Calculadora de Volumen de Cono - Calcular Volumen de Cono y Tronco de Cono

¿Qué es una calculadora del volumen de un cono?

Una calculadora del volumen de un cono calcula el volumen de un cono o de un cono truncado (un tronco de cono) a partir de su radio y su altura. Un cono es un sólido con una base plana y circular que se estrecha gradualmente hasta un único punto, llamado vértice. Un tronco de cono es lo que queda de un cono después de cortar la parte superior mediante un corte paralelo a la base, dejando dos caras circulares en lugar de una.

Fórmula del volumen de un cono

El volumen de un cono completo depende del radio de su base y de su altura.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V es el volumen del cono.
• r es el radio de la base circular.
• h es la altura, medida en línea recta desde la base hasta el vértice.
• π (pi) es aproximadamente 3,14159.

Ejemplo resuelto

Un cono con un radio de base de 3 unidades y una altura de 4 unidades tiene este volumen:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 unidades cúbicas

Cómo calcular el volumen de un cono con la calculadora

La calculadora recibe tres datos:

1. Radio — el radio de la base.
2. Altura — la altura del cono, desde la base hasta el vértice.
3. Altura del corte desde la base (opcional) — la distancia por encima de la base a la que se corta el cono, si se elimina la parte superior.

Dejar en blanco la altura del corte o introducir 0 da el volumen del cono completo, sin cortar. Introducir una altura del corte menor que la altura completa da el volumen del tronco de cono situado por debajo del corte. El diagrama situado debajo de los datos marca esas mismas tres medidas en la figura.

La calculadora rechaza un radio o una altura que sea cero, negativa, esté en blanco o sea demasiado grande para tratarse como un número ordinario. En esos casos muestra un aviso en lugar de un volumen, por lo que nunca presenta una cifra inventada.

Fórmula del volumen de un cono truncado (tronco de cono)

El volumen de un tronco de cono depende de los radios de sus dos caras circulares y de su propia altura.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R es el radio de la cara inferior, que es la mayor.
• r es el radio de la cara superior, que es la menor.
• h es la altura del tronco de cono, medida entre las dos caras.

La calculadora no solicita directamente el radio superior. En su lugar, recibe el radio de la base, la altura que tendría el cono si no se hubiera cortado y la altura del corte. Después calcula el radio superior mediante triángulos semejantes:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

donde c es la altura del corte por encima de la base y f la altura completa del cono sin cortar.

Ejemplo resuelto

Supongamos que el radio de la base es de 3 unidades, que la altura completa del cono sin cortar es de 12 unidades y que la altura del corte es de 4 unidades.

Radio superior = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 unidades

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 unidades cúbicas

Si la altura del corte es igual o mayor que la altura completa, el corte se encuentra en el vértice o por encima de él, por lo que no se elimina nada. La calculadora devuelve entonces el volumen del cono completo y el diagrama muestra el cono completo.

Historia de la fórmula del volumen de un cono

Los matemáticos de la antigua Grecia fueron los primeros en relacionar el volumen de un cono con el de un cilindro. Se atribuye a Demócrito, activo a finales del siglo 5 a. C., la afirmación de que el volumen de un cono equivale a un tercio del de un cilindro con la misma base y altura. No la demostró. Eudoxo de Cnido, que trabajó en el siglo siguiente, presentó la primera demostración rigurosa mediante una técnica llamada método de exhaución, un antecedente temprano del cálculo integral. La fórmula V = (1/3)πr²h se ha mantenido igual desde entonces.

Usos de los cálculos del volumen de un cono

Los volúmenes de conos y troncos de cono aparecen siempre que una figura se estrecha desde una base ancha hasta un punto o una parte superior más pequeña. Los ingenieros utilizan las fórmulas para dimensionar depósitos cónicos, tolvas y embudos. Los arquitectos las usan para estimar los materiales de los tejados cónicos. Los geólogos las emplean para estimar el volumen de conos volcánicos y accidentes geográficos similares.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el volumen de un cono?

Multiplica π por el cuadrado del radio, multiplica el resultado por la altura y después divídelo por 3: V = (1/3)πr²h. Un cono con un radio de 5 cm y una altura de 10 cm tiene un volumen aproximado de 261,80 centímetros cúbicos.

¿Cuál es la fórmula de un cono truncado (tronco de cono)?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), donde R y r son los radios de las dos caras circulares y h es la altura propia del tronco de cono, medida entre esas caras.

¿Cómo calcula la calculadora el radio superior de un tronco de cono?

Utiliza triángulos semejantes. El radio superior equivale al radio de la base multiplicado por (1 − altura del corte ÷ altura completa del cono). Esto supone que el tronco procede de un cono de lados rectos.

¿Qué ocurre si la altura del corte es mayor o igual que la altura?

La calculadora trata la figura como un cono completo, sin cortar, y devuelve V = (1/3)πr²h usando el radio y la altura introducidos.

¿Qué ocurre si el radio o la altura son cero o negativos?

La calculadora exige que tanto el radio como la altura sean mayores que cero. Si cualquiera de los dos es cero, negativo, está en blanco o es demasiado grande para tratarse como un número ordinario, muestra un aviso en lugar de un volumen.

¿Cómo se calcula el volumen de un cono a partir del diámetro en lugar del radio?

Divide el diámetro por 2 para obtener el radio y después aplica V = (1/3)πr²h como de costumbre.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Un recurso web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Un recurso web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html