Laatikkokaavio-laskuri - Ilmainen Laatikko- ja Viiksikaavion Luoja

Mikä on laatikkokaavio?

Laatikkokaavio, jota kutsutaan myös laatikko-jana-kuvioksi, on kaavio, joka tiivistää lukujoukon viiden arvon avulla: pienin arvo, ensimmäinen kvartiili, mediaani, kolmas kvartiili ja suurin arvo. Se näyttää, mihin suurin osa aineistosta sijoittuu, ja tuo esiin poikkeavat arvot eli outlierit ilman, että jokaista datapistettä luetellaan.

Laatikkokaaviot ovat yleisiä tilastotieteessä, luonnontieteissä ja liiketoimintaraporteissa, koska niiden avulla useita lukuryhmiä voi verrata yhdellä silmäyksellä.

Viiden luvun yhteenveto

Laatikkokaavio muodostetaan viidestä luvusta, jotka lasketaan sen jälkeen, kun aineisto on järjestetty pienimmästä suurimpaan.

• Pienin arvo: pienin arvo, joka ei ole poikkeama. Tämä laskin merkitsee sen nimellä ”Pienin arvo (poikkeamat pois lukien)”.
• Ensimmäinen kvartiili (Q1): arvo, jota pienempiä noin neljäsosa aineiston arvoista on.
• Mediaani (Q2): aineistojoukon keskimmäinen arvo.
• Kolmas kvartiili (Q3): arvo, jota pienempiä noin kolme neljäsosaa aineiston arvoista on.
• Suurin arvo: suurin arvo, joka ei ole poikkeama. Tämä laskin merkitsee sen nimellä ”Suurin arvo (poikkeamat pois lukien)”.

Kun aineistossa ei ole poikkeamia, nämä kaksi arvoa ovat yksinkertaisesti syötetyistä luvuista pienin ja suurin. Jos poikkeamia on, ne ovat sen sijaan janan päätepisteet, joten syötettyjen lukujen aivan pienin tai suurin arvo näytetään erikseen poikkeamaluettelossa.

Kaavion laatikko ulottuu arvosta Q1 arvoon Q3. Laatikon sisällä oleva viiva merkitsee mediaania. Ohuet janat, joita kutsutaan viiksiksi, ulottuvat laatikosta kohti pienintä ja suurinta arvoa. Poikkeamat esitetään erillisinä pisteinä viiksien ulkopuolella.

Laatikkokaavion kaava

Kun aineisto on järjestetty kasvavaan järjestykseen ja siinä on n arvoa:

Mediaani. Kun lukumäärä on pariton, mediaani on keskimmäinen arvo:

$M = x_{(n+1)/2}$

Kun lukumäärä on parillinen, se on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

jossa M on mediaani ja positionumerolla merkitty x on kyseisessä kohdassa oleva arvo järjestetyssä aineistossa.

Kvartiilit. Jaa järjestetty aineisto alempaan ja ylempään puoliskoon. Jos n on pariton, jätä mediaani pois kummastakin puoliskosta. Tämän jälkeen:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

jossa $M_l$ on alemman puoliskon mediaani ja $M_u$ ylemmän puoliskon mediaani.

Tätä kutsutaan usein poissulkevaksi menetelmäksi. Muitakin menetelmiä on, ja ne voivat antaa pienillä aineistoilla hieman erilaiset Q1- ja Q3-arvot, mutta tässä laskimessa käytetään poissulkevaa menetelmää.

Kvartiiliväli (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Poikkeamarajat ja viikset. Poikkeamarajat määrittävät poikkeavien havaintojen rajan:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

jossa $F_l$ on alempi raja ja $F_u$ ylempi raja.

Viiksi ei ulotu täsmälleen rajaan asti. Se päättyy kauimpana olevaan datapisteeseen, joka on edelleen rajojen sisäpuolella:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

jossa $W_l$ on alempi viiksi ja $W_u$ ylempi viiksi.

Poikkeamat. Alempana kuin alempi raja tai ylempänä kuin ylempi raja oleva arvo on poikkeama, joka esitetään yksittäisenä pisteenä eikä osana viikseä.

Laatikkokaavion laskeminen vaihe vaiheelta

1. Järjestä aineisto pienimmästä suurimpaan.
2. Etsi mediaani. Kun lukumäärä on pariton, se on keskimmäinen arvo. Kun lukumäärä on parillinen, se on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo.
3. Etsi Q1: aineiston alemman puoliskon mediaani (parittomalla lukumäärällä mediaani jätetään pois).
4. Etsi Q3: aineiston ylemmän puoliskon mediaani käyttäen samaa sääntöä.
5. Laske IQR vähentämällä Q1 arvosta Q3.
6. Laske alempi ja ylempi raja kertomalla IQR luvulla 1,5.
7. Merkitse poikkeamaksi jokainen rajojen ulkopuolella oleva arvo.
8. Aseta viiksiksi pienimmät ja suurimmat arvot, jotka jäävät rajojen sisäpuolelle.

Esimerkkilaskelma

Tarkastellaan tätä 11 arvon aineistoa: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Se on jo järjestetty.

Kun arvoja on 11 eli pariton määrä, mediaani on 6. arvo: 40.

Alempi puolisko on 6, 7, 15, 36, 39 (viisi arvoa, mediaani pois lukien). Sen mediaani on keskimmäinen arvo: Q1 = 15.

Ylempi puolisko on 41, 42, 43, 47, 49. Sen mediaani on keskimmäinen arvo: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Alempi raja = 15 − 1,5 × 28 = −27. Ylempi raja = 43 + 1,5 × 28 = 85. Kaikki aineiston arvot ovat välillä −27–85, joten poikkeamia ei ole ja viikset ulottuvat todelliseen pienimpään ja suurimpaan arvoon: min = 6, max = 49.

Verrataan nyt aineistoa, jossa on poikkeama: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Tässä Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 ja IQR = 6, joten ylempi raja on 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Arvo 50 on tämän rajan yläpuolella, joten se esitetään poikkeamana ja ylempi viiksi päättyy arvoon 11, joka on suurin edelleen rajan sisäpuolella oleva arvo, eikä arvoon 50.

Laatikkokaavion lukeminen

Laatikko kattaa aineiston keskimmäiset 50 %, joten leveä laatikko tarkoittaa, että aineiston keskiosa on hajallaan, kun taas kapea laatikko tarkoittaa sen olevan tiiviisti keskittynyt. Jos mediaaniviiva on lähempänä laatikon toista reunaa, aineisto painottuu eli on vino pidemmän puolen suuntaan. Toista huomattavasti pidempi viiksi viittaa siihen, että aineisto hajaantuu enemmän kyseisellä puolella. Viiksien ulkopuoliset pisteet ovat poikkeamia, joita on usein syytä tarkastella lähemmin, sillä ne voivat olla todellisia ääriarvoja tai aineistossa olevia virheitä.

Tavallisia käyttökohteita

Laatikkokaavioita käytetään ryhmien rinnakkaiseen vertailuun, esimerkiksi useiden luokkien testitulosten, kahden toimittajan toimitusaikojen tai kokeen mittausten ja vertailuryhmän mittausten vertailuun. Koska laatikkokaavio tiivistää koko jakauman viideksi luvuksi, useita kaavioita voidaan asettaa samaan kuvaajaan, jolloin ryhmien hajontaa ja tyypillisiä arvoja on helpompi verrata kuin raakalukujen taulukosta.

Laatikkokaaviot verrattuna muihin kaavioihin

Histogrammi näyttää jakauman koko muodon yksityiskohtaisemmin, mutta useiden ryhmien samanaikainen vertailu on sillä vaikeampaa. Viulukuvaaja lisää laatikon ympärille tiheyskäyrän, joka näyttää tarkemmin, mihin arvot keskittyvät. Hajontakaavio näyttää kahden muuttujan välisen suhteen, mihin laatikkokaavio ei pysty. Oikea valinta riippuu tavoitteesta: ryhmien vertailuun käytetään laatikkokaaviota, yhden jakauman muodon yksityiskohtaiseen tarkasteluun histogrammia tai viulukuvaajaa ja riippuvuuden tutkimiseen hajontakaaviota.

Historia

Tilastotieteilijä John Tukey esitteli laatikkokaavion 1970-luvulla ja kuvasi sen 1977 ilmestyneessä kirjassaan Exploratory Data Analysis. Hänen alkuperäinen versionsa, jota kutsutaan joskus kaaviolliseksi kuvaajaksi, näytti mediaanin, kvartiilit ja ääriarvot. Vuonna 1978 tilastotieteilijät Robert McGill, Tukey ja Wayne Larsen kuvasivat lovellisen version, joka lisää mediaanin ympärille luottamusvälin. Poikkeamien merkitsemiseen käytetystä säännöstä 1,5 × IQR tuli vakiintunut käytäntö pian tämän jälkeen.

Usein kysyttyä

Mihin laatikkokaaviota käytetään? Se näyttää, miten lukujoukko on jakautunut, ja tuo esiin todennäköiset poikkeamat käyttäen pienintä arvoa, Q1:tä, mediaania, Q3:a ja suurinta arvoa. Se soveltuu erityisen hyvin useiden ryhmien vertailuun samassa kaaviossa.

Miten laatikkokaaviota luetaan? Laatikko ulottuu Q1:stä Q3:een ja kattaa aineiston keskimmäisen puoliskon. Laatikon sisällä oleva viiva on mediaani. Viikset ulottuvat kauimpana oleviin arvoihin, jotka eivät ole poikkeamia, ja viiksien ulkopuoliset arvot esitetään erillisinä pisteinä.

Miten poikkeamat tunnistetaan laatikkokaaviosta? Arvo on poikkeama, jos se on pienempi kuin Q1 − 1,5 × IQR tai suurempi kuin Q3 + 1,5 × IQR.

Mikä ero on laatikkokaaviolla ja histogrammilla? Laatikkokaavio tiivistää jakauman viideksi luvuksi ja poikkeamiksi, joten se on kompakti ja sopii hyvin ryhmien vertailuun. Histogrammi näyttää arvojen frekvenssin eri vaihteluväleillä ja antaa tarkempaa tietoa yksittäisen jakauman muodosta.

Voiko tämä laskin käsitellä pieniä aineistoja? Tämä laskin tarvitsee vähintään viisi lukua viiden luvun yhteenvedon tuottamiseen. Laatikkokaaviot ovat informatiivisempia suuremmilla aineistoilla, sillä muutama arvo antaa vain vähän tietoa hajonnasta tai poikkeamista.

Millaista syötettä laskin hyväksyy? Pilkuilla, välilyönneillä tai rivinvaihdoilla eroteltuja lukuja, joten laskentataulukosta liitetty sarake toimii. Kaikki, mikä ei ole luku, hylätään ohittamisen sijaan, joten kirjoitusvirhe ei voi huomaamatta muuttaa tulosta.

Mitä tarkoittaa, jos laatikkokaavio näyttää vinolta? Jos mediaani on lähempänä Q1:tä, aineistolla on pidempi häntä suurten arvojen suunnassa. Jos se on lähempänä Q3:a, aineistolla on pidempi häntä pienten arvojen suunnassa.