محاسبه‌گر حجم مخروط - محاسبه حجم مخروط و ناقص مخروط

حجم مخروط‌سنج چیست؟

ماشین‌حساب حجم مخروط، حجم یک مخروط یا مخروط ناقص (یک مخروط بریده) را بر اساس شعاع و ارتفاع آن پیدا می‌کند. مخروط جسمی جامد است که یک قاعدهٔ تخت و دایره‌ای دارد و به‌نرمی به یک نقطهٔ واحد، به نام رأس، باریک می‌شود. مخروط ناقص بخشی است که پس از بریدن قسمت بالایی مخروط با برشی موازی با قاعده باقی می‌ماند و به‌جای یک وجه، دو وجه دایره‌ای دارد.

فرمول حجم مخروط

حجم مخروط کامل به شعاع قاعده و ارتفاع آن بستگی دارد.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V حجم مخروط است.
• r شعاع قاعدهٔ دایره‌ای است.
• h ارتفاع است که به‌صورت مستقیم از قاعده تا رأس اندازه‌گیری می‌شود.
• π (پی) تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ است.

مثال حل‌شده

مخروطی با شعاع قاعدهٔ ۳ واحد و ارتفاع ۴ واحد، حجمی برابر با مقدار زیر دارد:

V = (1/3) × π × ۳² × ۴ = (1/3) × π × ۳۶ = ۱۲π ≈ ۳۷٫۷۰ واحد مکعب

چگونه حجم مخروط را با ماشین‌حساب محاسبه کنیم

ماشین‌حساب سه ورودی دریافت می‌کند:

1. شعاع — شعاع قاعده.
2. ارتفاع — ارتفاع مخروط، از قاعده تا رأس.
3. ارتفاع برش از قاعده (اختیاری) — اگر قسمت بالایی مخروط بریده شود، فاصلهٔ محل برش از قاعده.

خالی گذاشتن ارتفاع برش یا وارد کردن ۰، حجم مخروط کامل و برش‌نخورده را به دست می‌دهد. وارد کردن ارتفاع برشی کمتر از ارتفاع کامل، حجم مخروط ناقصِ زیر محل برش را به دست می‌دهد. نمودار زیر ورودی‌ها همین سه اندازه‌گیری را روی شکل مشخص می‌کند.

ماشین‌حساب شعاع یا ارتفاعی را که صفر، منفی، خالی یا برای پردازش به‌عنوان یک عدد معمولی بیش از حد بزرگ باشد، نمی‌پذیرد. در این موارد، به‌جای حجم یک اعلان نمایش می‌دهد تا هرگز عدد ساختگی نشان ندهد.

فرمول حجم مخروط ناقص

حجم مخروط ناقص به شعاع دو وجه دایره‌ای آن و ارتفاع خود مخروط ناقص بستگی دارد.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R شعاع وجه بزرگ‌تر و پایینی است.
• r شعاع وجه کوچک‌تر و بالایی است.
• h ارتفاع مخروط ناقص است که بین دو وجه اندازه‌گیری می‌شود.

ماشین‌حساب شعاع بالایی را مستقیماً درخواست نمی‌کند. در عوض، شعاع قاعده، ارتفاع مخروط در صورت برش‌نخوردن، و ارتفاع برش را دریافت می‌کند. سپس با استفاده از مثلث‌های متشابه، شعاع بالایی را محاسبه می‌کند:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

که در آن، c ارتفاع برش از قاعده و f ارتفاع کامل مخروط برش‌نخورده است.

مثال حل‌شده

فرض کنید شعاع قاعده ۳ واحد، ارتفاع کامل مخروط برش‌نخورده ۱۲ واحد و ارتفاع برش ۴ واحد باشد.

شعاع بالایی = ۳ × (۱ − 4/12) = ۳ × 2/3 = ۲ واحد

V = (1/3) × π × ۴ × (۳² + ۲² + ۳ × ۲) = (1/3) × π × ۴ × ۱۹ = (76/3)π ≈ ۷۹٫۵۹ واحد مکعب

اگر ارتفاع برش برابر با ارتفاع کامل یا بیشتر از آن باشد، برش در رأس یا بالاتر از آن قرار می‌گیرد؛ بنابراین چیزی برداشته نمی‌شود. ماشین‌حساب در این حالت حجم مخروط کامل را برمی‌گرداند و نمودار نیز مخروط کامل را رسم می‌کند.

تاریخچهٔ فرمول حجم مخروط

ریاضی‌دانان یونان باستان نخستین کسانی بودند که حجم مخروط را به حجم استوانه مرتبط کردند. دموکریتوس، که در اواخر سدهٔ ۵ام پیش از میلاد فعالیت می‌کرد، به طرح این ادعا نسبت داده می‌شود که حجم مخروط برابر با یک‌سوم استوانه‌ای با همان قاعده و ارتفاع است. او این ادعا را اثبات نکرد. ائودوکسوسِ کنیدوسی، که در سدهٔ بعد فعالیت می‌کرد، نخستین اثبات دقیق را با استفاده از روشی به نام روش افنا ارائه داد؛ این روش پیش‌درآمدی اولیه برای حساب انتگرال بود. فرمول V = (1/3)πr²h از آن زمان تاکنون بدون تغییر مانده است.

کاربردهای محاسبهٔ حجم مخروط

حجم مخروط و مخروط ناقص هر زمان مطرح می‌شود که شکلی از قاعده‌ای پهن به یک نقطه یا بالایی کوچک‌تر باریک شود. مهندسان از این فرمول‌ها برای تعیین اندازهٔ مخزن‌های مخروطی، قیف‌ها و هاپرها استفاده می‌کنند. معماران از آن‌ها برای برآورد مصالح مورد نیاز سقف‌های مخروطی بهره می‌گیرند. زمین‌شناسان نیز برای برآورد حجم مخروط‌های آتشفشانی و عوارض زمین مشابه از این فرمول‌ها استفاده می‌کنند.

پرسش‌های متداول

چگونه حجم مخروط را محاسبه می‌کنید؟

π را در مربع شعاع ضرب کنید، حاصل را در ارتفاع ضرب کنید و سپس بر ۳ تقسیم کنید: V = (1/3)πr²h. مخروطی با شعاع ۵ cm و ارتفاع ۱۰ cm حجمی تقریباً برابر با ۲۶۱٫۸۰ سانتی‌متر مکعب دارد.

فرمول مخروط ناقص (بخش بریده‌شدهٔ مخروط) چیست؟

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)، که در آن R و r شعاع دو وجه دایره‌ای و h ارتفاع خود مخروط ناقص است که بین آن دو وجه اندازه‌گیری می‌شود.

ماشین‌حساب چگونه شعاع بالایی مخروط ناقص را پیدا می‌کند؟

ماشین‌حساب از مثلث‌های متشابه استفاده می‌کند. شعاع بالایی برابر است با شعاع قاعده ضرب‌در (۱ − ارتفاع برش ÷ ارتفاع کامل مخروط). این روش فرض می‌کند مخروط ناقص از مخروطی با اضلاع مستقیم به دست آمده است.

اگر ارتفاع برش بزرگ‌تر یا مساوی ارتفاع باشد، چه اتفاقی می‌افتد؟

ماشین‌حساب شکل را مخروطی کامل و برش‌نخورده در نظر می‌گیرد و با استفاده از شعاع و ارتفاع واردشده، V = (1/3)πr²h را برمی‌گرداند.

اگر شعاع یا ارتفاع صفر یا منفی باشد، چه اتفاقی می‌افتد؟

ماشین‌حساب لازم دارد که هم شعاع و هم ارتفاع بزرگ‌تر از صفر باشند. اگر هرکدام صفر، منفی، خالی یا برای پردازش به‌عنوان یک عدد معمولی بیش از حد بزرگ باشد، به‌جای حجم یک اعلان نمایش می‌دهد.

چگونه حجم مخروط را به‌جای شعاع، از روی قطر پیدا می‌کنید؟

قطر را بر ۲ تقسیم کنید تا شعاع به دست آید، سپس مانند معمول از V = (1/3)πr²h استفاده کنید.

منابع

1. ویزستاین، اریک دبلیو. "Cone." MathWorld—یک منبع وب ولفرام. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. ویزستاین، اریک دبلیو. "Frustum." MathWorld—یک منبع وب ولفرام. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html