T-testi-laskuri - Ilmainen online-tilastollinen analyysityökalu

Mikä on t-testi?

t-testi on tilastollinen menetelmä, jolla tarkistetaan, poikkeaako lukujoukon keskiarvo merkittävästi toisesta keskiarvosta tai kiinteästä arvosta. Sitä kutsutaan myös Studentin t-testiksi. Tutkijat käyttävät sitä kahden ryhmän, kuten hoitoryhmän ja kontrolliryhmän, vertailuun tai yhden ryhmän vertaamiseen tunnettuun vertailuarvoon.

Testin tuloksena saadaan luku, jota kutsutaan t-testisuureeksi. Nollasta kaukana oleva t-testisuure viittaa siihen, että keskiarvot todella eroavat toisistaan. Nollaa lähellä oleva t-testisuure viittaa siihen, että ero voi johtua pelkästä satunnaisvaihtelusta.

T-testien tyypit

Tämä laskin tukee kolmea t-testityyppiä.

• Yhden otoksen t-testi: vertaa yhden otoksen keskiarvoa tunnettuun tai oletettuun arvoon.
• Kahden otoksen t-testi: vertaa kahden riippumattoman otoksen, kuten kahden erillisen ihmisryhmän, keskiarvoja. Tämä laskin käyttää Welchin t-testiä, jossa ei oleteta, että ryhmien hajonnat ovat yhtä suuria.
• Parittainen t-testi: vertaa samoilta tutkittavilta mitattuja kahta mittaussarjaa, kuten hoitoa edeltäviä ja hoidon jälkeisiä pistemääriä.

Näin käytät t-testilaskinta

1. Valitse testityyppi: yhden otoksen, kahden otoksen tai parittainen t-testi.
2. Syötä tiedot.
   • Yksi otos: syötä pilkuilla erotetut otoksen arvot sekä perusjoukon keskiarvo, johon niitä verrataan.
   • Kaksi otosta: syötä molemmat otokset erillisinä pilkuilla erotettuina luetteloina.
   • Parittainen testi: syötä parit muodossa (x1,y1), (x2,y2) ja niin edelleen.
3. Aseta merkitsevyystaso, tavallisesti 0,05. Laskin ei käytä tätä arvoa. Se ilmoittaa p-arvon ja jättää päätöksen käyttäjälle.
4. Heti kun tietoja on riittävästi, näkyviin tulevat t-testisuure, vapausasteet ja p-arvo. Painiketta ei tarvitse painaa.

Merkitsevyyttä arvioidaan vertaamalla p-arvoa merkitsevyystasoon. Jos p-arvo on merkitsevyystason suuruinen tai sitä pienempi, eroa pidetään tilastollisesti merkitsevänä.

T-testin kaava

Yhden otoksen t-testin kaava

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ on otoksen keskiarvo, $\mu_0$ on vertailuarvo, $s$ on otoksen keskihajonta ja $n$ on otoskoko. Vapausasteet: $df = n - 1$.

Kahden otoksen t-testin kaava (Welchin testi)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Vapausasteet saadaan Welch–Satterthwaiten yhtälöstä:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Tämän kaavan tuloksena df ei yleensä ole kokonaisluku.

Parittaisen t-testin kaava

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ on kunkin parin välisten erojen keskiarvo, $s_d$ on näiden erojen keskihajonta ja $n$ on parien lukumäärä. Vapausasteet: $df = n - 1$.

T-testin laskeminen: esimerkki

Valmistaja väittää, että paristo kestää keskimäärin 50 tuntia. Testaaja tarkistaa yhdeksän paristoa ja kirjaa niiden kestot tunteina:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Vaihe 1: Esitä hypoteesit. Nollahypoteesi: todellinen keskiarvo on 50 tuntia. Vaihtoehtoinen hypoteesi: todellinen keskiarvo ei ole 50 tuntia.

Vaihe 2: Laske otoksen keskiarvo.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Vaihe 3: Laske otoksen keskihajonta. Poikkeamat keskiarvosta ovat 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Toiseen potenssiin korotettuina ne ovat 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, joiden summa on 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Vaihe 4: Laske t-testisuure.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Vaihe 5: Laske vapausasteet.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Vaihe 6: Laske p-arvo. Kun $t = 0$ ja $df = 8$, kaksisuuntainen p-arvo on 1,00.

Vaihe 7: Tee johtopäätös. Koska 1,00 on suurempi kuin 0,05, ei ole riittävästi näyttöä siitä, että pariston keskimääräinen kesto poikkeaisi arvosta 50 tuntia.

T-testin oletukset

t-testi antaa luotettavia tuloksia vain, kun muutamat ehdot täyttyvät suurin piirtein.

• Normaalisuus: aineiston tulisi olla suurin piirtein kellokäyrän muotoista, erityisesti pienissä otoksissa.
• Riippumattomuus: yksittäinen havainto ei saisi vaikuttaa mihinkään muuhun havaintoon.
• Satunnaisotanta: aineiston tulisi olla peräisin tutkittavasta perusjoukosta poimitusta satunnaisotoksesta.

Parittaisessa t-testissä nämä ehdot koskevat parien välisiä eroja, eivät alkuperäisiä pistemääriä. Suuremmissa otoksissa, suunnilleen yli 30 havainnon, t-testi pysyy yleensä tarkkana, vaikka aineisto ei olisi täydellisesti kellokäyrän muotoista, koska taustalla on tilastollinen ominaisuus, jota kutsutaan keskeiseksi raja-arvolauseeksi.

T-testin vaihtoehdot

Jos edellä mainitut oletukset eivät täyty, niiden sijasta voidaan käyttää muita testejä.

• Mann–Whitneyn U-testi: ei-parametrinen vaihtoehto kahden otoksen t-testille.
• Wilcoxonin merkittyjen sijalukujen testi: ei-parametrinen vaihtoehto parittaiselle t-testille.
• Varianssianalyysi (ANOVA): vertaa samanaikaisesti vähintään kolmen ryhmän keskiarvoja kahden ryhmän sijaan.

T-testin historia

William Sealy Gosset kehitti t-testin vuonna 1908 työskennellessään kemistinä Guinnessin panimolla Dublinissa. Guinness ei sallinut henkilöstön julkaista tutkimuksia omilla nimillään, joten Gosset käytti salanimeä ”Student”. Siksi menetelmää kutsutaan usein Studentin t-testiksi. Hän kehitti sen arvioidakseen, täyttivätkö panimoaineksista valmistetut pienet erät laatuvaatimukset, kun kerrallaan käytettävissä oli vain muutama näyte.

Usein kysyttyä

Mihin t-testiä käytetään?

t-testillä tarkistetaan, poikkeaako otoksen keskiarvo merkitsevästi toisesta keskiarvosta tai kiinteästä arvosta. Sitä käytetään yleisesti lääketieteessä, psykologiassa, kasvatustieteessä ja liiketalouden tutkimuksessa.

Milloin pitäisi käyttää yhden otoksen, kahden otoksen tai parittaista t-testiä?

Käytä yhden otoksen t-testiä, kun vertaat otoksen keskiarvoa tunnettuun arvoon. Käytä kahden otoksen t-testiä, kun vertaat kahta erillistä ja toisistaan riippumatonta ryhmää. Käytä parittaista t-testiä, kun samoilta tutkittavilta tehdään mittaus kahdesti, esimerkiksi ennen hoitoa ja sen jälkeen.

Mikä on t-testin ja z-testin ero?

t-testiä käytetään, kun otos on pieni tai perusjoukon keskihajontaa ei tunneta. z-testiä käytetään suurilla otoksilla, kun perusjoukon keskihajonta tunnetaan. Käytännössä t-testiä käytetään paljon useammin, koska perusjoukon keskihajontaa harvoin tunnetaan etukäteen.

Miten t-testin p-arvoa tulkitaan?

p-arvo on todennäköisyys havaita näin suuri tai suurempi ero, jos todellista eroa ei olisi. Pieni p-arvo, tyypillisesti enintään 0,05, viittaa siihen, että havaittu ero johtuu epätodennäköisesti pelkästä sattumasta.

Mikä on Welchin t-testi?

Welchin t-testi on kahden otoksen t-testin muunnelma, jossa ryhmien varianssien ei tarvitse olla yhtä suuret. Tämä laskin käyttää kahden otoksen testeissä aina Welchin menetelmää, koska se säilyy tarkkana riippumatta siitä, ovatko ryhmien vaihtelut yhtä suuria.

Mitä vapausasteet tarkoittavat t-testissä?

Vapausasteet ovat otoskoon perusteella määräytyvä luku, joka määrittää p-arvon löytämiseen käytettävän t-jakauman täsmällisen muodon. Yhden otoksen t-testissä tai parittaisessa t-testissä vapausasteet ovat otoskoko miinus 1. Welchin kahden otoksen t-testissä käytetään kaavaa, joka tuottaa yleensä arvon, joka ei ole kokonaisluku.

Lähteet

1. Gosset, W. S. (1908). ”The Probable Error of a Mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, luku 1.3.6.7.2, ”Studentin t-jakauman kriittiset arvot”.