محاسبه‌گر معادله نرنست - پتانسیل غشا رایگان

ماشین‌حساب معادله نرنست چیست؟

ماشین‌حساب معادله نرنست پتانسیل تعادلی یک یون منفرد را در دو سوی غشای سلول پیدا می‌کند. این ماشین‌حساب از بار یون، دما و غلظت یون در هر دو سوی غشا استفاده می‌کند. نتیجه یک ولتاژ است که معمولاً بر حسب میلی‌ولت (mV) نشان داده می‌شود.

این معادله به نام شیمی‌دان آلمانی، والتر نرنست، نام‌گذاری شده است؛ او آن را در ۱۸۸۹ توصیف کرد. در زیست‌شناسی، این معادله توضیح می‌دهد که چرا سلول‌ها در دو سوی غشای خود بار الکتریکی دارند؛ موضوعی که برای پیام‌های عصبی، انقباض ماهیچه و فرایندهای دیگری که به جابه‌جایی یون‌ها وابسته‌اند، اهمیت دارد.

فرمول معادله نرنست

$E = E^{\circ} - \frac{RT}{zF} \ln\left(\frac{[C]_{\text{داخل}}}{[C]_{\text{خارج}}}\right)$

که در آن:

• $E$ = پتانسیل سلول یا غشا، بر حسب ولت
• $E^{\circ}$ = پتانسیل استاندارد، که برای یک غشای زیستی معمولاً ۰ در نظر گرفته می‌شود
• $R$ = ثابت گازها، ۸٫۳۱۴ ژول·مول⁻¹·کلوین⁻¹
• $T$ = دما بر حسب کلوین
• $z$ = بار یون (والانس آن)، مانند +۱ برای Na⁺ یا -۱ برای Cl⁻
• $F$ = ثابت فاراده، ۹۶٬۴۸۵ کولن·مول⁻¹
• $[C]_{\text{داخل}}$، $[C]_{\text{خارج}}$ = غلظت یون در داخل و خارج سلول

در زیست‌شناسی، $E^{\circ}$ معمولاً برابر ۰ در نظر گرفته می‌شود و نتیجه به میلی‌ولت تبدیل می‌شود. جابه‌جایی نسبت به حالت خارج به داخل، علامت منفی ابتدایی را حذف می‌کند:

$E = \frac{RT}{zF} \ln\left(\frac{[C]_{\text{خارج}}}{[C]_{\text{داخل}}}\right) \times 1000 \text{ mV}$

متغیرها، با توضیح

دما (T). دما بر حسب کلوین اندازه‌گیری می‌شود؛ در این مقیاس، K = °C + ۲۷۳٫۱۵ است. دمای بدن ۳۱۰٫۱۵ K (۳۷ °C) و دمای اتاق ۲۹۸٫۱۵ K (۲۵ °C) است.

بار یون (z). سدیم (Na⁺) و پتاسیم (K⁺) دارای بار +۱ هستند. کلسیم (Ca²⁺) و منیزیم (Mg²⁺) دارای بار +۲ هستند. کلرید (Cl⁻) دارای بار -۱ است.

غلظت‌ها. مقدار یون در هر سوی غشا، که معمولاً بر حسب میلی‌مولار (mM) بیان می‌شود. هر دو مقدار باید از یک واحد استفاده کنند و هر دو باید بزرگ‌تر از صفر باشند.

ثابت گازها و ثابت فاراده. این‌ها ثابت‌های فیزیکی ثابت هستند: R = ۸٫۳۱۴ ژول/(مول·کلوین) و F = ۹۶٬۴۸۵ کولن/مول.

نحوه محاسبه پتانسیل غشا

1. دما را بر حسب کلوین وارد کنید. مقدار پیش‌فرض، دمای بدن یعنی ۳۱۰٫۱۵ K است.
2. بار یون را وارد کنید؛ برای نمونه، ۱ برای پتاسیم یا -۱ برای کلرید.
3. غلظت خارج سلول را بر حسب mM وارد کنید.
4. غلظت داخل سلول را بر حسب mM وارد کنید.
5. نتیجه را بر حسب میلی‌ولت بخوانید؛ با تغییر مقادیر، نتیجه به‌طور خودکار نمایش داده می‌شود.

مثال حل‌شده: پتاسیم

پتاسیم (K⁺) در یک سلول معمولی حدود ۵ mM در خارج و ۱۴۰ mM در داخل سلول دارد. در دمای بدن، با بار z = +۱:

$E = \frac{8.314 \times 310.15}{1 \times 96{,}485} \times \ln\left(\frac{5}{140}\right) \times 1000$

$E \approx 0.02673 \text{ V} \times (-3.332) \times 1000 \approx -89.1 \text{ mV}$

خود ماشین‌حساب از ثابت‌های فیزیکی دقیق‌تری استفاده می‌کند و برای این مقادیر -۸۹٫۰۶ mV را به دست می‌دهد. نتیجه منفی است، زیرا غلظت یون درون سلول بسیار بیشتر از غلظت آن در خارج سلول است؛ بنابراین جمله لگاریتم طبیعی منفی می‌شود.

پتانسیل‌های معمول یون‌ها در دمای بدن

این‌ها غلظت‌های رایج کتاب‌های درسی برای یک سلول پستانداران هستند که همگی در ۳۱۰٫۱۵ K محاسبه شده‌اند:

تأثیر دما بر نتیجه

چون دما مستقیماً در معادله ظاهر می‌شود، یک سامانه گرم‌تر پتانسیل بزرگ‌تری تولید می‌کند؛ در هر دو جهت. با استفاده از مقادیر پتاسیم (۵ mM در خارج، ۱۴۰ mM در داخل، z = +۱):

• در ۲۵ °C (۲۹۸٫۱۵ K): -۸۵٫۶۱ mV
• در ۳۷ °C (۳۱۰٫۱۵ K): -۸۹٫۰۶ mV
• در ۴۲ °C (۳۱۵٫۱۵ K): -۹۰٫۴۹ mV

هر افزایش ۱۰ °C در دما، اندازه پتانسیل را تقریباً ۳٪ افزایش می‌دهد، زیرا معادله مستقیماً با دمای مطلق مقیاس می‌شود.

معنای نتیجه مثبت یا منفی

• نتیجه مثبت یعنی یون تمایل دارد از سلول خارج شود.
• نتیجه منفی یعنی یون تمایل دارد وارد سلول شود.
• نتیجه صفر یعنی یون در تعادل است و نیروی محرک خالصی در هیچ‌یک از دو جهت وجود ندارد.

اندازه عدد، نه فقط علامت آن، اهمیت دارد: قدرمطلق بزرگ‌تر به معنای کشش الکتروشیمیایی قوی‌تر بر آن یون است.

کاربردهای معادله نرنست

در زیست‌شناسی، از این معادله برای محاسبه پتانسیل‌های استراحت و عمل نورون‌ها، رفتار الکتریکی سلول‌های قلب و جابه‌جایی یون‌ها در بافت ماهیچه و کلیه استفاده می‌شود. از آنجا که سلول‌های واقعی هم‌زمان به چند یون پاسخ می‌دهند، نه به یک یون به‌صورت جداگانه، پژوهشگرانی که پتانسیل کلی غشای در حال استراحت را بررسی می‌کنند، اغلب معادله نرنست را با استفاده از معادله گلدمن–هادجکین–کاتز گسترش می‌دهند؛ این معادله چندین یون و تراوایی متفاوت آن‌ها را در نظر می‌گیرد.

در شیمی و مهندسی، همین معادله ولتاژ تولیدشده توسط باتری‌ها و پیل‌های سوختی را توصیف می‌کند، خوردگی فلزات را پیش‌بینی می‌کند و مبنای حسگرهای یون‌گزینی است که برای سنجش کیفیت آب و خاک به کار می‌روند.

تاریخچه‌ای کوتاه

والتر نرنست این معادله را در ۱۸۸۹، هنگام کار روی پیل‌های الکتروشیمیایی در دانشگاه لایپزیگ، صورت‌بندی کرد. او به‌دلیل پژوهش‌های مرتبط با ترموشیمی برنده جایزه نوبل شیمی در ۱۹۲۰ شد. در دهه‌های ۱۹۴۰ و ۱۹۵۰، آلن هاجکین و اندرو هاکسلی اصول نرنست را درباره سلول‌های عصبی به کار بردند؛ پژوهشی که به دریافت جایزه نوبل توسط آن‌ها و تدوین معادله گلدمن–هادجکین–کاتز، که امروزه در علوم اعصاب استفاده می‌شود، انجامید.

پرسش‌های متداول

معادله نرنست چه چیزی را محاسبه می‌کند؟ این معادله پتانسیل تعادلی یک یون منفرد را در دو سوی غشا، بر اساس غلظت، بار و دما، محاسبه می‌کند. ماشین‌حساب ورودی‌ای برای پتانسیل استاندارد ندارد؛ بنابراین این جمله را صفر در نظر می‌گیرد.

ماشین‌حساب از چه واحدهایی استفاده می‌کند؟ دما بر حسب کلوین، غلظت‌ها معمولاً بر حسب میلی‌مولار و نتیجه بر حسب میلی‌ولت است. هر واحدی برای غلظت قابل استفاده است، به شرط آنکه هر دو سوی غشا از همان واحد استفاده کنند.

وقتی دو غلظت برابر باشند چه اتفاقی می‌افتد؟ نسبت غلظت‌ها برابر ۱ می‌شود، لگاریتم طبیعی ۱ برابر ۰ است و پتانسیل محاسبه‌شده ۰ mV می‌شود. این حالت تعادل الکتروشیمیایی است.

چرا پتانسیل پتاسیم منفی است، اما پتانسیل سدیم مثبت است؟ زیرا غلظت پتاسیم درون سلول بسیار بیشتر از بیرون آن است، در حالی که غلظت سدیم در بیرون بیشتر از درون است. علامت نسبت در جمله لگاریتمی، علامت نتیجه را تعیین می‌کند.

معادله نرنست چه تفاوتی با معادله گلدمن–هادجکین–کاتز دارد؟ معادله نرنست هر بار یک یون را بررسی می‌کند. معادله گلدمن–هادجکین–کاتز چندین یون را با وزن‌هایی متناسب با سهولت عبور هر یون از غشا ترکیب می‌کند تا پتانسیل واقعی استراحت سلول را برآورد کند.

آیا معادله نرنست انتقال فعال را در نظر می‌گیرد؟ خیر. این معادله فقط حرکت غیرفعال در جهت شیب الکتروشیمیایی را توصیف می‌کند. پمپ‌هایی که با مصرف انرژی، مانند ATP، یون‌ها را برخلاف شیب آن‌ها جابه‌جا می‌کنند، بخشی از این معادله نیستند.

منابع

1. نرنست، W. (۱۸۸۹). «Die elektromotorische Wirksamkeit der Ionen.» Zeitschrift für Physikalische Chemie، ۴، ۱۲۹-۱۸۱.
2. هیل، B. (۲۰۰۱). Ion Channels of Excitable Membranes (ویرایش ۳). انتشارات Sinauer Associates.
3. هاجکین، A. L.، و هاکسلی، A. F. (۱۹۵۲). «A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve.» The Journal of Physiology، ۱۱۷(۴)، ۵۰۰-۵۴۴.
4. گلدمن، D. E. (۱۹۴۳). «Potential, impedance, and rectification in membranes.» The Journal of General Physiology، ۲۷(۱)، ۳۷-۶۰.