes son longitudes independientes, así que $b$ puede ser menor, igual o mayor que $a$. Cuando $a = b$, la curva se llama hipérbola equilátera, con excentricidad $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Ejemplo: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Ecuación: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Usos de las secciones cónicas en el mundo real

Los planetas y los cometas siguen órbitas con forma de sección cónica. La primera ley de Kepler establece que la órbita de un planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos. Algunos cometas siguen trayectorias parabólicas o hiperbólicas y no regresan.

Las parábolas concentran en un solo punto los rayos paralelos, por lo que los ingenieros emplean formas parabólicas en antenas parabólicas, espejos de telescopio y faros de automóvil. Las curvas hiperbólicas aparecen en las paredes de las torres de enfriamiento, donde la forma aporta resistencia con menos material. Las elipses se encuentran en arcos, en techos de galerías de los susurros y en el diseño de engranajes.

Breve historia de las secciones cónicas

El matemático griego Menecmo (hacia 380 a 320 a. C.) estudió las secciones cónicas mientras intentaba resolver el problema de la duplicación del cubo. Apolonio de Perge (hacia 262 a 190 a. C.) escribió un tratado detallado titulado Cónicas. En él introdujo los nombres elipse, parábola e hipérbola y describió sus propiedades. Siglos después, Johannes Kepler usó la elipse para describir el movimiento planetario, e Isaac Newton usó las secciones cónicas para explicar la gravedad.

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son los cuatro tipos de secciones cónicas?

Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Cada una se forma cuando un plano corta un cono con un ángulo distinto, y cada una tiene un intervalo de excentricidad diferente.

¿Cómo se calcula la excentricidad?

La excentricidad es fija para una circunferencia ($e = 0$) y para una parábola ($e = 1$). Para una elipse, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, con el semieje mayor $a$ y el semieje menor $b$. Para una hipérbola, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, con el semieje transverso $a$ y el semieje conjugado $b$.

¿El eje transverso de una hipérbola tiene que ser más largo que su eje conjugado?

No. A diferencia de los semiejes mayor y menor de una elipse, el semieje transverso ($a$) y el semieje conjugado ($b$) de una hipérbola son medidas independientes. Ambos deben ser positivos, pero cualquiera de los dos puede ser el mayor.

¿Puede una elipse convertirse en una circunferencia?

Sí. Cuando el semieje mayor es igual al semieje menor, la elipse es una circunferencia y su excentricidad es 0.

¿Por qué las antenas parabólicas tienen forma de parábola?

Una parábola refleja hacia un único punto focal los rayos que viajan paralelos a su eje. Las antenas parabólicas y los espejos de telescopio aprovechan esta propiedad para concentrar señales o luz en un punto.

¿Qué es una hipérbola equilátera?

Una hipérbola equilátera es aquella en la que el semieje transverso es igual al semieje conjugado ($a = b$). Sus asíntotas son perpendiculares y su excentricidad es $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Referencias

1. OpenStax. Calculus Volume 2, 7.5 Conic Sections. Conic Sections — intervalos de excentricidad de cada cónica, $e = c/a$, $c^2 = a^2 - b^2$ (elipse) y $c^2 = a^2 + b^2$ (hipérbola), y la propiedad reflectante de una antena parabólica.
2. NASA Science. Orbits and Kepler's Laws. Orbits and Kepler's Laws — los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Menaechmus. Menaechmus biography — fechas, y secciones cónicas estudiadas para resolver el problema de la duplicación del cubo.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Apollonius of Perga. Apollonius biography — fechas, y Conics que introduce los términos parábola, elipse e hipérbola.