ماشین حساب مقاطع مخروطی - دایره، بیضی، سهمی

ماشین‌حساب مقاطع مخروطی چیست؟

ماشین‌حساب مقاطع مخروطی با استفاده از چند اندازه‌گیری، خروج از مرکز و معادلهٔ استاندارد دایره، بیضی، سهمی یا هذلولی را پیدا می‌کند. این چهار منحنی زمانی پدیدار می‌شوند که یک صفحهٔ تخت با زاویه‌های مختلف یک مخروط را قطع کند.

چهار مقطع مخروطی

برش مستقیم و عمود بر محور مخروط، دایره ایجاد می‌کند. با کج کردن صفحه، بیضی به‌وجود می‌آید. برشی موازی با ضلع مخروط، سهمی ایجاد می‌کند. برش هر دو نیمهٔ یک مخروط دوگانه، هذلولی پدید می‌آورد.

هر منحنی دارای خروج از مرکز است؛ عددی که نشان می‌دهد منحنی تا چه اندازه با یک دایرهٔ کامل تفاوت دارد.

• دایره: $e = 0$
• بیضی: $۰ < e < ۱ $
• سهمی: $e = 1$
• هذلولی: $e > ۱$

نحوه استفاده از این ماشین‌حساب

1. نوع مقطع مخروطی را انتخاب کنید: دایره، بیضی، سهمی یا هذلولی.
2. اندازه‌گیری‌های لازم را وارد کنید.
   • دایره: شعاع ($r$)
   • بیضی: نیم‌محور بزرگ ($a$) و نیم‌محور کوچک ($b$)
   • سهمی: فاصلهٔ کانونی ($f$)
   • هذلولی: نیم‌محور عرضی ($a$) و نیم‌محور مزدوج ($b$)
3. به‌محض وارد کردن ورودی‌های معتبر و مثبت برای نوع مقطع مخروطی انتخاب‌شده، خروج از مرکز و معادلهٔ استاندارد به‌طور خودکار نمایش داده می‌شوند؛ دکمه‌ای برای کلیک کردن و انجام محاسبه وجود ندارد.
4. نمودار منحنی در زیر نتایج رسم می‌شود.

ماشین‌حساب معادله را با جایگذاری اعداد واردشده چاپ می‌کند؛ بنابراین بیضی با $a = 5$ و $b = 3$ به‌صورت $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$ نمایش داده می‌شود. این همان معادلهٔ $x^2/25 + y^2/9 = 1$ است. خروج از مرکز تا چهار رقم اعشار نمایش داده می‌شود.

همهٔ ورودی‌ها باید اعداد مثبت باشند. در بیضی، نیم‌محور بزرگ باید حداقل به‌اندازهٔ نیم‌محور کوچک باشد، زیرا نیم‌محور بزرگ به‌عنوان محور بلندتر تعریف می‌شود. هذلولی چنین الزامی ندارد: نیم‌محور عرضی و نیم‌محور مزدوج آن می‌توانند هر طول مثبت، ازجمله طول‌های برابر، داشته باشند.

فرمول دایره

برای دایره‌ای با شعاع $r$ که مرکز آن در مبدأ مختصات است:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

خروج از مرکز: $e = 0$.

دایره حالت خاصی از بیضی است که در آن هر دو محور طول برابر دارند و هر دو کانون در مرکز قرار گرفته‌اند.

فرمول بیضی

برای بیضی‌ای با مرکز در مبدأ مختصات، نیم‌محور بزرگ $a$ و نیم‌محور کوچک $b$، که در آن $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

مثال: $a = 5$، $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

معادله: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

هنگامی که $a = b$ باشد، بیضی به دایره تبدیل می‌شود و $e = 0$.

فرمول سهمی

برای سهمی‌ای که به سمت راست باز می‌شود و فاصلهٔ کانونی آن $f$ است؛ این فاصله از رأس تا کانون اندازه‌گیری می‌شود:

$$y^2 = 4fx$$

خروج از مرکز: $e = 1$، همیشه.

مثال: $f = 2$. معادله: $y^2 = 8x$.

فرمول هذلولی

برای هذلولی‌ای با مرکز در مبدأ مختصات، نیم‌محور عرضی $a$ و نیم‌محور مزدوج $b$، که در آن $a$ و $b$ هر عدد مثبت دلخواهی هستند:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

نیم‌محور عرضی $a$ نصف فاصلهٔ بین دو رأس است؛ رأس‌ها نقاطی هستند که منحنی در آن‌ها تغییر جهت می‌دهد. نیم‌محور مزدوج $b$ نصف طول محور مزدوج است؛ محور مزدوج پاره‌خطی است که از مرکز و عمود بر محور عرضی رسم می‌شود. این مقدار سرعت باز شدن شاخه‌ها را تعیین می‌کند.

برخلاف بیضی، در هذلولی لازم نیست $a$ از $b$ بزرگ‌تر باشد. این دو طول مستقل از یکدیگرند؛ بنابراین $b$ می‌تواند کوچک‌تر، برابر یا بزرگ‌تر از $a$ باشد. هنگامی که $a = b$ باشد، منحنی هذلولی قائم‌الزاویه نامیده می‌شود و خروج از مرکز آن $\sqrt{2} \approx 1.4142$ است.

مثال: $a = 5$، $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

معادله: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

کاربردهای مقاطع مخروطی در دنیای واقعی

سیاره‌ها و دنباله‌دارها در مدارهایی به شکل مقاطع مخروطی حرکت می‌کنند. قانون اول کپلر بیان می‌کند که مدار یک سیاره بیضی است و خورشید در یکی از کانون‌های آن قرار دارد. برخی دنباله‌دارها در مسیرهای سهموی یا هذلولی حرکت می‌کنند و هرگز بازنمی‌گردند.

سهمی‌ها پرتوهای موازی را در یک نقطهٔ واحد متمرکز می‌کنند؛ بنابراین مهندسان از شکل‌های سهموی در بشقاب‌های ماهواره‌ای، آینه‌های تلسکوپ و چراغ‌های جلوی خودرو استفاده می‌کنند. منحنی‌های هذلولی در دیواره‌های برج‌های خنک‌کننده دیده می‌شوند؛ این شکل ضمن استفاده از مواد کمتر، استحکام ایجاد می‌کند. بیضی‌ها در طاق‌ها، سقف‌های تالارهای نجوا و طراحی چرخ‌دنده‌ها به‌کار می‌روند.

تاریخچهٔ کوتاه مقاطع مخروطی

منائخموس، ریاضی‌دان یونانی، حدود ۳۵۰ پیش از میلاد هنگام تلاش برای حل مسئلهٔ دوبرابر کردن مکعب، مقاطع مخروطی را مطالعه کرد. آپولونیوس اهل پرگا حدود ۲۰۰ پیش از میلاد رسالهٔ مفصلی با عنوان مقاطع مخروطی نوشت. او نام‌های بیضی، سهمی و هذلولی را تعیین کرد و ویژگی‌های آن‌ها را شرح داد. قرن‌ها بعد، یوهانس کپلر از بیضی برای توصیف حرکت سیاره‌ها استفاده کرد و آیزاک نیوتن از مقاطع مخروطی برای توضیح گرانش بهره گرفت.

پرسش‌های متداول

چهار نوع مقطع مخروطی کدام‌اند؟

دایره، بیضی، سهمی و هذلولی. هرکدام زمانی شکل می‌گیرد که صفحه‌ای مخروط را با زاویه‌ای متفاوت قطع کند و هرکدام دامنهٔ متفاوتی برای خروج از مرکز دارد.

خروج از مرکز چگونه محاسبه می‌شود؟

خروج از مرکز برای دایره ($e = 0$) و سهمی ($e = 1$) ثابت است. برای بیضی، $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$ است که در آن از نیم‌محور بزرگ $a$ و نیم‌محور کوچک $b$ استفاده می‌شود. برای هذلولی، $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$ است که در آن از نیم‌محور عرضی $a$ و نیم‌محور مزدوج $b$ استفاده می‌شود.

آیا نیم‌محور عرضی هذلولی باید از نیم‌محور مزدوج آن بلندتر باشد؟

خیر. برخلاف نیم‌محورهای بزرگ و کوچک بیضی، نیم‌محور عرضی ($a$) و نیم‌محور مزدوج ($b$) هذلولی اندازه‌گیری‌هایی مستقل هستند. هر دو باید مثبت باشند، اما هرکدام می‌تواند بزرگ‌تر باشد.

آیا بیضی می‌تواند به دایره تبدیل شود؟

بله. هنگامی که نیم‌محور بزرگ با نیم‌محور کوچک برابر باشد، بیضی یک دایره است و خروج از مرکز آن ۰ می‌شود.

چرا در بشقاب‌های ماهواره‌ای از شکل سهموی استفاده می‌شود؟

سهمی پرتوهایی را که موازی با محور آن حرکت می‌کنند، به یک نقطهٔ کانونی واحد بازمی‌تاباند. بشقاب‌های ماهواره‌ای و آینه‌های تلسکوپ از این ویژگی برای متمرکز کردن سیگنال‌ها یا نور در یک نقطه استفاده می‌کنند.

هذلولی قائم‌الزاویه چیست؟

هذلولی قائم‌الزاویه هذلولی‌ای است که در آن نیم‌محور عرضی با نیم‌محور مزدوج برابر است ($a = b$). مجانب‌های آن بر هم عمودند و خروج از مرکز آن $\sqrt{2} \approx 1.4142$ است.

منابع

1. مقطع مخروطی - ویکی‌پدیا
2. خروج از مرکز مقاطع مخروطی - آکادمی خان
3. مقاطع مخروطی - اوپن‌استکس