محاسبه‌گر بار هسته‌ای | محاسبه Zeff با قوانین اسلاتر

محاسبه‌گر بار هسته‌ای: بار مؤثر هسته‌ای (Z_eff) با استفاده از قواعد اسلیتر

محاسبه‌گر بار هسته‌ای، بار مؤثر هسته‌ای (Z_eff) وارد بر یک الکترون در اتم را پیدا می‌کند. بار مؤثر هسته‌ای، کشش واقعی هسته بر یک الکترون است؛ پس از آنکه الکترون‌های دیگر بخشی از این کشش را مسدود می‌کنند. این ابزار با به‌کارگیری قواعد اسلیتر، Z_eff را برای هر عنصر از هیدروژن (عدد اتمی ۱) تا اوگانسون (عدد اتمی ۱۱۸) محاسبه می‌کند.

بار مؤثر هسته‌ای چیست؟

هستهٔ اتم پروتون‌ها را در خود نگه می‌دارد و هر پروتون دارای بار مثبت است. یک الکترون منفرد که به‌تنهایی در مدار باشد، کشش کامل همهٔ این پروتون‌ها را احساس می‌کند. در اتم واقعی، الکترون‌های دیگر میان هسته و یک الکترون بیرونی قرار می‌گیرند و بخشی از آن کشش را مسدود یا «پوشانده» می‌کنند. باری که الکترون بیرونی واقعاً احساس می‌کند، از بار کامل هسته‌ای کمتر است. شیمی‌دانان این بار را بار مؤثر هسته‌ای می‌نامند.

سدیم ۱۱ پروتون دارد. بیرونی‌ترین الکترون آن کششی برابر با +۱۱ احساس نمی‌کند. ده الکترون نزدیک‌تر به هسته، بیشتر این بار را می‌پوشانند؛ بنابراین الکترون بیرونی کششی نزدیک به +۲ احساس می‌کند (مقدار دقیق در ادامه محاسبه می‌شود). این کشش ضعیف دلیل آن است که سدیم در واکنش‌های شیمیایی به‌راحتی آن الکترون را از دست می‌دهد.

فرمول بار مؤثر هسته‌ای

$Z_{eff} = Z - S$

• Z_eff — بار مؤثر هسته‌ای وارد بر الکترون
• Z — عدد اتمی (تعداد کل پروتون‌ها)
• S — ثابت پوششی (مقدار بار هسته‌ای مسدودشده توسط الکترون‌های دیگر)

نحوهٔ محاسبهٔ بار مؤثر هسته‌ای با استفاده از قواعد اسلیتر

فیزیک‌دان جان سی. اسلیتر، روشی برای برآورد ثابت پوششی را در ۱۹۳۰ منتشر کرد. این روش از ریاضیات سنگین حل مستقیم معادلهٔ شرودینگر پرهیز می‌کند و در عوض مجموعه‌ای از قواعد شمارشی را به کار می‌گیرد.

گام ۱: گروه‌بندی الکترون‌ها

قواعد اسلیتر، الکترون‌های یک اتم را بر اساس پوسته در گروه‌هایی دسته‌بندی می‌کنند:

1. (۱s)
2. (۲s، ۲p)
3. (۳s، ۳p)
4. (۳d)
5. (۴s، ۴p)
6. (۴d)
7. (۴f)
8. (۵s، ۵p)، و به همین ترتیب

الکترون‌های اوربیتال‌های s و p در یک پوستهٔ یکسان با هم گروه‌بندی می‌شوند، زیرا هسته را به‌طور مشابه می‌پوشانند. الکترون‌های اوربیتال‌های d و f در یک پوستهٔ یکسان گروه‌های جداگانه‌ای تشکیل می‌دهند، زیرا در فاصلهٔ دورتری از هسته قرار دارند و اثر پوششی کمتری دارند.

گام ۲: جمع‌کردن سهم‌های پوششی

برای یافتن ثابت پوششی S برای یک الکترون، سهم همهٔ الکترون‌های دیگر اتم را بر اساس جایگاه آن الکترون نسبت به الکترون مورد بررسی جمع کنید:

• الکترون‌های پوستهٔ بالاتر (دورتر از هسته): سهم ۰ دارند. الکترون‌های گروه d یا f همان پوسته نیز برای یک الکترون s یا p سهم ۰ دارند، زیرا این گروه‌ها دورتر قرار گرفته‌اند.
• الکترون‌های دیگر در همان گروه: هرکدام سهم ۰٫۳۵ دارند (الکترون‌های گروه ۱s به‌جای آن از ۰٫۳۰ استفاده می‌کنند).
• الکترون‌های یک پوسته نزدیک‌تر به هسته (n − ۱): هرکدام سهم ۰٫۸۵ دارند.
• الکترون‌های دو پوسته یا بیشتر نزدیک‌تر (n − ۲ یا پایین‌تر): هرکدام سهم ۱٫۰۰ دارند.

این سهم‌ها را با هم جمع کنید تا S به دست آید؛ سپس S را از عدد اتمی کم کنید تا Z_eff به دست آید.

این محاسبه‌گر شمارهٔ پوسته را می‌خواهد؛ بنابراین مقدار مربوط به الکترون‌های s و p آن پوسته، یعنی گروه (ns, np)، را گزارش می‌دهد. برای آهن با پوستهٔ ۳، رقم ۳s/3p را گزارش می‌کند، نه مقدار ۳d را. همچنین از ترتیب پرشدن کتاب‌های درسی استفاده می‌کند؛ بنابراین استثناهای شناخته‌شده‌ای مانند کروم و مس مدل‌سازی نمی‌شوند.

مثال: بار مؤثر هسته‌ای الکترون ۲p کربن

عدد اتمی کربن ۶ و آرایش حالت پایهٔ آن ۱s² ۲s² ۲p² است.

برای یکی از الکترون‌های ۲p:

• گروه یکسان (۲s، ۲p)، به‌جز خود الکترون: ۳ الکترون دیگر × ۰٫۳۵ = ۱٫۰۵
• یک پوسته نزدیک‌تر (۱s): ۲ الکترون × ۰٫۸۵ = ۱٫۷۰

ثابت پوششی: S = ۱٫۰۵ + ۱٫۷۰ = ۲٫۷۵

بار مؤثر هسته‌ای: Z_eff = ۶ − ۲٫۷۵ = ۳٫۲۵

یک الکترون ۲p کربن کششی حدود +۳٫۲۵ احساس می‌کند؛ یعنی تقریباً نیمی از بار هسته‌ای واقعی اتم، +۶، زیرا الکترون‌های درونی ۱s و الکترون‌های دیگر ۲s/2p بخش زیادی از آن را می‌پوشانند.

مثال: الکترون‌های هسته‌ای در برابر ظرفیتی در سدیم

عدد اتمی سدیم ۱۱ و آرایش آن ۱s² ۲s² ۲p⁶ ۳s¹ است.

برای الکترون ظرفیتی ۳s (n = ۳):

• گروه یکسان (۳s، ۳p)، به‌جز خود الکترون: ۰ الکترون دیگر × ۰٫۳۵ = ۰
• یک پوسته نزدیک‌تر (۲s، ۲p): ۸ الکترون × ۰٫۸۵ = ۶٫۸۰
• دو پوسته نزدیک‌تر (۱s): ۲ الکترون × ۱٫۰۰ = ۲٫۰۰

S = ۰ + ۶٫۸۰ + ۲٫۰۰ = ۸٫۸۰، بنابراین Z_eff = ۱۱ − ۸٫۸۰ = ۲٫۲۰

برای یک الکترون هسته‌ای ۱s (n = ۱):

• گروه یکسان (۱s)، به‌جز خود الکترون: ۱ الکترون دیگر × ۰٫۳۰ = ۰٫۳۰

S = ۰٫۳۰، بنابراین Z_eff = ۱۱ − ۰٫۳۰ = ۱۰٫۷۰

الکترون ۱s تقریباً بار کامل هسته‌ای را احساس می‌کند، درحالی‌که الکترون ظرفیتی ۳s کمتر از یک‌پنجم آن را احساس می‌کند. این اختلاف دلیل آن است که در واکنش‌ها، سدیم الکترون بیرونی خود را از دست می‌دهد و الکترون‌های درونی‌اش باقی می‌مانند.

بار مؤثر هسته‌ای چگونه روندهای تناوبی را توضیح می‌دهد؟

Z_eff به پیش‌بینی چندین الگو در جدول تناوبی کمک می‌کند.

• شعاع اتمی. Z_eff بیشتر، الکترون‌ها را محکم‌تر به سوی هسته می‌کشد و اتم را کوچک‌تر می‌کند. در دورهٔ ۲، الکترون ظرفیتی لیتیم Z_eff ≈ ۱٫۳۰ را احساس می‌کند، درحالی‌که این مقدار برای فلوئور Z_eff ≈ ۵٫۲۰ است. فلوئور اتم بسیار کوچک‌تری است.
• انرژی یونش. برای غلبه بر کشش قوی‌تر هنگام جداکردن یک الکترون، انرژی بیشتری لازم است. نخستین انرژی یونش لیتیم حدود ۵۲۰ kJ/mol است؛ این مقدار برای نئون حدود ۲۰۸۱ kJ/mol است و با Z_eff بسیار بیشتر نئون (≈ ۵٫۸۵) برای الکترون‌های ۲p آن مطابقت دارد.
• الکترونگاتیوی. اتم‌هایی با Z_eff بیشتر، الکترون‌های مشترک را در یک پیوند با شدت بیشتری جذب می‌کنند. الکترون‌های ۳p کلر Z_eff ≈ ۶٫۱۰ را احساس می‌کنند که بسیار بیشتر از Z_eff هیدروژن، برابر با ۱٫۰، است؛ این یکی از دلایل قطبی‌شدن پیوند H–Cl به سمت کلر است.

با حرکت به سمت پایین یک گروه، Z_eff برای الکترون ظرفیتی تنها اندکی تغییر می‌کند. هر پوستهٔ جدید هم یک پروتون و هم یک الکترون درونی می‌افزاید که آن پروتون را می‌پوشاند؛ بنابراین این دو اثر تقریباً یکدیگر را خنثی می‌کنند.

محدودیت‌های قواعد اسلیتر

قواعد اسلیتر برای بیشتر عناصر گروه‌های اصلی (گروه‌های ۱، ۲ و ۱۳–۱۸) تقریب خوبی ارائه می‌دهند، اما برای موارد زیر دقت کمتری دارند:

• فلزهای واسطه، که در آن‌ها الکترون‌های d آن‌طور که قواعد فرض می‌کنند به‌خوبی پوشش‌دهی نمی‌کنند
• لانتانیدها و اکتینیدها، که در آن‌ها الکترون‌های f رفتار غیرمعمولی دارند
• عناصر سنگین (بالاتر از حدود عدد اتمی ۷۰)، که در آن‌ها اثرهای نسبیتی رفتار الکترون‌ها را تغییر می‌دهند

مقادیر دقیق‌تر از جدول‌های کلمنتی–رایموندی، منتشرشده در ۱۹۶۳ بر پایهٔ محاسبات هارتری–فوک، یا از نرم‌افزارهای مدرن شیمی محاسباتی به دست می‌آیند. این محاسبه‌گر از قواعد استاندارد اسلیتر استفاده می‌کند و این اصلاحات را دربرنمی‌گیرد.

راهنمای استفاده از این ماشین‌حساب

1. عدد اتمی (Z) را از ۱ تا ۱۱۸ وارد کنید.
2. یک پوستهٔ الکترونی (n)، یعنی عدد کوانتومی اصلیِ پوسته‌ای را که بررسی می‌شود، وارد کنید. اگر پوسته‌ای بالاتر از بیرونی‌ترین پوستهٔ عنصر وارد شود، پیام خطا به‌جای عدد نمایش داده می‌شود.
3. مقدار حاصل Z_eff را که تا دو رقم اعشار گرد شده است، در کنار نمودار اتم بخوانید.

پرسش‌های متداول

بار مؤثر هسته‌ای چیست؟ بار مثبت خالصی است که یک الکترون در اتم چندالکترونی واقعاً احساس می‌کند؛ پس از آنکه الکترون‌های دیگر بخشی از کشش هسته را می‌پوشانند. این مقدار به‌صورت Z_eff = Z − S محاسبه می‌شود.

ثابت پوششی با قواعد اسلیتر چگونه محاسبه می‌شود؟ الکترون‌های اتم را بر اساس پوسته گروه‌بندی کنید. برای الکترون مورد بررسی، به‌ازای هر الکترون دیگر در همان گروه ۰٫۳۵ (اگر الکترون ۱s باشد، ۰٫۳۰)، به‌ازای هر الکترون یک پوسته نزدیک‌تر به هسته ۰٫۸۵، و به‌ازای هر الکترون در دو پوسته یا بیشتر نزدیک‌تر ۱٫۰۰ اضافه کنید. برای نمونه، یک الکترون ۲p نیتروژن (با آرایش ۱s² ۲s² ۲p³) دارای ۴ الکترون دیگر در همان گروه است (۴ × ۰٫۳۵ = ۱٫۴۰) و ۲ الکترون در یک پوسته نزدیک‌تر دارد (۲ × ۰٫۸۵ = ۱٫۷۰)؛ در نتیجه S = ۳٫۱۰ و Z_eff = ۷ − ۳٫۱۰ = ۳٫۹۰ است.

چرا بار مؤثر هسته‌ای اهمیت دارد؟ این کمیت اندازهٔ اتم، انرژی یونش و الکترونگاتیوی را بهتر از عدد اتمی خام پیش‌بینی می‌کند، زیرا پوشش‌دهی الکترون‌های درونی بر الکترون‌های بیرونی را در نظر می‌گیرد.

قواعد اسلیتر چقدر دقیق هستند؟ برای عناصر گروه‌های اصلی، این قواعد معمولاً در محدودهٔ حدود ۱۰–۱۵% مقادیر حاصل از روش‌های پیشرفته‌تر قرار می‌گیرند؛ دقتی که برای درس و برآوردهای سریع کافی است. برای فلزهای واسطه، لانتانیدها، اکتینیدها و عناصر بسیار سنگین قابل‌اعتماد کمتری دارند.

آیا بار مؤثر هسته‌ای می‌تواند منفی یا صفر باشد؟ خیر. ثابت پوششی S هرگز نمی‌تواند از عدد اتمی Z بیشتر شود؛ بنابراین Z_eff همیشه مثبت باقی می‌ماند. الکترون‌های یک اتم همیشه در مجموع به سوی هسته جذب می‌شوند.

چرا مقادیر Z_eff الکترون‌های هسته‌ای و ظرفیتی تا این اندازه متفاوت است؟ الکترون‌های هسته‌ای نزدیک هسته قرار دارند و الکترون‌های اندکی در مسیر آن‌ها هستند؛ بنابراین تقریباً بار کامل هسته‌ای را احساس می‌کنند. الکترون‌های ظرفیتی بیرون از لایه‌های الکترون‌های درونی قرار دارند و این لایه‌ها بیشتر بار را مسدود می‌کنند. در سدیم، یک الکترون هسته‌ای ۱s مقدار Z_eff ≈ ۱۰٫۷۰ را احساس می‌کند، درحالی‌که الکترون ظرفیتی ۳s تنها حدود ۲٫۲۰ را احساس می‌کند.

منابع

1. اسلیتر، J.C. (۱۹۳۰). "ثابت‌های پوشش اتمی." Physical Review، ۳۶(۱)، ۵۷–۶۴.
2. کلمنتی، E.؛ رایموندی، D.L. (۱۹۶۳). "ثابت‌های پوشش اتمی از توابع SCF." The Journal of Chemical Physics، ۳۸(۱۱)، ۲۶۸۶–۲۶۸۹.
3. اتکینز، P.؛ دِ پائولا، J. (۲۰۱۴). شیمی فیزیک اتکینز (ویرایش ۱۰ام). انتشارات دانشگاه آکسفورد. ISBN 978-0199697403.